数列的前n项和的几种方法

精品文档 1欢迎下载 数列的前数列的前 n n 项和的求法项和的求法 福田中学雷鸣 一 知识回顾一 知识回顾 1 1 公式法公式法 适用于等差 等比数列或可转化为等差 等比数列的数列 1n n1 n aa n n1 Snad 22 1 n n 11n na q1 S a 1q aa q q1 1q1q n n k 1 1 Skn n1 2 n 2 n k 1 1 Skn n1 2n1 6 n 32 n k 1 1 Sk n n1 2 2 2 裂项相消法裂项相消法 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用 裂项法的实质是将数列中的每项 通 项 分解 然后重新组合 使之能消去一些项 最终达到求和的目的 通项分解 裂项 其基本方法是 1 nfnfan 1 1 2 2 n 111 a n n1 nn1 nn nn tan 1tan 1cos cos 1sin 3 3 若 若 a an n 分别是等差数列 公差是分别是等差数列 公差是 d d 则 则 daaaa nnnn 1 11 1 11 4 4 2 1 1 1 1 2 1 2 1 1 nnnnnnn an 例 1 求和 1111 1 33 55 7 21 21 nn 解答 数列 an 的前 n 项和 12 12 1 nn an 12 1 12 1 2 nn an 12 1 12 1 5 1 3 1 3 1 1 2 nn Sn 12 1 1 2 n12 4 n n 迁移 1 求数列的前 n 项和 1 1 32 1 21 1 nn 解 设 则 nn nn an 1 1 1 1 1 32 1 21 1 nn Sn 精品文档 2欢迎下载 1 23 12 nn 11 n 2 步步高 72 页例题 3 3 3 错位相减法错位相减法 这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法 这种方法主要用于求数 列 an bn 的前 n 项和 其中 an bn 分别是等差数列和等比数列 例 2 求当时 求和 1 x 132 12 7531 n n xnxxxS 解 由题可知 该数列的通项为是等差数列的通项与等比数列的通项之积 1 12 n xn 12 n 1 n x 设 132 12 7531 n n xnxxxS 设制错位 nn n xnxnxxxxxS 12 327531 1432 得 错位相减 nn n xnxxxxxSx 12 222221 1 1432 再利用等比数列的求和公式得 又 n n n xn x x xSx 12 1 1 21 1 1 1 x 2 1 1 1 12 12 x xxnxn S nn n 迁移迁移 2 2 求数列前 n 项的和 2 2 2 6 2 4 2 2 32n n 解 由题可知 的通项是等差数列的通项与等比数列的通项之积 n n 2 2 n2 n 2 1 设 n n n S 2 2 2 6 2 4 2 2 32 设制错位 1432 2 2 2 6 2 4 2 2 2 1 n n n S 得 错位相减 1432 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 nn n n S 11 2 2 2 1 2 nn n 1 2 2 4 n n n S 4 4 倒序相加法倒序相加法 类似于等差数列前 n 项和公式的推导方法 就是将一个数列倒过来排列 反序 再 精品文档 3欢迎下载 把它与原数列相加 就可以得到 n 个 a1 an 特点 一 23121nnn aaaaaa 个常数或定值 例 3 求证 nn nnnn nCnCCC2 1 12 53 210 证明 设 n nnnnn CnCCCS 12 53 210 把 式右边倒转过来得 反序 011 3 12 12 nn n n n nn CCCnCnS 又由可得 mn n m n CC n n n nnnn CCCnCnS 110 3 12 12 得 反序相加 nn n n nnnn nCCCCnS2 1 2 22 2 110 n n nS2 1 迁移迁移 3 3 求的值 89sin88sin3sin2sin1sin 22222 解 设 89sin88sin3sin2sin1sin 22222 S 将 式右边反序得 反序 1sin2sin3sin88sin89sin 22222 S 又因为 1cossin 90cos sin 22 xxxx 得 反序相加 89 89cos89 sin 2cos2 sin 1cos1 sin2 222222 S 44 5S 5 5 分组求和法分组求和法 有一类数列 既不是等差数列 也不是等比数列 若将这类数列适当拆开 可分为 几个等差 等比或常见的数列 然后分别求和 再将其合并即可 例 4 求数列的前 n 项和 23 1 7 1 4 1 11 12 n aaa n 精品文档 4欢迎下载 解 设 23 1 7 1 4 1 11 12 n aaa S n n 将其每一项拆开再重新组合得 分组 23741 111 1 12 n aaa S n n 当 a 1 时 分组求和 2 13 nn nSn 2 13 nn 当时 1 a 2 13 1 1 1 1 nn a a S n n 2 13 1 1 nn a aa n 迁移 4 求数列前项和 13715 2 4 6 24816 n 6 6 合并法求和 合并法求和 针对一些特殊的数列 将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质 因此 在求数列的和时 可将这些项放在一起先求和 然后再求 n S 例 5 求 12197531 nS n n 解 观察数列可知 数列每相邻两项的和为一个定值 或 找特殊性质项 7531 9753 当为奇数时 数列共有奇数项n 合并求和 121321 97 53 1 1 nnS nn n 2221 2 1 21 n n 当为偶数时 数列共有偶数项n 合并求和 121321 75 31 1 nnS nn n n222 2 2 n 迁移 5 求 cos1 cos2 cos3 cos178 cos179 的值 解 设 cos1 cos2 cos3 cos178 cos179 n S 找特殊性质项 180cos cos nn cos1 cos179 cos2 cos178 cos3 cos177 n S 精品文档 5欢迎下载 cos89 cos91 cos90 合并求和 0 二 常用结论 1 1 2 3 n 2 1 3 5 2n 1 1 n k k 2 1 nn 1 21 n k k 2 n 3 3 1 n k k 2 333 1 2 1 21 nnn 4 2 1 n k k 12 1 6 1 321 2222 nnnn 5 1 11 1 1 nnnn 2 11 2 1 2 1 nnnn 6 11 11 qp qppqpq 二 基本训练 1 等比数列的前 项和 S 2 则 n a 22 3 2 2 2 1n aaaa 2 设 则 1357 1 21 n n Sn n S 3 求和 111 1 447 32 31 nn 4 数列 1 4 2 5 3 6 n n 3 则它的前 n 项和 n S 5 数列的通项公式 前n项和 221 1 12 122 1222 n n a n S 三 例 1 求下列各数列前 n 项的和 n S 2 12 2 5 2 3 2 1 32 n n 1231 23 1 nn nnnnn CCCnCnC 例 2 在数列中 求 S10和 S99 n a 1 2 n n na 精品文档 6欢迎下载 例 已知数列中 试求前 2n 项的和 n a n n a n n n 2 2 1 2 2 例 已知函数 2 4f xx 2x 1 求的反函数 2 若 求 f x 1 fx 1 1a 1 1 nn afa n a 3 若 求数列前n项和 1 12 1 b aa 2 23 1 b aa 1 1 n nn b aa n b n S 四 作业 1 等比数列 an 中 已知对任意自然数 n a1 a2 a3 an 2n 1 则 a12 a22 a32 an2等于 A B C D 2 12 n 12 3 1 n 14 n 14 3 1 n 2 等差数列 an 的前 m 项和为 30 前 2m 项和为 100 则它的前 3m 项和为 A 130 B 170 C 210 D 260 3 求和 111 1 12123123n 4 数列的前n项和是 1111 1 2 3 4 392781 5 数列 3q 5q2 7q3 的前 n 项和是 6 数列满足 则通项公式 前n项和 n a 1 2a 1 2n nn aa n a n S 7 22222222 10099654321 8 在数列中 已知 n a 2032111 420aaaaaaa nn 精品文档 7欢迎下载 9 设 利用课本中推导等差数列前项和公式的方法 求 22 1 x xfn 65045fffff 10 已知数列是等差数列 且 n a 1 2a 123 12aaa 1 求数列的通项公式 2 令 求数列前n项和的公式 n a n nn ba x xR n b n S 11 等比数列的首项为 公比为 Sn为其前 项和 求和 S1 S2 S3 S n a 12 已知数列的通项公式 求数列的前 n 项的和 n a 65 2 n n nn a n 为奇数 为偶数 n a n S 13 非等比数列中 前n项和 1 求数列的通项公式 n a 2