小学数学奥数基础教程(六年级)--23

小学数学奥数基础教程小学数学奥数基础教程 六年级六年级 第第 23 讲讲 本教程共 30 讲 图解法图解法 有许多应用题 其中的数量关系比较复杂 而通过画图可以把数量 之间的关系变得直观明了 从而达到解题目的 这种通过画图帮助解题 的方法就是图解法 我们通过下面几道例题来讲解在各种类型的应用题中如何使用图解 法解题 例例 1 1 甲 乙 丙 丁与小强五位同学一起比赛象棋 每两人都要比 赛一盘 到现在为止 甲已经赛了 4 盘 乙赛了 3 盘 丙赛了 2 盘 丁 赛了 1 盘 问 小强已经赛了几盘 分别与谁赛过 分析与解 分析与解 这道题按照常规思路似乎不太好解决 我们画个图试试 用五个点分别表示参加比赛的五个人 如果某两人已经赛过 就用线段 把代表这两个人的点连结起来 因为甲已经赛了 4 盘 除了甲以外还有 4 个点 所以甲与其他 4 个 点都有线段相连 见左下图 因为丁只赛了 1 盘 所以丁只与甲有线段相连 因为乙赛了 3 盘 除了丁以外 乙与其他三个点都有线段相连 见 右上图 因为丙赛了 2 盘 右上图中丙已有两条线段相连 所以丙只与甲 乙赛过 由上页右图清楚地看出 小强赛过 2 盘 分别与甲 乙比赛 例例 2 2 一群人在两片草地上割草 大的一片草地比小的正好大 1 倍 他们先全体在大的一片草地干了半天 下午留下一半人在大草地上继续 干 收工时正好把草割完 另一半人到小草地上干 收工时还余下一块 这块再用 1 人经 1 天也可割完 问 这群干活的人共有多少位 分析与解 分析与解 本题有多种解法 其中利用图解法十分简洁 设一半人干半天的工作量为 1 份 因为在大草地上全体人干了半天 下午一半人又干了半天 正好割完 所以大草地的工作量是 3 份 由题 意 小草地 因为下午有一半人在小草地上干了半天 即干了 1 份 所以小草地 没干完的是 例例 3 3 A B 两地间有条公路 甲从 A 地出发步行到 B 地 乙骑摩托车 从 B 地同时出发 不停顿地往返于 A B 两地之间 80 分钟后他们第一 次相遇 又过了 20 分钟乙第一次超越甲 求甲 乙速度之比 分析与解 分析与解 在行程问题中 通常先画出运行图 这样直观清晰 可 以帮助我们分析各个量之间的关系 依照题意画运行图如下 第一次相遇时甲 乙各行了 80 分钟 到第一次超越时 甲共行 100 分钟 而乙在第一次相遇到第一次超越的这 20 分钟内行的路程 相当于 甲行 80 100 180 分 的路 所以甲 乙的速度之比为 20 180 1 9 例例 4 4 两名运动员在长为 50 米的游泳池里来回游泳 甲运动员的速 度是 1 米 秒 乙运动员的速度是 0 5 米 秒 他们同时分别在游泳池的 两端出发 来回共游了 5 分钟 如果不计转向时间 那么在这段时间里 共相遇了几次 分析与解 分析与解 甲游完一个全程要 50 1 50 秒 乙游完一个全程要 50 0 5 100 秒 画出这两人的运行图 图中实线段和虚线段的每个交点表示两运动员相遇了一次 从图上 可以看出 甲 乙两运动员在 5 分钟内共相遇了 5 次 其中 有 2 次在 游泳池的两端相遇 例例 4 4 中 如果按照相遇 追及 的过程分别计算 是十分麻烦的 通过画出运行图 结果一目了然 例例 5 5 容器中有某种酒精含量的酒精溶液 加入一杯水后酒精含量降 为 25 再加入一杯纯酒精后酒精含量升为 40 那么原来容器中酒精 溶液的酒精含量是多少 分析与解 分析与解 把加完水和酒精后的酒精溶液分成 5 份 因为酒精含量 是 40 所以其中有 2 份纯酒精 3 份水 见左下图 表示纯酒精 表示水 加入纯酒精前酒精含量为 25 即纯酒精与水之比是 1 3 因此应该是 1 个 和 3 个 见下中图 推知加入的一杯纯酒 精相当于 1 个 则一杯水是 1 个 原来容器中有 1 个 和 2 个 见右下图 酒精含量为 33 3 例例 6 6 有三堆围棋子 每堆棋子数相等 第一堆中的黑子与第二堆中 的白子 部棋子的几分之几 分析与解 分析与解 因为三堆围棋子数量相同 我们可以用三条长度相等的 线段分别表示三堆棋子 每条线段又分成两段分别表示黑子和白子 见 下页图 从图中看出 黑 1 与黑 2 正好等于一条线段的长 即等于全 练习练习 2323 1 A B 两地相距 1000 米 甲 乙二人分别从 A B 两地同时出发 在 A B 两地间往返散步 如果两人第一次相遇时距 A B 两地的中点 100 米 那么 两人第二次相遇地点距第一次相遇地点多远 2 小马虎上学忘了带书包 爸爸发现后立即骑车去追 把书包交给 他后立即返回家 小马虎接到书包后又走了 10 分钟到达学校 这时爸爸 也正好到家 如果爸爸的速度是小马虎速度的 4 倍 那么小马虎从家到 学校共用多少时间 3 某人沿公路前进 迎面来了一辆汽车 他问司机 后面有骑自 行车的人吗 司机回答 10 分钟前我超过一个骑自行车的人 这 人继续走了 10 分钟 遇到了这个骑自行车的人 如果自行车的速度是人 步行速度的 3 倍 那么 汽车速度是人步行速度的多少倍 4 公共汽车从甲站开往乙站 每 5 分钟发车一趟 全程要 15 分钟 有一人从乙站骑自行车去甲站 出发时恰有一辆车到达乙站 在路上他 又遇到 10 辆迎面开来的汽车才到甲站 到站时恰有一辆汽车从甲站开出 问 他从乙站到甲站共用了多少分钟 5 甲 乙两地相距 15 千米 每天 8 点开始从乙地每隔 15 分钟开出 一辆公共汽车到甲地去 车速是 30 千米 时 某人 8 点 20 分骑车从甲地 到乙地去 速度是 15 千米 时 他在路上可以看到几辆从乙地开出的公 共汽车 6 某区举行小学数学竞赛 结果不低于 80 分的人数比 80 分以下的 人数的 4 倍还多 2 人 及格的人数比不低于 80 分的人数多 22 人 恰是 不及格人数的 6 倍 求参赛的总人数 7 1 2 3 4 5 6 号六名运动员进行乒乓球单打循环赛 到现在 为止 1 2 3 4 5 号运动员已参加比赛的场数正好等于他们的编号 数 问 6 号运动员已经赛了几场 答案与提示 练习练习 2323 1 400 米 解 由下图看出 第一次相遇时两人共走一个单程 第二次相遇时 两人共走三个单程 由第一次相遇时两人走的路程相差 200 米 推知第 二次相遇时相差 600 米 所以两次相遇地点相距 200 600 2 400 米 2 50 分 解 由下图看出 爸爸把书包交给小马虎后 小马虎到学校用 10 分 爸爸返回家用 10 分 这段路小马虎走了 40 分 所以小马虎从家到学校 共用 10 40 50 分 3 7 倍 解 由下图看出 汽车追上骑车人后 10 分遇到步行人 此时骑车人 到达 B 地 又过 10 分 步行人与骑车人在 B 点相遇 所以 汽车 10 分 的路等于步行 10 分加骑车 20 分的路 也等于步行 10 20 3 70 分 的路 所以汽车速度是步行速度的 70 10 7 倍 4 40 分 解 根据出发时恰有一辆车到达乙站和到达甲站时恰好遇到第 11 辆 车出发 画出汽车和骑车人的运行图 从图中可以看出骑车人从第 15 分出发 第 55 分到达 中间经过了 55 15 40 分 5 6 辆 提示 6 392 人 解 由 不低于