数列求通项公式的常见题型与解题方法

精品文档 1欢迎下载 数列求通项公式的常见题型与解题方法数列求通项公式的常见题型与解题方法 数列是高中数学的重要内容 又是学习高等数学的基础 高考对本章的考查比较全面 等差数列 等比数列的考查每年都不会遗漏 有关数列的试题经常是综合题 经常把数列 知识和指数函数 对数函数和不等式的知识综合起来 试题也常把等差数列 等比数列 求极限和数学归纳法综合在一起 探索性问题是高考的热点 常在数列解答题中出现 本 章中还蕴含着丰富的数学思想 在主观题中着重考查函数与方程 转化与化归 分类讨论 等重要思想 以及配方法 换元法 待定系数法等基本数学方法 数列这一章的主要章节结构为 近几年来 高考关于数列方面的命题主要有以下三个方面 1 数列本身的有关知 识 其中有等差数列与等比数列的概念 性质 通项公式及求和公式 2 数列与其它知 识的结合 其中有数列与函数 方程 不等式 三角 几何的结合 3 数列的应用问题 其中主要是以增长率问题为主 试题的难度有三个层次 小题大都以基础题为主 解答题 大都以基础题和中档题为主 只有个别地方用数列与几何的综合与函数 不等式的综合作 为最后一题难度较大 精品文档 2欢迎下载 题型题型 1 1 已知数列前几项求通项公式已知数列前几项求通项公式 在我们的教材中 有这样的题目 1 数列的通项 0 2 0 2 n a 2 数列的通项 1111 1 2 2 33 4 4 5 n a 3 数列的通项 2222 1357 1 1 1 1 2468 n a 1 2 3 n a 0 2 为奇数 为偶数 n n n a 1 1 1 n n n n a 1 2 21 1 2 1 n n n 练习练习 例 1 写出下面数列的一个通项公式 使它的前 4 项分别是下列各数 例 2 观察下面数列的特点 写出每个数列的一个通项公式 例 3 写出下面数列的一个通项公式 22222 21 31 41 51 1 234 1 5 1 1 n n a n 1111 2 1 2 2 33 4 4 1 1 5 1 n n a n n 1 65 1 1 7 13 19 n n an 2 7 77 777 7777 77 7 7 101 9 77 n n a 3 5 0 5 0 5 0 5 0 5sin 2 n n a 31 31 3 1 1 1 1 245 6 2 3 n n a n 3 1 5 37 2 5 2 11 7 17 2 32 n n a n 精品文档 3欢迎下载 题型题型 2 2 由由 a an n与与 S Sn n的关系求通项公式的关系求通项公式 1 已知数列的前项和 则 n an 2 1 2 n Snn n a 2 已知数列的前项和 则 n an32n n S n a 3 设数列 an 的前项的和Sn an 1 n 3 1 N 求a1 a2 求证数列 an 为等比数列 4 数列 an 的前 n 项和 Sn 3 2n 3 求数列的通项公式 5 设数列 an 的前 n 项和为Sn 2n2 3n 2 求通项an的表达式 并指出此数列是否为等 差数列 6 已知数列 an 的前 n 项和为Sn a1 2 且nan 1 Sn n n 1 求an 7 已知数列 an 的前n项和Sn满足 Sn 2an 1 n n 1 写出求数列 an 的前 3 项a1 a2 a3 求数列 an 的通项公式 证明 对任意的整数m 4 有 45 1117 8 m aaa 7 解 当n 1 时 有 S1 a1 2a1 1 a1 1 当n 2 时 有 S2 a1 a2 2a2 1 2 a2 0 当n 3 时 有 S3 a1 a2 a3 2a3 1 3a3 2 综上可知a1 1 a2 0 a3 2 由已知得 化简得 1 11 2 1 2 1 nn nnnnn aSSaa 1 1 22 1 n nn aa 上式可化为 1 1 22 1 2 1 33 nn nn aa 故数列 是以为首项 公比为 2 的等比数列 2 1 3 n n a 1 1 2 1 3 a 故 1 21 1 2 33 nn n a 12 122 2 1 2 1 333 nnnn n a A 数列 的通项公式为 n a 2 2 2 1 3 nn n a 由已知得 232 45 1113111 2 21212 1 mm m aaa 2 3 111111 2 391533632 1 mm 11111 1 2351121 11111 1 2351020 5 11 1 1 4 52 1 2 3 1 2 m 5 1 4221 2 355 2m A 精品文档 4欢迎下载 故 m 4 5 1311131041057 1552151201208 m A 45 1117 8 m aaa 题型题型 3 3 已知数列递推公式求通项公式已知数列递推公式求通项公式 公式法 1 已知数列的首项 且 则 n a 1 1a 1 3 2 nn aan n a 2 数列中 求的通项公式 n a 11 1 2 nn aaa n a 3 已知数列满足 求 n a1 1 a1 11 1 nn aa n a 4 数列中 求的通项公式 n a 11 2 1 2 n n n a aa a n a 5 已知数列的首项 且 则 n a 1 1a 1 3 2 nn aan n a 6 已知数列的 且 则 n a 1 1a 2 2a 21 2 nnn aaa n a 累加法与累积法 1 数列中 求的通项公式 n a 11 1 nn aaan n a 2 数列中 求的通项公式 n a 1 11 1 3n nn aaa n a 3 已知数列 a n 满足1a1n2aa 1n1n 求数列 a n 的通项公式 4 已知数列 a n 满足3a132aa 1 n n1n 求数列 a n 的通项公式 5 已知数列的首项 且 则 n a 1 1a 1 1 2 nn n aan n n a 6 已知数列 a n 满足3aa5 1n 2a 1n n 1n 求数列 a n 的通项公式 精品文档 5欢迎下载 构建新数列 1 已知数列的首项 且 则 n a 1 1a 1 23 2 nn aan n a 2 数列中 求的通项公式 n a 11 2 32 nn aaa n a 3 已知数列 a n 满足 n n1n 23a2a 2a1 求数列 a n 的通项公式 4 已知数列 a n 满足3a132a3a 1 n n1n 求数列 a n 的通项公式 5 已知数列 a n 满足6a53a2a 1 n n1n 求数列 a n 的通项公式 6 已知数列 a n 满足1a425a3a 1 n n1n 求数列 a n 的通项公式 7 已知数列 a n 满足1a5n4n3a2a 1 2 n1n 求数列 a n 的通项公式 8 已知数列 a n 满足 9 8 a 3n2 1n2 1n 8 aa 1 22 n1n 求数列 a n 的通项公式 9 已知数列 a n 满足4a 1a4 24a21 a 1 n n 1n 求数列 a n 的通项公式 10 已知数列 a n 满足2a 3a2 2a7 a 1 n n 1n 求数列 a n 的通项公式 3 解 n n1n 23a2a 两边除以 1n 2 得 2 3 2 a 2 a n n 1n 1n 则 2 3 2 a 2 a n n 1n 1n 故数列 2 a n n 是以1 2 2 2 a 1 1 为首 以 2 3 为公差的等差数列 由等差数列的通项公式 得 2 3 1n 1 2 a n n 所以数列 a n 的通项公式为 n n 2 2 1 n 2 3 a 4 解 132a3a n n1n 两边除以 1n 3 得 1nn n 1n 1n 3 1 3 2 3 a 3 a 精品文档 6欢迎下载 则 1nn n 1n 1n 3 1 3 2 3 a 3 a 故 3 a 3 a 3 a 3 a 3 a 3 a a a a a 3 a 3 a 1 1 1 2 2 3n 3n 2n 2n 2n 2n 1n 1n 1n 1n n n n n 3 3 3 1 3 2 3 1 3 2 3 1 3 2 3 1 3 2 22n1nn 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1n 2 22n1nnn 因此 n 1n n n n 32 1 2 1 3 n2 1 31 31 3 1 3 1n 2 3 a 则 2 1 3 2 1 3n 3 2 a nn n 5 解 设 5xa 25xa n n 1n 1n 将 n n1n 53a2a 代入 式 得 n n 1nn n 5x2a25x53a2 等式两边消去 n a2 得 n1nn 5x25x53 两边除以 n 5 得x25x3 则 x 1 代入 式 得 5a 25a n n 1n 1n 由1565a 1 1 0 及 式 得05a n n 则2 5a 5a n n 1n 1n 则数列 5a n n 是以15a 1 1 为首项 以 2 为公比的等比数列 则 1nn n 215a 故 n1n n 52a 6 解 设 y2xa 3y2xa n n 1n 1n 将425a3a n n1n 代入 式 得 y2xa 3y2x425a3 n n 1nn n 整理得y32x3y42 x25 nn 令 y3y4 x3x25 则 2y 5x 代入 式 得 精品文档 7欢迎下载 225a 3225a n n 1n 1n 由013121225a 1 1 及 式 得0225a n n 则3 225a 225a n n 1n 1n 故数列 225a n n 是以13121225a 1 1 为首项 以 3 为公比的等比数列 因 此 1nn n 313225a 则225313a n1n n 7 解 设z 1n y 1n xa 2 1n zynxna 2 2 n 将5n4n3a2a 2 n1n 代入 式 得 z 1n y 1n x5n4n3a2 22 n zynxna 2 2 n 则 z2yn2xn2a2 5zyx n 4yx2 n x3 a2 2 n 2 n 等式两边消去 n a2 得z2yn2xn2 5zyx n 4yx2 n x3 22 则得方程组 z25zyx y24yx2 x2x3 则 18z 10y 3x 代入 式 得 18 1n 10 1n 3a 2 1n 18n10n3a 2 2 n 由0323111811013a 2 1 及 式 得018n10n3a 2 n 则2 18n10n3a 18 1n 10 1n 3a 2 n 2 1n 故数列 18n10n3a 2 n 为以 323111811013a 2 1 为首项 以 2 为公比的等比数列 因此 1n2 n 23218n10n3a 则18n10n32a 24n n 精品文档 8欢迎下载 8 解 由 22 n1n 3n2 1n2 1n 8 aa 及 9 8 a1 得 22 12 312 112 11 8 aa 25 24 259 28 9 8 49 48 4925 38 25 24 322 122 12 8 aa 22 23 81 80 8149 48 49 48 332 132 13 8 aa 22 34 由此可猜测 2 2 n 1n2 1 1n2 a 往下用数学归纳法证明这个结论 1 当 n 1 时 9 8 112 1 112 a 2 2 1 所以等式成立 2 假设当 n k 时等式成立 即 2 2 k 1k2 1 1k2 a 则当1kn 时 22 k1k 3k2 1k2 1k 8 aa 22 222 22 222 22 22 222 2 3k2 1k2 1k2 3k2 1k2 3k2 1k2 1k 8 3k2 3k2 1k2 3k2 1k2 1k 8 3k2 1 1k2 3k2 1k2 1k 8 1k2 1 1k2 2 2 2 2 1 1k 2 1 1 1k 2 3k2 1 3k2 由此可知 当 n k 1 时等式也成立 精品文档 9欢迎下载 根据 1 2 可知 等式对任何 Nn 9 解 令 1x4 24x21 x 得024x20 x4 2 则3x2x 21 是函数 1x4 24x21 x f 的两个不动点 因为 9 13 27a9 26a13 1a4 324a21 1a4 224a21 3 1a4 24a21 2 1a4 24a21 3a 2a n n nn nn n n n n 1n 1n 3a 2a n n 所以数列 3a 2a n n 是以2 34 24 3a 2a 1 1 为首项 以 9 13 为公比的等比数列 故 3a 2a n n 1n 9 13 2 则3 1 9 13 2 1 a 1n n 10 解 令 3x2 2x7 x 得02x4x2 2 则 x 1 是函数 x f 7x4 1x3 的不动点 因为 3a2 5a5 1 3a2 2a7 1a n n n n 1n 所以 1a 1 1n 5 2 1a 1 1a 2 5 1 5 2 1a 2 3 a 5 2 5a5 3a2 nnn n n n 所以数列 1a 1 n 是以 1 12