131空间几何体的表面积

1 3 1 空间几何体的表面积 一 教材知识解析 1 多面体的表面积 侧面积 1 棱柱的表面积公式为 直棱柱的侧面积公式为 为底面周长 2SSS 侧表底 Sch 侧 c 是高 即直棱柱的侧棱长 h 2 棱锥的表面积公式为 正棱锥的侧面积公式为 为底面2SSS 侧表底 1 S 2 ch 侧 c 周长 是斜高 即棱锥的侧面三角形的高 h 3 棱台的表面积公式为 正棱台的侧面积公式为 SSSS 侧表上底下底 分别为上下底面周长 是斜高 即棱台的侧面梯形的高 1 S 2 cc h 侧 c c h 2 旋转体的表面积 侧面积 1 圆柱的侧面积公式为 圆柱的表面积公式为 为底面2Srh 侧 2 22Srhr 表 r 圆的半径 是高 即圆柱的母线长 h 2 圆锥的侧面积公式为 圆锥的表面积公式为 为底面圆的Srl 侧 2 Srlr 表 r 半径 是圆锥的母线长 l 3 圆台的侧面积公式为 圆台的表面积公式为 Srr l 侧 为上下底面圆的半径 是圆锥的母线长 2 2 Srr lrr 表 r rl 4 球的表面积公式为 其中 R 为球的半径 2 4SR 表 二 题型解析 题型一 柱体的表面积及其综合问题 例 1 已知直三棱柱底面各边的比为 5 4 3 侧棱长为 16 cm 全面积为 960 cm2 求底面各 边之长 解 设底面三边长分别是 5a 4a 3a S侧 5a 4a 3a 16 192a 由直三棱柱底面各边的比为 5 4 3 知 直三棱柱底面为直角三角形 S底 4a 3a 6a2 1 2 192a 12a2 960 解得 a 4 三边长分别为 20 cm 16 cm 12 cm 技巧总结 熟悉柱体的表面积 侧面积公式 变式与拓展 已知直三棱柱底面各边的比为 17 10 9 侧棱长为 16 cm 全面积为 1440 cm2 求底面各边之长 解 设底面三边长分别是 17a 10a 9a S侧 17a 10a 9a 16 576a 设 17a 所对三角形内角 则 cos sin 10a 2 9a 2 17a 2 2 10a 9a 3 5 4 5 S底 10a 9a 36a2 1 2 4 5 576a 72a2 1440 解得 a 2 三边长分别为 34 cm 20 cm 18 cm 题型二 锥体的表面积及其综合问题 例 2 正三棱锥底面边长为 a 侧棱与底面成 45 角 求此棱锥的侧面积与全面积 解 如图所示 设正三棱锥 S ABC 的高为 SO 斜高为 SD 在 Rt SAO 中 AO SA cos45 AO AD a SA a 2 3 2 3 3 2 6 3 在 Rt SBD 中 SD aaa 6 15 2 1 3 6 22 S侧 3a SD a2 S底 a2 1 2 15 4 3 4 S全 a2 15 4 3 4 技巧总结 将文字语言翻译成图形语言 是立几学习的关键 变式与拓展 侧面都是直角三角形的正三棱锥 底面边长为 1 时 该三棱锥的全面积是 A B C D 33 4 3 4 3 2 2 63 4 解析 三棱锥的侧面是顶角为直角的等腰直角三角形 所以 选 2 31233 3 4224 S A 题型三 旋转体的表面积及其综合问题 例 3 已知过球面上三点的截面和球心的距离为球半径的一半 且 A B C 求球的表面积2ABBCCA 解 设截面圆心为 连结 设球半径为 O O A R 则 232 3 2 323 O A 在中 Rt O OA 222 OAO AO O 222 2 31 34 RR 4 3 R 2 64 4 9 SR 技巧总结 正确应用球的表面积公式 建立平面圆与球的半径之间的关系 变式与拓展 已知圆锥的全面积是它内切球表面积的 2 倍 求圆锥侧面积与底面积之比 解 过圆锥的轴作截面截圆锥和内切球分别得轴截面 SAB 和球的大圆 O 且 O 为 SAB 的内切圆 设圆锥底面半径为 r 母线长为 l 内切圆半径为 R 则 S锥全 r2 rl S球 4 R2 r2 rl 8R2 又 SOE SAO1 rl rl rl rl r R 22 由 得 R2 r2 代入 得 r2 rl 8r2 得 rl rl rl rl l 3r 3 2 r l r rl S S 底 锥侧 圆锥侧面积与底面积之比为 3 1 三 基础练习 1 已知圆锥的全面积是底面积的 3 倍 那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为 A B C D 120 150 180 240 选 C 2 正方体的全面积是 它的顶点都在这个球面上 这个球的表面积是 2 a A B C D 2 3a 2 2a 2 2 a 2 3 a 选 C 3 若一个圆锥的轴截面是等边三角形 其面积为 则这个圆锥的全面积是 3 A B C D 3 3 3 6 9 选 A 4 圆柱的底面直径与高都等于球的直径 则球的表面积与圆柱全面积的比是 解析 设球的半径为 R 则圆柱的底面半径为 R 高为 2R 得 S球 4 R2 S圆柱侧 2 R 2R 4 R2 S圆柱全 4 R2 2 R2 6 R2 S球 4 R2 S球 S圆柱全 2 3 5 有三个球 第一个球内切于正方体的六个面 第二个球与这个正方体各条棱都相切 第 三个球过这个正方体的各顶点 则这三个球的表面积之比是 解 设正方体的棱长为 a 则第一个球的半径为 第二个球的半径是a 第三个球 a 2 2 2 的半径为a 3 2 r1 r2 r3 1 S1 S2 S3 1 2 3 23 1 3 2 空间几何体的体积 一 教材知识解析 1 多面体的体积公式 名称棱柱棱锥棱台 体积 V S底 h S底 h 3 1 h S上底 S下底 3 1 下底下底 SS 表中 S 表示面积 h 表高 2 旋转体的面积和体积公式 名称圆柱圆锥圆台球 体积 V r2h 即 r2 l r2h 3 1 h r21 r1r2 r22 3 1 R3 3 4 表中 h 分别表示母线 高 r 表示圆柱 圆锥与球冠的底半径 r1 r2分别表示圆台 l 上 下底面半径 R 表示半径 二 题型解析 题型一 计算简单组合体的体积 例 1 一空间几何体的三视图如图所示 则该几何体的体积为 A 22 3 B 42 3 C 2 3 2 3 D 2 3 4 3 解析 该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的 圆柱的底面半径为 1 高为 2 体积为2 四棱锥的底面 边长为2 高为3 所以体积为 2 12 3 23 33 所以该几何体的体积为 2 3 2 3 答案 C 技巧总结 三视图能够想象得到空间的立体图 并能准确地 计算出几何体的体积 变式与拓展 用单位立方块搭一个几何体 使它的主视图和俯视图 如下图所示 则它的体积的最小值为 最大 值为 10 16 2 2 侧 左 视图 2 2 2 正 主 视图 俯视图 俯视图主视图 题型二 利用体积求点到面的距离 例 2 如图 四面体 ABCD 中 O E 分别是 BD BC 的中点 2 2 CACBCDBDABAD 求证 平面 BCD AO 求异面直线 AB 与 CD 所成角余弦的大小 求点 E 到平面 ACD 的距离 解 证明 连结 OC BODO ABADAOBD BODO BCCD COBD 在中 由已知可得AOC 1 3 AOCO 而 2AC 222 AOCOAC 即 90 o AOC AOOC 平面 BDOCO AO BCD 解 取 AC 的中点 M 连结 OM ME OE 由 E 为 BC 的中点知 ME AB O E D C 直线 OE 与 EM 所成的锐角就是异面直线 AB 与 CD 所成的角 在中 OME 121 1 222 EMABOEDC 是直角斜边 AC 上的中线 OM AOC 1 1 2 OMAC 222 2 cos 24 OEEMOM OEM OE EM 异面直线 AB 与 CD 所成角余弦的大小为 2 4 解 设点 E 到平面 ACD 的距离为 h E ACDA CDE VV 11 33 ACDCDE h SAO S 在中 ACD 2 2CACDAD D A C O B E A C D O B E 而 22 127 22 222 ACD S 1AO 2 133 2 242 CDE S 点 E 到平面 ACD 的距离为 3 1 21 2 77 2 CDE ACD AO S h S 21 7 技巧总结 利用体积相等来求点到面的距离是求距离的重要方法 变式与拓展 下图是一几何体的直观图 主视图 俯视图 左视图 1 若F为PD的中点 求证 AF 面PCD 2 求 A 到面 PEC 的距离 解 由几何体的三视图可知 底面ABCD是边长为4的正方形 PA 面ABCD PA EB 24PAEB PAAD F 为PD的中点PDAF 又 CDDA CDPA CDAF AF 面PCD 有已知可得 2 5 4 3PCPEPC 1 4 3 2 24 6 2 PCE S AA 1 4 48 2 PEA S A A 由 得 C PEAA PEC VV 11 8 44 6 33 h 解得 84 6 36 h 题型三 几何体的体积分割 例 3 从一个正方体中 如图那样截去 4 个三棱锥后 得 到一个正三棱锥 A BCD 求它的体积是正方体体积 的几分之几 解 设正方体体积为 Sh 则每个截去的三棱锥的体积 为 Sh Sh 1 3 1 2 1 6 三棱锥 A BCD 的体积为 Sh 4 Sh Sh 1 6 1 3 A B CD P E 4 主视图 4 俯视图 4 4 2 2 正三棱锥 A BCD 的体积是正方体体积的 1 3 技巧总结 几何体的体积分割主要是分清分割后的几何体的组成部分 变式与拓展 变式与拓展 如图 三棱柱 ABC A1B1C1中 若 E F 分别为 AB AC 的中点 平面 EB1C1将三棱柱分成体积为 V1 V2的两部分 那么 V1 V2 解 设三棱柱的高为 h 上下底的面积为 S 体积为 V 则 V V1 V2 Sh E F 分别为 AB AC 的中点 S AEF S 4 1 V1 h S S Sh 3 1 4 1 4 1 S 12 7 V2 Sh V1 Sh 12 5 V1 V2 7 5 四 达标训练 1 球的大圆面积扩大为原大圆面积的 4 倍 则球的表面积扩大成原球面积的 B A 2 倍 B 4 倍 C 8 倍 D 16 倍 2 三个球的半径之比为 1 2 3 那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的 C A 1 倍 B 2 倍 C 1倍 D 1倍 5 4 4 3 3 已知正方体的棱长为 a 过有公共顶点的三条棱的中点的截面分别截去 8 个角 则剩余 部分的体积是 C A a3 B a3 C a3 D a3 2 1 3 2 6 5 12 11 4 正方形 ABCD 的边长为 1 E F 分别为 BC CD 的中点 沿 AE EF AF 折成一个三棱锥 使 B C D 三点重合 那么这个三棱锥的体积为 B A B C D 8 1 24 1 24 2 48 5 5 棱锥 V ABC 的中截面是A1B1C1 则三棱锥 V A1B1C1与三棱锥 A A1BC 的体积之比是 B A 1 2 B 1 4 C 1 6 D 1 8 6 如图 在多面体 ABCDEF 中 已知 ABCD 是边长为 1 的正方形 且 BCFADE 均为正三角形 EF AB EF 2 则该多面体的体积为 A 3 2 B 3 3 C 3 4 D 2 3 7 直三棱柱的体积是 V D E 分别在 CBAABC A A 上 线段 DE 经过矩形的中心 则四棱锥 C ABED 的体积是B B ABAB 3 V 8 圆锥的底面半径为 5cm 高为 12cm 当它的内接圆柱的底面半径为何值时 圆锥的内接 圆柱的全面积有最大值 最大值是多少 解 如图 SAB 是圆锥的轴截面 其中 SO 12 OB 5 设圆锥内接圆柱底面 半径为 O1C x 由与相似 则CSO1 SOB 1 11 1 12 5 SOSOSO SOOCx OCOBOB OO1 SO SO1 12 则圆柱的全面积 S S侧 2S底 2 x 5 12 则当时 S 取到最大值 22 127 12 22 12 55 x xxxx 20 7 xcm 2 360 7 cm 9 已知 ABCD A1B1C1D1是棱长为 a 的正方体 E F 分别为棱 AA1与 CC1的中点 求四棱锥 A1 EBFD1的体积 解 四棱锥 A1 EBFD1的底面是菱形 连接 22 11 5 22 a EBBFFDD Eaa EF 则 平面 ABB1A1 1 EFDEFB 1 111 CCVV EFDAEFBA 三棱锥 F EBA1的高是 CC1到平面 AB1的距离 即棱长 a S 4 1 22 1 2 1 2 1 1 aa a ABEA EBA 12 1 4 1 3 1 32 1 1 aaaVV EBAF EFBA 6 1 2 3 111 aVV EFBAEBFDA 10 1 如图 边长为 2 的等边 PCD 所在的平面垂直于矩形 ABCD 所在的平面 BC 22 M为BC 的中点 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 证明 AM PM 求二面角 P AM D 的大小 求点 D 到平面 AMP 的距离 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 解法解法 1 取 CD 的中点 E 连结 PE EM EA PCD 为正三角形 PE CD P