常用求导公式、矩阵公式、数学建模

精品文档 1欢迎下载 基本求导公式 矩阵公式 数学建模 1 基本求导公式 C为常数 一般地 0 C 1 nn nxx 1 xx 特别地 1 xxx2 2 2 1 1 xx x x 2 1 一般地 xx ee 1 0 ln aaaaa xx 一般地 x x 1 ln 1 0 ln 1 log aa ax x a 2 求导法则 四则运算法则 设f x g x 均在点x可导 则有 xgxfxgxf 特别 C为常数 xgxfxgxfxgxf xfCxCf 特别 0 2 xg xg xgxfxgxf xg xf 2 1 g x g xgx 3 微分 函数在点x处的微分 yf x dyy dxfx dx 4 常用的不定积分公式 1 c x dxx x dxxc x xdxcxdxCxdxx 4 3 2 1 1 1 4 3 3 2 2 1 2 Cxdx x ln 1 Cedxe xx 1 0 ln aaC a a dxa x x 3 k为常数 dxxfkdxxkf 5 5 定积分 定积分 b b a a f x dxF xF bF a b a b a b a dxxgkdxxfkdxxgkxfk 2121 分部积分法 设u x v x 在 a b 上具有连续导数 则 xvxu 精品文档 2欢迎下载 b a b a b a xduxvxvxuxdvxu 6 线性代数 特殊矩阵的概念 1 零矩阵 2 单位矩阵二阶 00 00 22 O 100 010 001 n I 10 01 22 I 3 对角矩阵 4 对称矩阵 n a a a A 000 00 00 2 1 752 531 212 Aaa jiij 5 上三角形矩阵下三角形矩阵 nn n n a aa aaa A 000 0 222 11211 n a a a A 000 00 00 2 1 6 矩阵转置转置后 nnnn n n aaa aaa aaa A 21 22221 11211 nnnn n n T aaa aaa aaa A 21 22212 12111 6 矩阵运算 hdgc fbea hg fe dc ba BA dhcfdgce bhafbgae hg fe dc ba AB 7 MATLAB 软件计算题 例例 6 6 试写出用 MATLAB 软件求函数的二阶导数的命令语句 eln 2x xxy y 解 解 clear syms x y y log sqrt x x 2 exp x dy diff y 2 例 例 试写出用 MATLAB 软件求函数的一阶导数的命令语句 eln x xy y clear syms x y 精品文档 3欢迎下载 y log sqrt x exp x dy diff y 例例 1111 试写出用 MATLAB 软件计算定积分的命令语句 2 1 de 1 3 x x x 解 解 clear syms x y y 1 x exp x 3 int y 1 2 例例 试写出用 MATLAB 软件计算定积分的命令语句 x x x de 1 3 解 解 clear syms x y y 1 x exp x 3 int y MATLAB 软件的函数命令 表 1 MATLAB 软件中的函数命令 函数 a xx x e xln xlg x 2 logx MATLAB ax xsqrt exp x log x 10logx 2logx xabs 运算符号 运算符 功能加减乘除乘方 典型例题典型例题 例例 1 1 设某物资要从产地 A1 A2 A3调往销地 B1 B2 B3 B4 运输平衡表 单位 吨 和运价表 单位 百元 吨 如下表所示 运输平衡表与运价表 销地 产地 B1B2B3B4 供应量 B1B2B3B4 A17311311 A241928 A3974105 需求量 365620 1 用最小元素法编制的初始调运方案 2 检验上述初始调运方案是否最优 若非最优 求最优调运方案 并计算最低运 输总费用 解 用最小元素法编制的初始调运方案如下表所示 运输平衡表与运价表 销地 产地 B1B2B3B4 供应量 B1B2B3B4 精品文档 4欢迎下载 找空格对应的闭回路 计算检验数 1 1 0 2 11 12 22 24 已出现负检验数 方案需要调整 调整量为 1 调整后的第二个调运方案如下表 运输平衡表与运价表 销地 产地 B1B2B3B4 供应量 B1B2B3B4 A1527311311 A23141928 A363974105 需求量 365620 求第二个调运方案的检验数 1 11 已出现负检验数 方案需要再调整 调整量为 2 调整后的第三个调运方案如下表 运输平衡表与运价表 销地 产地 B1B2B3B4 供应量 B1B2B3B4 A1257311311 A21341928 A363974105 需求量 365620 求第三个调运方案的检验数 2 1 2 1 9 12 12 14 22 23 31 33 所有检验数非负 故第三个调运方案最优 最低运输总费用为 2 3 5 3 1 1 3 8 6 4 3 5 85 百元 例例 2 2 某物流公司下属企业经过对近期销售资料分析及市场预测得知 该企业生产的甲 乙 丙三种产品 均为市场紧俏产品 销售量一直持续上升经久不衰 今已知上述三种产 品的单位产品原材料消耗定额分别为 4 公斤 4 公斤和 5 公斤 三种产品的单位产品所需 工时分别为 6 台时 3 台时和 6 台时 另外 三种产品的利润分别为 400 元 件 250 元 件 A1437311311 A23141928 A363974105 需求量 365620 精品文档 5欢迎下载 和 300 元 件 由于生产该三种产品的原材料和工时的供应有一定限制 原材料每天只能供 应 180 公斤 工时每天只有 150 台时 1 试建立在上述条件下 如何安排生产计划 使企业生产这三种产品能获得利润最大 的线性规划模型 2 写出用 MATLAB 软件计算该线性规划问题的命令语句 解 1 设生产甲 乙 丙三种产品分别为x1件 x2件和x3件 显然x1 x2 x3 0 线性规划模型为 0 150636 180544 300250400max 321 321 321 321 xxx xxx xxx xxxS 2 解上述线性规划问题的语句为 clear C 400 250 300 A 4 4 5 6 3 6 B 180 150 LB 0 0 0 X fval exitflag linprog C A B LB 例例 3 3 已知矩阵 求 21 01 11 14 12 210 101 CBA T CAB 解 解 36 12 20 11 16 01 21 01 11 14 12 210 101 CAB 例例 4 4 设y 1 x2 ln x 求 y 解 解 x x xxxxxxy 2 22 1 ln2 ln1 ln 1 例例 5 5 设 求 x y x 1 e y 解 解 22 1 e 1 1 e 1 e x x x xx y xxx 例例 7 7 某厂生产某种产品的固定成本为 2 万元 每多生产 1 百台产品 总成本增加 1 万元 销售该产品q百台的收入为R q 4q 0 5q2 万元 当产量为多少时 利润最大 最大利润为多少 解 解 产量为q百台的总成本函数为 C q q 2 利润函数L q R q C q 0 5q2 3q 2 令ML q q 3 0 得唯一驻点 q 3 百台 故当产量q 3 百台时 利润最大 最大利润为 精品文档 6欢迎下载 L 3 0 5 32 3 3 2 2 5 万元 例例 8 8 某物流企业生产某种商品 其年销售量为 1000000 件 每批生产需准备费 1000 元 而每件商品每年库存费为 0 05 元 如果该商品年销售率是均匀的 试求经济批量 解 解 库存总成本函数 q q qC 1000000000 40 令得定义域内的唯一驻点q 200000 件 0 1000000000 40 1 2 q qC 即经济批量为 200000 件 例例 9 9 计算定积分 1 0 d e3 xx x 解 解 2 5 e3 e3 2 1 d e3 1 0 2 1 0 xx xxx 例例 1010 计算定积分 3 1 2 d 2 x x x 解 解 3ln2 3 26 ln2 3 1 d 2 3 1 3 3 1 2 xxx x x 教学补充说明 1 对编程问题 要记住函数 ex ln x 在 MATLAB 软件中相应的命令函数 exp x x log x sqrt x 2 对积分问题 主要掌握积分性质及下列三个积分公式 a 1 cx a xx aa 1 1 1 d cx xx ede cxx x lnd 1 7 记住两个函数值 e0 1 ln 1 0 模拟试题模拟试题 一 单项选择题 一 单项选择题 每小题 4 分 共 20 分 1 若某物资的总供应量 C 总需求量 可增设一个虚销地 其需求量取总供应 量与总需求量的差额 并取各产地到该销地的单位运价为 0 则可将该不平衡运输问题化 为平衡运输问题 A 等于 B 小于 C 大于 D 不超过 2 某物流公司有三种化学原料 A1 A2 A3 每公斤原料 A1含 B1 B2 B3三种化学成分 的含量分别为 0 7 公斤 0 2 公斤和 0 1 公斤 每公斤原料 A2含 B1 B2 B3的含量分别为 0 1 公斤 0 3 公斤和 0 6 公斤 每公斤原料 A3含 B1 B2 B3的含量分别为 0 3 公斤 0 4 公斤和 0 3 公斤 每公斤原料 A1 A2 A3的成本分别为 500 元 300 元和 400 元 今需要 B1成分至少 100 公斤 B2成分至少 50 公斤 B3成分至少 80 公斤 为列出使总成本最小的 线性规划模型 设原料 A1 A2 A3的用量分别为x1公斤 x2公斤和x3公斤 则目标函数为 D A max S 500 x1 300 x2 400 x3 B min S 100 x1 50 x2 80 x3 C max S 100 x1 50 x2 80 x3 D min S 500 x1 300 x2 400 x3 精品文档 7欢迎下载 3 设 并且A B 则x C 7 21 74 21 x B x A A 4 B 3 C 2 D 1 4 设运输某物品q吨的成本 单位 元 函数为C q q2 50q 2000 则运输该物 品 100 吨时的平均成本为 A 元 吨 A 170 B 250 C 1700 D 17000 5 已知运输某物品q吨的边际收入函数为MR q 则运输该物品从 100 吨到 300 吨 时的收入增加量为 D A 0 d 300 100 CqqMR B 100 300 d qqMR C qqMRd D 300 100 d qqMR 二 计算题 二 计算题 每小题 7 分 共 21 分 6 已知矩阵 求 AB C 21 01 11 14 12 210 101 CBA 解 37 02 21 01 16 01 21 01 11 14 12 210 101 CAB 7 设 求 3 1 ln x x y y 解 23 2 3 23 33 1 ln3 1 1 1 ln 1 ln x xx x x x xxxx y 8 计算定积分 1 0 3 d e2 xx x 解 4 7 e2 e2 4 1 d e2 1 0 4 1 0 3 xx xxx 三 编程题 三 编程题 每小题 6 分 共 12 分 9 试写出用 MATLAB 软件求函数的二阶导数的命令语句 解 eln 2x xxy y clear syms x y y log sqrt x x 2 exp x dy diff y 2 10 试写出用 MATLAB 软件计算定积分的命令语句 1 0 dexx x 解 clear syms x y y x exp sqrt x int y 0 1 四 应用题四 应用题 第 11 12 题各 14 分 第 13 题 19 分 共 47 分 精品文档 8欢迎下载 11 某物流企业生产某种商品 其年销售量为 1000000 件 每批生产需准备费 1000 元 而每件商品每年库存费为 0 05 元 如果该商品年销售率是均匀的 试求经济批量 解 库存总成本函数 q q qC 1000000000 40 令得定义域内的惟一驻点q 200000 件 0 1000000000 40 1 2 q qC 即经济批量为 200000 件 12 某物流公司下属企业经过对近期销售资料分析及市场预测得知 该企业生产的甲 乙 丙三种产品 均为市场紧俏产品 销售量一直持续上升经久不衰 今已知上述三种产 品的单位产品原材料消耗定额分别为 4 公斤 4 公斤和 5 公斤 三种产品的单位产品所需 工时分别为 6 台时 3 台时和 6 台时 另外 三种产品的利润分别为 400 元 件 250 元 件 和 300 元 件 由于生产该三种产品的原材料和工时的供应有一定限制 原材料每天只能供 应 180 公斤 工时每天只有 150 台时 试建立在上述条件下 如何安排生产计划 使企业 生产这三种产品能获得利润最大的线性规划模型 并写出用 MATLAB 软件计算该线性规划问 题的命令语句 解 设生产甲 乙 丙三种产品分别为x1件 x2件和x3件 显然x1 x2 x3 0 线性规划模型为 0 150636 180544 300250400max 321 321 321 321 xxx xxx xxx xxxS 解上述线性规划问题的语句为 clear C 400 250 300 A 4 4 5 6 3 6 B 180 150 LB 0 0 0 X fval exitflag linprog C A B LB 线性规划习题线性规划习题 1 某物流公司下属企业生产甲 乙两种产品 要用 A B C 三种不同的原料 从工艺 资料知道 每生产一件产品甲 需用三种原料分别为 1 1 0 单位 生产一件产品乙 需 用三种原料分别为 1 2 1 单位 每天原料供应的能力分别为 6 8 3 单位 又知 销售 一件产品甲 企业可得利润 3 万元 销售一件产品乙 企业可得利润 4 万元 试写出能使 利润最大的线性规划模型 并用 MATLAB 软件计算 写出命令语句 并用 MATLAB 软件运行 解 设生产甲产品吨 乙产品吨 1 x 2 x 线性规划模型为 21 43maxxxS 精品文档 9欢迎下载 0 3 82 6 21 2 21 21 xx x xx xx 用 MATLAB 软件计算该线性规划模型的命令语句为 clear C 3 4 A 1 1 1 2 0 1 B 6 8 3 LB 0 0 X fval linprog C A B LB 2 某物流公司有三种化学产品 A1 A2 A3都含有三种化学成分 B1 B2 B3 每种产品 成分含量及价格 元 斤 如下表 今需要 B1成分至少 100 斤 B2成分至少 50 斤 B3成分至 少 80 斤 试列出使总成本最小的线性规划模型 相关情况表 每斤产品的成分含量 产品含量 成 分 A1A2A3 B1 B2 B2 0 7 0 2 0 1 0 1 0 3 0 6 0 3 0 4 0 3 产品价格 元 斤 500300400 解 设生产产品公斤 生产产品公斤 生产产品公斤 1 A 1 x 2 A 2 x 3 A 3 x 0 803 06 01 0 504 03 02 0 1003 01 07 0 400300500min 321 321 321 321 321 xxx xxx xxx xxx xxxS 3 某物流企业下属家具厂生产桌子和椅子 产品的销路挺好 生产每张桌子的利润为 12 元 每张椅子的利润为 10 元 生产每张桌子在该厂的装配中心需要 10 分钟 在精加工 中心需要 20 分钟 生产每张椅子在装配中心需要 14 分钟 在精加工中心需要 12 分钟 该 厂装配中心一天可利用的时间不超过 1000 分钟 精加工中心一天可利用的时间不超过 880 分钟 假设生产桌子和椅子的材料能保证供给 试写出使企业获得最大利润的线性规划模 型 并用 MATLAB 软件计算 写出命令语句 并用 MATLAB 软件运行出结果 解 设生产桌子张 生产椅子张 1 x 2 x 0 8801220 10001410 1012max 21 21 21 21 xx xx xx xxS 精品文档 10欢迎下载 MATLAB 软件的命令语句为 clear C 12 10 A 10 14 20 12 B 1000 880 LB 0 0 X fval linprog C A B LB 4 某物流企业在一个生产周期内生产甲 乙两种产品 这两种产品分别需要 A B C D 四种 不同的机床加工 这四种机床的可用工时分别为 1500 1200