随机变量及其分布.ppt

第二章随机变量及其分布 学习目的要求本章研究一维离散型和连续型随机变量及其分布 要求掌握离散型随机变量及其分布列的概念 掌握连续型随机变量及其概率密度的概念 掌握随机变量函数分布的基本概念和计算方法 主要教学内容 随机变量离散型随机变量及其分布律随机变量的分布函数连续型随机变量及其概率密度随机变量的函数的分布 1随机变量 定义设随机试验的样本空间为S e X X e 是定义在样本空间上的实值单值函数 称X X e 为随机变量 例如 用Y记某车间一天的缺勤人数 则Y是随机变量 注1 一般用大写字母表示随机变量 小写字母表示实数 注2 随机变量的引入 使我们能用随机变量来描述各种随机现象 可以用数学分析的方法对随机试验的结果进行研究 2离散型随机变量及其分布律若随机变量的全部可能取到的值是有限个或可列无限多个 这种随机变量称为离散型随机变量 离散型随机变量的分布律 设离散型随机变量X的所有可能的值为xk k 1 2 X取各个可能值的概率 即事件 X xk 的概率P X xk pk k 1 2 称为离散型随机变量的分布律 分布律也可以用表格的形式来表示 例 设一汽车在开往目的地的道路上需经过四组信号灯 每组信号灯以 的概率允许或禁止汽车通过 以X表示汽车首次停下时 它已通过的信号灯的组数 设各组信号灯的工作是相互独立的 求X的分布律 解以p表示每组信号灯禁止汽车通过的概率 易知的分布律为 或写成P X k 1 p kp k 0 1 2 3 p X 4 1 p 4以p 1 2代入得 三种重要的离散型随机变量1 0 1 分布设随机变量X只可能取0与1两个值 它的分布律是 P X k pk 1 p 1 k k 0 1 0 p 1 则称X服从 0 1 分布或两点分布 0 1 分布的分布律也可写成 注1 对于一个随机试验 如果它的样本空间只包含两个元素 即 我们可以在上定义一个服从 0 1 分布的随机变量 注2 应用 对新生婴儿的性别进行登记 检查产品的质量是否合格 车间的电力消耗是否超过负荷 抛硬币试验等都可以用 0 1 分布的随机变量来描述 2伯努利试验 二项分布设试验E只有两个可能的结果 A 则称E为伯努利 Bernoulli 试验 设P A p 0 p 1 此时将E独立地重复进行n次 称这一串重复的独立试验为n重伯努利试验 n重伯努利试验是一种很重要的数学模型 它有广泛的应用 例如 E是抛一枚硬币观察得到正面或方面 A表示正面 这是一个伯努利试验 如将硬币抛n次 就是n重伯努利试验 以X表示n重伯努利试验中事件A发生的次数 X是一个随机变量 则在n次试验中A发生k次的概率为 这里q 1 p 称随机变量X服从参数为n p的二项分布 记为X b n p 特别 当n 1时的二项分布化为P X k pkq1 k k o 1这就是 0 1 分布 例2按规定 某种型号电子元件的使用寿命超过1500小时的成为一等品 已知某一大批产品的一级品率为0 2 现在从中随机地抽查20只 问20只元件中恰有k只 k 0 1 20 为一级品的概率是多少 解所求的概率为 将计算结果列表如下 例3某人进行射击 设每次射击的命中率为0 02 独立射击400次 试求至少击中两次的概率 解将一次射击看成是一次试验 设击中的次数为X 则X b 400 0 02 X的分布律为 于是所求的概率为P X 2 1 P X0 P X 1 1 0 98 400 400 0 02 0 98 399 0 9972 3泊松分布 设随机变量X所有可能取的值为 取各个值的概率为其中是常数 则称X服从参数为的泊松分布 应用 一本书一页中的印刷错误数 某地区在一天内邮件遗失的信件数 某一医院在一天内的急诊病人数 某一地区一个时间间隔内发生交通事故的次数 1随机变量的分布函数设X是一个随机变量 x是任意实数 函数F x P X x 称为X的分布函数 注 对于任意实数x1 x2 x1 x2 有P x1 X x2 P X x2 P X x1 F x2 F x1 注 分布函数完整地描述了随机变量的统计规律 注 如果将X看成是数轴上的随机点的坐标 那么 分布函数F x 在x处的函数值就表示X落在区间 x 上的概率 分布函数F x 的性质 F x 是一个不减函数 0 F x 1 且 F x 0 F x 即F x 是右连续的 一般 设离散型随机变量X的分布律为P X xk pk k 1 2 则X的分布函数为 注 分布函数F x 在x xk k 1 2 处有跳跃 其跳跃值为pk P X xk 例 设随机变量的分布律为 求X的分布函数 并求解 4连续型随机变量及其概率密度如果对于随机变量X的分布函数F x 存在非负函数f x 使对于任意实数x 有 则称X为连续型随机变量 其中函数f x 称为X的概率密度函数 简称概率密度 概率密度f x 具有如下性质 1 f x 02 3 对任意实数x1 x2 x1 x2 4 若在点处连续 则有 例 设随机变量X具有概率密度 确定常数k 求的分布函数F x 求P 1 X 7 2 X的概率密度为 解 X的分布函数为 三种重要的连续型随机变量 均匀分布设连续型随机变量X具有概率密度则称X在区间 a b 上服从均匀分布 记为X U a b X的分布函数为 例 设电阻值R是一个随机变量 均匀分布在 求R的概率密度及落在的概率 解按题义 R的概率密度为 2指数分布设连续型随机变量X的概率密度为其中为常数 则称X服从参数为的指数分布 X的分布函数为 指数分布的无记忆性性质 对于任意的s t 0 有P X s t X s P X t 注意 指数分布在可靠性理论和排队轮论中有广泛的应用 3正态分布设连续型随机变量X的概率密度为其中为常数 则称X服从参数为的正态分布或高斯 Gaoss 分布 记为 正态分布具有如下性质 曲线关于对称 2 标准正态分布当时称X服从标准正态分布 其概率密度和分布函数分别用表示 即有 注意 在自然现象和社会现象中 大量随机变量都服从或近似服从正态分布 例如 一个地区的男性成年人的身高 测量某零件长度的误差 海浪波浪的高度 半导体器件中热燥声电流或电压等都服从正态分布 例3将一温度调节器放置在储存着某种液体的容器内 调节器整定在d0C 液体的温度 以C计 是一个随机变量 且X N d 0 52 1 若d 90 求X小于89的概率 2 若要求保持液体的温度至少为80的概率不低于0 99 问至少为多少 解 1 所求概率为 2 按题义需求满足 5随机变量的函数的分布本节介绍 已知随机X变量的概率分布 求它的函数Y g X g 是已知的连续函数 的概率分布 有定义法和公式法2种方法 1 定义法从分布函数的定义出发进行计算例1设随机变量X具有以下的分布律 试求Y X 1 2的分布律 解X的所有可能取的值为0 1 4P Y 0 P X 1 2 0 P X 1 0 1P Y 1 P X 1 2 1 P X 0 P X 2 0 7P Y 4 P X 1 2 2 P X 1 0 2即得Y的分布律为 例2设随机变量X具有密度函数求随机变量Y 2X 8的概率密度 解分别记X Y的分布函数为FX x FY y 则有 将FY y 关于y求导数 得Y 2X 8的概率密度为 例3设随机变量X具有密度函数fx x x 求Y X2的概率密度 解分别记X Y的分布函数为FX x Fy y 由于Y X2 0 故当y 0时 有将Fy y 关于y求导数 即得Y的概率密度为 2 公