高考三角函数复习专题

1 三角函数复习专题三角函数复习专题 一 核心知识点归纳 一 核心知识点归纳 1 正弦函数 余弦函数和正切函数的图象与性质 sinyx cosyx tanyx 图象 定义域RR 2 x xkk 值域 1 1 1 1 R 最值 当 时 2 2 xk k max 1y 当 2 2 xk 时 k min 1y 当时 2xkk max 1y 当2xk 时 k min 1y 既无最大值也无最小值 周期性2 2 奇偶性奇函数偶函数奇函数 单调性 在2 2 22 kk 上是增函数 在 k 3 2 2 22 kk 上是减函数 k 在 上 2 2kkk 是增函数 在 2 2kk 上是减函数 k 在 22 kk 上是增函数 k 对称性 对称中心 0kk 对称轴 2 xkk 对称中心 0 2 kk 对称轴 xkk 对称中心 0 2 k k 无对称轴 2 正 余弦定理 正 余弦定理 在中有 ABC 正弦定理 为外接圆半径 2 sinsinsin abc R ABC RABC 注意变形应用注意变形应用 2 sin 2 sin 2 sin aRA bRB cRC sin 2 sin 2 sin 2 a A R b B R c C R 面积公式 111 sinsinsin 222 ABC SabsCacBbcA 函 数 性 质 2 余弦定理 222 222 222 2cos 2cos 2cos abcbcA bacacB cababC 222 222 222 cos 2 cos 2 cos 2 bca A bc acb B ac abc C ab 二 方法总结 二 方法总结 1 三角函数恒等变形的基本策略 三角函数恒等变形的基本策略 1 注意隐含条件的应用 1 cos2x sin2x 2 角的配凑 2 2 等 3 升幂与降幂 主要用 2 倍角的余弦 4 化弦 切 法 用正弦定理或余弦定理 5 引入辅助角 asin bcos 22 ba sin 这里辅助角 所在象限由 a b 的符 号确定 角的值由 tan a b 确定 2 解答三角高考题的策略 解答三角高考题的策略 1 发现差异 观察角 函数运算间的差异 即进行所谓的 差异分析 2 寻找联系 运用相关公式 找出差异之间的内在联系 3 合理转化 选择恰当的公式 促使差异的转化 三 例题集锦 三 例题集锦 考点一 考点一 三角函数的概念三角函数的概念 1 1 20112011 年东城区示范校考试文年东城区示范校考试文 1515 如图 设A是单位圆和x轴正半轴的交点 QP 是 单位圆上的两点 O是坐标原点 6 AOP 0 AOQ 1 若 3 4 5 5 Q 求 6 cos 的值 2 设函数 fOP OQ 求 f的值域 2 2 20112011 年西城期末文年西城期末文 1515 已知函数 若点 2 3sin22sinf xxx 1 3 P 在角的终边上 求的值 若 求的值域 f 63 x f x 考点二 考点二 三角函数的图象和性质三角函数的图象和性质 3 3 6 o 1 x 1 y 3 3 20112011 年东城区期末文年东城区期末文 1515 函数部分图象如图所 sin 0 0 2 f xAxA 示 求的最小正周期及解析式 设 求函数在区间 f x cos2g xf xx g x 上的最大值和最小值 0 2 x 考点三 四 五 考点三 四 五 同角三角函数的关系 同角三角函数的关系 诱导公式 三角恒等变换诱导公式 三角恒等变换 4 4 20102010 年海淀期中文年海淀期中文 1616 已知函数xxxf 2 cos 6 2sin 1 若1 f 求 cossin 的值 2 求函数 xf的单调增区间 3 求函数的对称轴方程和对称中心 5 5 20112011 年丰台区期末文年丰台区期末文 1515 已知函数 2 2sincos2cosf xxxx 相邻两条对称轴之间的距离等于 求的值 当0 x R 2 4 f 时 求函数的最大值和最小值及相应的 x 值 0 2 x xf 6 2011 朝阳二模文朝阳二模文 15 已知函数 2 2sinsin 2sin1 2 f xxxx x R 求函数的最小正周期及函数的单调递增区间 f x f x 若 求 的值 0 2 23 x f 0 44 x 0 cos2x 7 7 20112011 东城二模问东城二模问 1515 本小题共 13 分 已知 7 2 sin 410 A 4 2 A 求的值 求函数的值域 cos A 5 cos2sinsin 2 f xxAx 4 考点六 考点六 解三角形解三角形 8 8 20112011 年朝阳期末文年朝阳期末文 1515 已知 中 ABC2sincossincoscossinABCBCB 求角的大小 设向量 求当取最B cos cos2 AA m 12 1 5 n m n 小值时 值 4 tan A 9 9 20112011 年石景山期末文年石景山期末文 1515 已知函数 2 3 cossinsin3 2 xxxxf Rx 求的值 若 求的最大值 在中 若 4 f 2 0 x xfABC BA 求的值 2 1 BfAf AB BC 1010 20112011 东城一模文东城一模文 1515 在 中 角 的对边分别为 分 且满足ABCABCabc 求角的大小 若 求 面积的最大值 2cos cos cbB aA A2 5a ABC 11 2011 丰台一模文丰台一模文 15 在 ABC 中 a b c 分别为内角 A B C 的对边 且 b2 c2 a2 bc 求角 A 的大小 设函数 当取最大值 2 cos 2 cos 2 sin3 2x xx xf Bf 时 判断 ABC 的形状 2 3 1212 2011 2011 海淀一模文海淀一模文 15 15 在中 内角A B C所对的边分别为 已知 ABC a b c 1 tan 2 B 且 1 tan 3 C 1c 求 求的面积 tan AABC 5 Y X A O Q P 1313 20112011 石景山一模文石景山一模文 15 在中 角 所对应的边分别为 且 ABC ABCabc 2 7 4sincos2 22 AB C 求角的大小 求的最大值 CsinsinAB 例题集锦答案 例题集锦答案 1 1 20112011 年东城区示范校考试理年东城区示范校考试理 1515 如图 设A是单位圆和x轴正半轴的交点 QP 是 单位圆上的两点 O是坐标原点 6 AOP 0 AOQ 1 若 3 4 5 5 Q 求 6 cos 的值 2 设函数 fOP OQ 求 f的值域 单位圆中的三角函数定义单位圆中的三角函数定义 解 解 由已知可得 5 4 sin 5 3 cos 2 分 6 sinsin 6 coscos 6 cos 3 分 10 433 2 1 5 4 2 3 5 3 4 分 fOP OQ cos sincos sin 66 6 分 sin 2 1 cos 2 3 7 分 sin 3 8 分 0 4 333 9 分 3 sin1 23 12 分 f 的值域是 3 1 2 13 分 2 2 20112011 年西城期末理年西城期末理 1515 已知函数 若点 2 3sin22sinf xxx 1 3 P 在角的终边上 求的值 若 求的值域 f 63 x f x 三角函数一般定义三角函数一般定义 6 3 6 o 1 x 1 y 解 解 因为点在角的终边上 1 3 P 所以 2 分 3 sin 2 1 cos 2 所以 4 分 22 3sin22sin2 3sincos2sinf 5 分 2 313 2 3 2 3 222 6 分 2 3sin22sinf xxx 3sin2cos21xx 8 分2sin 2 1 6 x 因为 所以 10 分 63 x 6 5 6 2 6 x 所以 11 分 1 sin 2 1 26 x 所以的值域是 13 分 f x 2 1 3 3 20112011 年东城区期末理年东城区期末理 1515 函数部分图象如图所 sin 0 0 2 f xAxA 示 求的最小正周期及解析式 设 求函数在区间 f x cos2g xf xx g x 上的最大值和最小值 0 2 x 解 解 由图可得 1A 2 2362 T 所以 2 分T 所以 2 当时 可得 6 x 1f x sin 2 1 6 因为 所以 5 分 2 6 所以的解析式为 6 分 f x sin 2 6 f xx cos2sin 2 cos2 6 g xf xxxx sin2 coscos2 sincos2 66 xxx 10 分 31 sin2cos2 22 xx sin 2 6 x 因为 所以 0 2 x 5 2 666 x 当 即时 有最大值 最大值为 2 62 x 3 x g x1 当 即时 有最小值 最小值为 13 分2 66 x 0 x g x 1 2 相邻平衡点 最值点 横坐标的差等 代点法代点法 2 T 2 T maxmin 1 2 yyA 4 4 20102010 年海淀期中文年海淀期中文 1616 已知函数xxxf 2 cos 6 2sin 1 若1 f 求 cossin 的值 2 求函数 xf的单调增区间 3 求函数的对称轴方程和对称中心 解 解 1 2 2cos1 6 sin2cos 6 cos2sin x xxxf 3 分 只写对一个公式给 2 分 2 1 2sin 2 3 x 5 分 由1 f 可得 3 3 2sin 7 分 7 所以 2sin 2 1 cossin 8 分 6 3 9 分 2 当Zkkxk 2 2 22 2 换元法换元法 11 即Zkkkx 4 4 时 xf单调递增 所以 函数 xf的单调增区间是Zkkk 4 4 13 分 5 5 20112011 年丰台区期末理年丰台区期末理 1515 已知函数 2 2sincos2cosf xxxx 相邻两条对称轴之间的距离等于 求的值 当0 x R 2 4 f 时 求函数的最大值和最小值及相应的 x 值 0 2 x xf 解 解 意义意义 4 分 sin2cos212sin 2 1 4 f xxxx 因为 所以 6 分 22 T T 1 所以 所以 7 分 2sin 2 1 4 f xx 0 4 f 2sin 2 1 4 f xx 当 时 无范围讨论扣分无范围讨论扣分0 2 x 3 2 444 x 所以 当 即时 10 分2 42 x 8 x max 21f x 当 即时 13 分2 44 x 0 x min 2f x 6 2011 朝阳二模理朝阳二模理 15 已知函数 2 2sinsin 2sin1 2 f xxxx x R 求函数的最小正周期及函数的单调递增区间 f x f x 若 求 的值 0 2 23 x f 0 44 x 0 cos2x 解解 1 分 2 2sincos2sin1 f xxxx 2 分sin2cos2 xx 和差角公式逆用和差角公式逆用 3 分 2sin 2 4 x 函数的最小正周期 5 分 f x 2 2 T 令 6 分 2 22 242 kxk k Z 所以 即 3 2 22 44 kxk 3 88 kxk 所以 函数的单调递增区间为 8 分 f x 3 88 kk k Z 解法一 由已知得 9 分 0 00 2 sincos 23 x fxx 两边平方平方 得 同角关系式 同角关系式 所以 11 分 0 2 1 sin2 9 x 0 7 sin2 9 x 因为 所以 0 44 x 0 2 22 x 所以 13 分 2 0 74 2 cos21 99 x 8 解法二 因为 所以 9 分 0 44 x 0 0 42 x 又因为 00 0 2 2sin 2 2sin 22443 xx fx 得 10 分 0 1 sin 43 x 所以 11 分 2 0 12 2 cos 1 433 x 所以 00000 cos2sin 2 sin 2 2sin cos 2444 xxxxx 诱导公式的运用诱导公式的运用 1 2 24 2 2 339 7 7 20112011 东城二模理东城二模理 1515 本小题共 13 分 已知 7 2 sin 410 A 4 2 A 求的值 求函数的值域 cos A 5 cos2sinsin 2 f xxAx 解 因为 且 42 A 7 2 sin 410 A 所以 3 244 A 2 cos 410 A 角的变换角的变换因为 coscos 44 AA cos cossin sin 4444 AA 所以 6 分 227 223 1021025 3 cos 5 A 由 可得 4 sin 5 A 所以此结构转化为二次函数值域问题此结构转化为二次函数值域问题 5 cos2sinsin 2 f xxAx 2 1 2sin2sinxx 2 13 2 sin 22 x x R 因为 所以 当时 取最大值 sin 1 1 x 1 sin 2 x f x 3 2 当时 取最小值 sin1x f x3 所以函数的值域为 f x 3 3 2 8 8 20112011 年朝阳期末理年朝阳期末理 1515 已知 中 ABC2sincossincoscossinABCBCB 求角的大小 设向量 求当取最B cos cos2 AA m 12 1 5 n m n 小值时 值 4 tan A 解 解 因为 和差角公式逆用和差角公式逆用2sincossincoscossinABCBCB 所以 3 分2sincossin sin sinABBCAA 因为 所以 所以 5 分0Ap sin0A 1 cos 2 B 因为 所以 7 分0Bp 3 B 因为 8 分 12 coscos2 5 AA m n 所以 10 分 22 12343 cos2cos12 cos 5525 AAA m n 所以当时 取得最小值 3 cos 5 A m n 9 此时 于是 同角关系或三角函数定义同角关系或三角函数定义 12 分 4 sin 5 A 0Ap 4 tan 3 A 所以 13 分 tan11 tan 4tan17 A A A 9 9 20112011 年石景山期末理年石景山期末理 1515 已知函数 2 3 cossinsin3 2 xxxxf Rx 求的值 若 求的最大值 在中 若 4 f 2 0 x xfABC BA 求的值 2 1 BfAf AB BC 解 解 4 分 2 3 4 cos 4 sin 4 sin3 4 2 f 2 1 2 2cos1 3 x xf 2 3 2sin 2 1 x 6 分xx2cos 2 3 2sin 2 1 3 2sin x 2 0 x 3 2 3 2 3 x 当时 即时 的最大值为 8 分 2 32 x 12 5 x xf1 3 2sin xxf 若是三角形的内角 则 x x0 3 5 3 2 3 x 令 得 2 1 xf 此处两解此处两解 15 sin 2 22 323636 xxx 或 解得或 10 分 4 x 12 7 x 由已知 是 的内角 且 BA ABCBA 2 1 BfAf 4 A 12 7 B 11 分 6 BAC 又由正弦定理 得 13 分2 2 1 2 2 6 sin 4 sin sin sin C A AB BC 1010 20112011 东城一模理东城一模理 1515 本小题共 13 分 在 中 角 的对边分别为 分 且满足 ABCABCabc 2cos cos cbB aA 求角的大小 若 求 面积的最大值 A2 5a ABC 解 因为 2cos cos cbB aA 所以 2 coscoscbAaB 由正弦定理正弦定理 得 边化角边化角 2sinsin cossincosCBAAB 整理得 2sincossincossincosCABAAB 所以 2sincossin sinCAABC 在 中 所以 ABCsin0C 1 cos 2 A 3 A 10 由余弦定理 222 1 cos 22 bca A bc 2 5a 所以 均值定理在三角中的应用均值定理在三角中的应用 22 20220bcbcbc 所以 当且仅当时取 取等条件别忘取等条件别忘20bc bc 所以三角形的面积 1 sin5 3 2 SbcA 所以三角形面积的最大值为 13 分5 3 11 2011 丰台一模理丰台一模理 15 在 ABC 中 a b c 分别为内角 A B C 的对边 且 b2 c2 a2 bc 求角 A 的大小 设函数 当取最大值 2 cos 2 cos 2 sin3 2x xx xf Bf 时 判断 ABC 的形状 2 3 解 在 ABC 中 因为 b2 c2 a2 bc 由余弦定理 a2 b2 c2 2bccosA 可得 cosA 余弦定理或公式必须有一个 否则扣余弦定理或公式必须有一个 否则扣 1 分分 3 分 1 2 0 A 或写成 A 是三角形内角 4 分 5 分 3 A 7 分 2 cos 2 cos 2 sin3 2x xx xf 311 sincos 222 xx 9 分 1 sin 62 x 没讨论 扣 1 分 10 分 3 A 2 0 3 B 5 666 B 当 即时 有最大值是 11 分 62 B 3 B f B 2 3 又 ABC 为等边三角形 13 分 3 A 3 C 1212 2011 2011 海淀一模理海淀一模理