实小20052006学年上学期四年级数学竞赛试卷

数字谜数字谜 涉及质数与合数等概念 以及需要利用数的整除特征 分解质因数等数论手段解的数字谜问题 1 1 试将 1 2 3 4 5 6 7 分别填入下面的方框中 每个数字只用一次 口口口 这是一个三位数 口口口 这是一个三 位数 口 这是一个一位数 使得这三个数中任意两个都互质 已知其中一个三位数已填好 它是 714 求其他两个 数 分析与解分析与解 714 2 3 7 17 由此可以看出 要使最下面方框中的数与 714 互质 在剩下未填的数字 2 3 5 6 中只能选 5 也就是说 第三个 数只能是 5 现在来讨论第二个数的三个方框中应该怎样填 2 3 6 这 3 个数字 因为任意两个偶数都有公约数 2 而 714 是偶数 所以第二个的三位数不能是偶数 因此个位数字只能是 3 这样 一来 第二个三位数只能是 263 或 623 但是 623 能被 7 整除 所以 623 与 714 不互质 最后来看 263 这个数 通过检验可知 714 的质因数 2 3 7 和 17 都不是 263 的因数 所以 714 与 263 这两个数互 质 显然 263 与 5 也互质 因此 其他两个数为 263 和 5 2 2 如图 19 1 4 个小三角形的顶点处有 6 个圆圈 如果在这些圆圈中分别填上 6 个质数 它们的和是 20 而且每个小 三角形 3 个顶点上的数之和相等 问这 6 个质数的积是多少 分析与解分析与解 设每个小三角形三个顶点上的数的和都是 S 4 个小三角形的和 S 相加时 中间三角形每个顶点 上的数被算了 3 次 所以 4S 2S 20 即 S 10 这样 每个小三角形顶点上出现的三个质数只能是 2 3 5 从而六个质数是 2 2 3 3 5 5 它们的积是 2 2 3 3 5 5 900 3 3 在图 19 2 所示算式的每个方框内填人一个数字 要求所填的数字都是质数 并使竖式成立 分析与解分析与解 记两个乘数为和 cd 其中 a b c d 的值只能取自 2 3 5 或 7 7a b 由已知条件 b 与 c 相乘的个位数字仍为质数 这只可能是 b 与 c 中有一个是 5 另一个是 3 5 或 7 如果 b 不是 5 那 么 c 必然是 5 但 73 5 365 77 5 385 的十位数字都不是质数 因此 b 是 5 c 是 3 5 7 中的一个 同样道理 d 也 是 3 5 7 中的一个 再由已知条件 的乘积的各位数字全是质数 所以乘积肯定大于 2000 满足积大于 2000 且 a c 取质数 只75a 有以下六种情况 775 3 2325 575 5 2875 775 5 3875 375 7 2625 575 7 4025 775 7 5425 其中只有第一组的结果各位数字是质数 因此 a 7 c 3 同理 d 也是 3 最终算式即为 775 33 25575 4 4 把一个两位数的个位数字与其十位数字交换后得到一个新数 它与原来的数加起来恰好是某个自然数的平方 那么 这个和数是多少 分析与解分析与解 设原来的两位数为 则交换十位数字与个位数字后的两位数为 两个数的和为 两个数和为 xyyx xyyx1010 xyxy 11 xy 是 ll 的倍数 因为它是完全平方数 所以也是 11 11 121 的倍数 但是这个和小于 100 100 200 229 而 220 229 之间个位数字不是 2 且是 3 的倍数的只有 225 3 75 和 228 3 76 如果第一乘数是 75 又第二个乘数的百位数字是 3 那么它们的乘积小于 75 400 30000 它的首位数字也就不可 能是 3 不满足 乘数是 76 另一个乘数就要大于 30000 76 394 那么只有 395 396 397 398 399 这五种可能 它们与 76 的 乘积依次为 30020 30096 30172 30248 30324 由于各个数字都不能是 2 所以只有 76 396 30096 满足题目的 要求 算式中所得的乘积为 30096 方法二方法二 为了方便说明 将某些位置标上字母 如下图所示 因为干位最多进 1 而最终的乘积万位又不能是 2 所以只能是 3 而第 5 行对应为 22 口 AB C 其中 C 不可能为 1 又不能为 2 那么最小为 3 当 C 为 3 时 22 口 AB 3 那么 A 只能为 7 B 只能为 4 5 或 6 1 当 B 为 4 时 74 3 222 第 5 行个位为 2 不满足题意 2 当 B 为 5 时 AB CDE 对应为 75 3DE 小于 30000 不满足 3 当 B 为 6 时 AB CDE 对应为 76 3DE D 只能为 9 此时第 4 行对应为 AB D 即 76 9 684 因为 30000 76 394 所以 39E 只有 395 396 397 398 399 这五种可能 它们与 76 的乘积依次为30020 30096 30172 30248 30324 由于各个数字都不能是 2 所以只有 76 396 30096 满足题目的要求 验证 C 取其他值时没有满足题意的解 所以算式中所得的乘积为 30096 1212 请补全图 19 6 这个残缺的除法竖式 问这个除法算式的商数是多少 分析与解分析与解 易知除号下第二行的首位为 9 除号下第一行开头两位为 1 0 商的十位为 0 第二行 9 口对应为 CD A 1 9 口不可能为 90 不然第一行前三位 10 口与第二行 90 的差不可能为一 位数 不满足第三行特征 2 9 口对应为 91 时 第三行的首位对应为 10 口 91 最小为 9 所以只能为 9 那么有 91 CD A 928 CD B 不可能 3 9 口对应为 92 时 第三行的首位对应为 10 口 92 最小为 8 所以可能为 8 9 如果为 9 那么对应有 92 CD A 928 CD B 不可能 如果为 8 那么对应有 92 CD A 828 CD B 不难得知 A l B 9 CD 92 时满足 那么被除数为 92 109 10028 验证没有其他的情况满足 所以这个除法算式的商数为 109 1313 若用相同汉字表示相同数字 不同汉字表示不同数字 则在等式学习好勤动脑 5 勤动脑学习好 8 中 学习好 勤动脑 所表示的六位数最小是多少 分析与解分析与解 设 学习好 为 x 勤动脑 为 Y 则 学习好勤动脑 为 1000X Y 勤动脑学习好 为 1000y x 有 1000 x Y 5 1000y x 8 化简有 4992x 7995y 4992 128 3 13 7995 3 41 5 13 即 128x 205y 有 205 128 x y 410 256 x y 615 384 x y 820 512 x y 所以 学习好勤动脑 所表示的六位数可能为 205128 410256 615384 820512 但是不能有重复数字 所以只有 410256 615384 满足 其中最小的是 410256 1414 互为反序的两个自然数的积是 92565 求这两个互为反序的自然数 例如 102 和 201 35 和 53 11 和 11 称为 互为反序的数 但 120 和 2l 不是互为反序的数 分析与解分析与解 首先可以确定这两个自然数均为三位数 不然得到的乘积不可能为五位数 设 92565 那么 C A 中必定有一个为 5 一个为奇数 不妨设 C 为 5 ABCCBA 92565 那么 A 只能为 1 92565 又注意到 92565 3 3 5 11 1l 17 5AB5BA1 5 5 1BB 验证只有为 165 时满足 所以这两个自然数为 165 561 1 5B 1515 开放的中国盼奥运 口 盼盼盼盼盼盼盼盼盼 上面的横式中不同的汉字代表不同的数字 口代表某个一位数 那么 盼 字所代表的数字是多少 分析与解分析与解 我们从 口 中所应填入的一位自然数开始分析 设 A 开放的中国盼奥运 B 盼盼盼盼盼 盼盼盼盼 于是 B A 口 显然口内不会是 1 由于口是 B 的约数 因此口不会是 盼 所代表的数字 要不然 A 就等于 111111111 这说明口内不会是 5 而 111111111 不是 7 的倍数 说明口内也不会是 7 如果口内填 3 则 盼 只能是 1 或 2 当 盼 是 1 时 B 3 37037037 不符合要求 当 盼 时 2 时 B 3 74074074 也不符合要求 说明口内不能填入 3 口内也不会是偶数数字 2 4 6 和 8 因为口内是偶数数字时 盼 也是偶数数字 口内显然不会是 2 如果口 内是 4