2000年全国高中数学联赛试题[1]VIP

2000 年全国高中数学联赛试题 第一试 10 月 15 日上午 8 00 9 40 一 一 选择题选择题 本题共有 6 小题 每题均给出 A B C D 四个结论 其中有且仅有一个 是正确的 请将正确答案的代表字母填在题后的括号内 每小题选对得 6 分 不选 选错 或选出的代表字母超过一个 不论是否写在括号内 一律得 0 分 1 设全集是实数 若 A x 0 B x 则是 答 2 x 2 2 10 xx 10BA A 2 B 1 C x x 2 D 2 设 sin 0 cos 0 且 sin cos 则的取值范围是 答 3 3 3 A 2k 2k k Z B k Z 6 3 3 2 k 6 3 2 k 3 C 2k 2k k Z D 2k 2k 2k 2k k Z 6 5 4 3 6 5 3 已知点 A 为双曲线 x2 y2 1 的左顶点 点 B 和点 C 在双曲线的右分支上 ABC 是等 边三角形 则 ABC 的面积是 答 A B C 3 D 6 3 3 2 33 33 4 给定正数 p q a b c 其中 p q 若 p a q 是等比数列 p b c q 是等差数列 则一元二次方 程 bx2 2ax c 0 答 A 无实根 B 有两个相等实根 C 有两个同号相异实根 D 有两个异号实根 5 平面上整点 纵 横坐标都是整数的点 到直线的距离中的最小值是 5 4 3 5 xy A B C D 答 170 34 85 34 20 1 30 1 6 设 则以 3 7 9为根的方程是 答 5 sin 5 cos i A x4 x3 x2 x 1 0 B x4 x3 x2 x 1 0 C x4 x3 x2 x 1 0 D x4 x3 x2 x 1 0 二 填空题二 填空题 本题满分 54 分 每小题 9 分 本题共有 6 小题 要求直接将答案写在横线上 7 arcsin sin2000 8 设 an是 3 的展开式中 x 项的系数 n 2 3 4 则 n x n n n aaa 333 lim 3 3 2 2 9 等比数列 a log23 a log43 a log83 的公比是 10 在椭圆 a b 0 中 记左焦点为 F 右顶点为 A 短轴上方的端点为 B 若1 2 2 2 2 b y a x 该椭圆的离心率是 则 ABF 2 15 11 一个球与正四面体的六条棱都相切 若正四面体的棱长为 a 则这个球的体积是 12 如果 1 a b c d 都属于 1 2 3 4 2 a b b c c d d a 3 a 是 a b c d 中的最小值 那么 可以组成的不同的四位数的个数是 abcd 三 解答题三 解答题 本题满分本题满分 6060 分 每小题分 每小题 2020 分分 13 设 Sn 1 2 3 n n N 求 f n 的最大值 1 32 n n Sn S 14 若函数在区间 a b 上的最小值为 2a 最大值为 2b 求 a b 2 13 2 1 2 xxf 15 已知 C0 x2 y2 1 和 C1 a b 0 试问 当且仅当 a b 满足什么条件时 1 2 2 2 2 b y a x 对 C1上任意一点 P 均存在以 P 为项点 与 C0外切 与 C1内接的平行四边形 并证明你的 结论 加试加试 10 月 15 日上午 10 00 12 00 一 本题满分 50 分 如图 在锐角三角形 ABC 的 BC 边上有两点 E F 满足 BAE CAF 作 FM AB FN AC M N 是垂足 延长 AE 交三角形 ABC 的外接圆于 D 证明 四边 形 AMDN 与三角形 ABC 的面积相等 二 本题满分 50 分 设数列 a n 和 b n 满足 且 A B C D EF M N 2 112 2 1 1 2 O B A C D 3 2 1 0 478 367 1 1 n bab baa nnn nnn 证明 a n n 0 1 2 是完全平方数 三 本题满分 50 分 有 n 个人 已知他们中的任意两人至多通电话一次 他们中的任意 n 2 个人之间通电 话的次数相等 都是 3 k次 其中 k 是自然数 求 n 的所有可能值 20002000 年全国高中数学联合竞赛试题答案年全国高中数学联合竞赛试题答案 1 答案 D 由得 x 2 故 A 2 由得 故22 x xx 1010 2 2 02 2 xx B 1 2 所以 BA 2 答案 D 由 得0sin 0cos Zkkk 2 2 2 从而有 3 Zk kk 33 2 63 2 又因为 所以又有 3 cos 3 sin 3 Zkkk 4 5 2 4 2 如上图所示 是 同时成立的公共部分为 3 2 4 2 kkZkkk 2 6 5 2 3 答案 C 如图所示 设 BD t 则 OD t 1 从而 B t 1 t 33 满足方程 可以得到 t 所以等边三角形 1 22 yx3 ABC 的面积是 33 4 答案 A 由题意知 pq a2 2b p c 2c q b bc 3 2qp b 3 2qp c 3 2qp 3 2qp pq a2 3 2 3 2 pqqp 因为 p q 故 bc a2 方程的判别式 4a2 4bc 0 因此 方程无实数根 5 答案 B 设整点坐标 m n 则它到直线 25x 15y 12 0 的距离为 22 15 25 121525 nm d 345 12 35 5 nm 由于 m n Z 故 5 5m 3n 是 5 的倍数 只有当 m n 1 时 5 5m 3n 10 与 12 的和的绝 对值最小 其值为 2 从而所求的最小值为 85 34 6 答案 B 由知 5 sin 5 cos i 10 2 sin 10 2 cos i 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 是 1 的 10 个 10 次方根 从而有 x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10 x10 1 由因 2 4 6 8 10是 1 的 5 个 5 次方根 从而有 x 2 x 4 x 6 x 8 x 10 x5 1 得 x x 3 x 5 x 7 x 9 x5 1 的两边同除以 x 5 x 1 得 x x 3 x 7 x 9 x4 x3 x2 x 1 所以 3 7 9为根的方程是 x4 x3 x2 x 1 0 二 填空题 满分 54 分 每小题 9 分 7 答案 20 sin2000 sin 5 360 200 sin200 sin20 故rcsin sin2000 rcsin sin20 rcsin sin20 20 aaa 8 答案 18 由二项式定理知 因此 22 3 n nn Ca nnnnan n 1 1 1 18 1 233 2 18 n n n aaa 333 3 3 2 2 lim n n 1 118 lim 9 答案 3 1 3log 3log 3log 3log 4 8 2 4 a a a a q 3log3log 3log3log 42 84 3 1 10 答案 90 如图所示 由c2 ac 2 15 a c 55 a 5 5 b OA B c F 10 a2 0 0 22 2 222 2 cos baa acaba ABF 则 ABF 90 11 答案 3 24 2 a 解 如图 设球心为 O 半径为 r 体积为 V 面 BCD 的中心为 O1 棱 BC 的中心点为 E 则 AO1 2 1 2 BOa 22 3 1a a a 3 6 由 OB O1O O1B O1B 得 222 2 1 OBBO 2 OB 故 OB 2 3 2 aa 3 62 0 3 1 2 a 4 6 62 3 aa 于是 r OE 22 BEOB 22 4 1 8 3 aa 22 1 a V r 3 4 22 216 1 3 4 a 3 24 2 a 12 答案 28 中恰有 2 个不中数字时 能组成 C 6 个不中数字 abcd 2 4 中恰有 3 个不中数字时 能组成 C 12 4 16 个不中数字abcd 1 3 1 2 C 1 2 C 1 2 C 1 2 C 中恰有 4 个不中数字时 能组成 P 6 个不中数字abcd 3 3 所以 符合要求的数字共有 6 16 6 28 个 13 答案 50 1 解 由已知 对任何 nN 有 f n 1 32 N n Sn S 232 nn Sn 又因 n 34 34 50 6434 2 nn n n n 64 34 1 n 64 n n 64 2 故对任何 nN 有 f n 由于 f 8 故 f n 的最大值为 n n 64 34 1 50 1 50 1 50 1 A B C D 0 E O H 11 14 答案 所求区间为 1 3 或 2 17 4 13 解 化三种情况讨论区间 a b 1 若 0a b 则 f x 在 a b 上单调递减 故 f a 2b f b 2a 于是有 解之得 a b 1 3 2 13 2 1 2 2 13 2 1 2 2 2 ba ab 2 若 a 0 b f x 在 a b 上单调递增 在 0 b 上单调递减 因此 f x 在 x 0 处取最大值 2b 在 x a 或 x b 处取最小值 2a 故 2b b 由于 a 0 2 13 4 13 又 f b 2 1 4 13 2 2 13 0 32 39 故 f x 在 x a 处取最小值 2a 即 2a 2 2 1 a 2 13 解得 a 2 于是得 a b 2 1717 4 13 2 当 a b0 时 f x 在 a b 上单调递增 故 f a 2a f b 2b 即 2a 2b 2 2 1 a 2 13 2 2 1 a 2 13 由于方程x 2x 0 的两根异号 故满足 ab0 的区间不存在 2 1 2 2 13 综上所述 所求区间为 1 3 或 2 17 4 13 15 答案 所求条件为 1 2 1 a 2 1 b 证明 必要性 易知 圆外切平行四边形一定是菱形 圆心即 菱形中心 假设论成立 则对点 a 0 有 a 0 为项点的菱形与 C1内接 与 Co外切 a 0 的相对顶点为 a 0 由于菱形的对角线互相垂 直平分 另外两个顶点必在 y 轴上 为 0 b 和 0 b 菱形一 条边的方程为 1 即 bx ay ab 由于菱形与 CO外切 a x b y 故必有 1 整理得 1 必要性得证 2 2 ba ab 2 1 a 2 1 b 充分性 设 1 P 是 C1上任意一点 过 P O 作 C1的弦 2 1 a 2 1 b PR 再过 O 作与 PR 垂直的弦 QS 则 PQRS 为与 C1内接菱 形 设 OP r1 OQ r2 则点 O 的坐标为 r1cos r1sin 点 22 2 2 O P R Q S 15 22 2 2 O P R Q S M 15 CB A F D N M E Q 的坐标为 r2cos r2sin 代入椭圆方程 得 2 2 1 1 2 2 1cos a r 2 2 1sin b r 2 22 2 cos a r 2 22 2 sin b r 于是 2 1 OP 2 1 OQ 2 2 2 1 11 RR 2 2 2 2 sincos ba 2 2 2 cos a 2 2 2 sin b 1 2 1 a 2 1 b 又在 Rt POQ 中 设点 O 到 PQ 的距离为 h 则 1 故得 h 1 h 1 2 1 OP 2 1 OQ 同理 点 O 到 QR RS SP 的距离也为 1 故菱形 PQRS 与 C0外切 充分性得证 注 对于给出 1 等条件者 应同样给分 2222 baba 22 ba ab 20002000 年全国高中数学联合竞赛试卷答案年全国高中数学联合竞赛试卷答案 加试加试 一 证明 连结 MN BD FM AB FN AC A M F N 四点共圆 AMN AFN AMN BAE AFN CAF 90 即 MN AD SAMDN AD MN 2 1 CAF DAB ACF ADB AFC ABCAB AC AD AF AD AC AB AF 又 AF 是过 A M F N 四点的圆的直经 AFAF sin BAC MN BAC MN sin AB AC sin BAC 2 1 abc S AD AF sin BAC 2 1 AD M N 2 1 SAMDN 二 证法一 由假设得 a1 4 b1 4 且当 n1 时 2an 1 1 14an 12bn 7 8an 7bn 4 1 3 n b3 2an 1 7 4 n b33 依次类推可得 2an 1 7 2a1 1 7 4 n b3 1 34 n 1 3b n 3 同理 2an 1 7 4 n b3 n 3 从而 an 7 4 7 4 4 1n 3 4 1n 3 2 1 由于 74 2 3 2 3 所以 an 2 2 2 1 n 3 2 1 3 2 n 由二项式展开得 c n 2 2 2 1 n 3 2 1 3 n nk k n C 20 2k 3 kn 2 2 显然 Cn为整数 于是 an为完全平方数 证法二 由已知得 an 1 7an 6bn 3 7an 6 8an 1 7bn 1 4 3 7an 48an 1 42bn 1 27 由 an 7an 1 6bn 1 3 得 42bn 1 7an 49an 1 21 从而 an 1 7an 48an 1 7an 49an 1 21 27 14an an 1 6 也就是 an 1 14an an 1 6 设 an 1 kan t p an kan 1 t 则有 6 1 1 14 pt pk kp 解得或 323 32347 32347 2 2 t p k 323 32347 32347 2 2 t p k 分别代入 根据数列 an 1 kan t 是以 a1 ka0 t 为首项 p 为公比的等比数列 整理得 nn nn aa 2 1 32 32 347 32 323 347 nn nn aa 2 1 32 32 347 32 323 347 整理得 2 32 2 1 32 2 1 nn n a 由二项式展开得 c n 2 2 2 1 n 3 2 1 3 n nk k n C 20 2k 3 kn 2 2 显然 Cn为整数 于是 an为完全平方数 三 解析 显然 n5 记 n 个人为 A1 A2 AN 设 A1通话的次数为 m1 Ai 与 Aj 之间通话的数为 yij l 则 nji m i m j y i j c n s s m 1 2 1 k 3 其