山东工商学院-线性代数重点

一 阶行列式 111 111 111 n 解 解 4 111100 1 1110 11111 Dnn 1 n n 二 11111 000 0000 000 000 3 22 11 nn aa a aa aa 解 解 1 22 3 4 0000 000 0000 000 11111 nn a aa a D aa n 2 1212 1 1 1 1 nn nn na aana aa 三 设 1 1 1 1 3 2 1 2 t 3 1 3 1 当 为何值时 向量组线性相关 t 321 2 当 为何值时 向量组线性无关 t 321 3 当 线性相关时 可否由线性表示 若能 求 其表示系数 321 3 21 解 解 1 当 即时 111111 12301250 13021 Dt tt 5t 线性相关 321 2 当 即时 线性无关 50Dt 5t 321 3 当时 解线性方程组 即5t 31122 xx 得 12 12 12 1 23 35 xx xx xx 1 2 1 2 x x 所以可由线性表示 表达式为 3 21 312 2 四试判断向量可否由向量组 8 4 2 1 2 1 1 线性表出 若能 请试写 23 1 1 3 1 1 3 4 2 1 1 出其一种表示形式 解 解 解线性方程组 11223344 xxxx 即 1234 1234 1234 222 4 338 xxxx xxxx xxxx 2112210212 1111411114 1331813318 A 1021210212 0130601306 03501000408 1021210012 0130601000 0010200102 即 当时 14 2 3 2 0 2 xx x x 4 0 x 1234 2 0 2 0 xxxx 所以 1234 2020 五证明 若向量组线性相关 则向量组 s 21 11 也线性相关 212 ss 321 证明 证明 显然 向量组可由向量组线性表出 故秩 12 s 12 s 秩 而向量组线性相关 有秩 12 s 12 s 12 s 则 12 s s 秩 所以向量组也线性相关 12 s s 12 s 六证明 若向量组可由向量组线性表出 线性相关 则 321 321 321 也线性相关 321 证明 证明 由于向量组可由向量组线性表出 故秩 秩 321 321 123 而向量组线性相关 有秩 则秩 123 321 123 s 所以向量组也线性相关 321 s 321 七设矩阵 若它的秩等于 3 求的值 5202 4011 3110 212 1321 k Ak 解 解 对矩阵进行初等变换A 123112311231 2120560001 15 011301130113 1104033300012 2025044300015 kkk A 12311230 01130110 001 150010 00010001 00010000 kk 要使矩阵的秩等于 3 则 A1k 八 设向量组 0 2 2 1 14 7 0 3 2 1 3 0 4 2 1 1 4321 求其极大无关组 10 5 1 2 5 解 解 根据这个向量组作一个矩阵并对这个矩阵作初等行变换 1031210312 1302103313 2172501101 421401002202 A 1031210312 0001001101 0110100010 0000000000 这个向量组的秩为 其极大无关组为或 或 3 124 134 145 九试求向量组 的秩和一个极大无关组 4 0 1 1 1 3 0 2 5 1 2 0 2 2 1 1 4321 并将其余向量用此极大无关组表示 解 解 根据这个向量组作一个矩阵并对这个矩阵作初等行变换 102110211020 120102200110 213001120001 251405520000 A 这个向量组的秩为 一个极大无关组为 且有3 124 3124 20 十 取何值时 方程组有非零解 0554 0 02 321 321 321 xxx xxx xxx 解 解 当这个线性方程组的系数行列式 2121 1110 1 54 0 455450 D 即或时 这个线性方程组有非零解 1 4 5 十一 方程组 bxxxx axxxxx xxxxx xxxxx 5432 54321 54321 54321 622 3345 122234 1 问 当 为何值时 方程组有解 无解 有解时 是唯一解还是无穷解 ab 解 解 对这个线性方程组的增广矩阵进行初等行变换 111111111111 432221012263 54331012265 0122601226 A aa bb 111111 012263 000002 000003 a b 当或时 这个线性方程组无解 2a 3b 当且时 这个线性方程组有解 且有无穷多解 2a 3b 十二 取何值时 线性方程组ab bxxxxx xxxx axxxxx xxxxx 54321 5432 54321 54321 3345 3622 323 1 有解 并求出全部解 解 解 对这个线性方程组的增广矩阵进行初等行变换 111111111111 32113012263 012263012263 54331012265 aa A bb 101152 012263 00000 000002 a b 当且时 这个线性方程组有解 其全部解为0a 2b 为任意常数 123 2115 3226 0100 0010 0001 kkk 123 k k k 十三设 求 143 521 A 021 302 BAAABAB TTT 解 解 21 125133 02 34135 30 T AB 215811 125 02682 341 303615 T B A 1310148 125 24142014 341 5181426 T A A 十四设 说明可逆 并求 AA 2 AE 1 AE 解 解 由 得 有 AA 22 AAEE 22 11 22 AAEAE 进一步有 即 11 22 A EAEAE 1 2 EA EAE 所以可逆 且 AE 1 1 2 EAEA 十五设阶方阵和满足条件 证明为可逆矩阵 nABABBA EA 证明 证明 由 得 有ABBA ABABO 即 ABABEE AE BEE 所以为可逆矩阵 且 EA 1 AEBE 十六用初等变换求的逆矩阵 201 013 121 A 解 解 对下面矩阵只进行初等行变换 121100121100 310010053310 102001023101 A E 102001102001 013112013112 023101009125 241 100 999 102001 211 013112010 333 125 125001 001 999 999 故 1 1 241 999 121 211 310 333 102 125 999 A 十七 设 求解矩阵方程 121 111 312 A 35 02 11 BXBAX 解 解 对下面矩阵只进行初等行变换 1 XAEB 1131111311 1212003211 1205303364 AE B 74219 1010015 3333 2115 010105 3333 0017300173 所以 1 19 15 3 5 5 3 73 XAEB 十八 若阶矩阵满足 试证可逆 并求出 nAOEAA 2 2 A 1 A 证明 证明 由得 即 OEAA 2 22 2AAE 2 AEAE 所以可逆 且 A 1 2 AEA 十九 求正交矩阵 使为对角矩阵 TATT 1 320 222 021 A 解 解 1 求 320 222 1 2 5 021 A fEA 2 由 1 解得的特征值为 A 123 1 2 5 3 对于 解齐次线性方程组1 1 2 3 4200 2320 0220 x x x 得其线性无关的特征向量为 1 1 2 2 对于 解齐次线性方程组2 1 2 3 1200 2020 0210 x x x 得其线性无关的特征向量为 2 2 1 2 对于 解齐次线性方程组5 1 2 3 2200 2320 0240 x x x 得其线性无关的特征向量为 3 2 2 1 4 将单位化得 123 1 1 1 2 3 2 2 2 1 1 3 2 3 2 1 2 3 1 5 令 有 123 122 333 212 333 221 333 T 1 1 00 020 005 T AT 4101 1410 0141 1014 A 解 解 1 求 2 4101 1410 2 4 6 0141 1014 A fEA 2 由 1 解得的特征值为 A 1234 2 4 6 3 对于 解齐次线性方程组2 1 2 3 4 21010 12100 01210 10120 x x x x 得其线性无关的特征向量为 1 1 1 1 1 对于 解齐次线性方程组4 1 2 3 4 01010 10100 01010 10100 x x x x 得其线性无关的特征向量为 23 10 01 10 01 对于 解齐次线性方程组6 1 2 3 4 21010 12