07-10昆明理工大学—数值分析各年考试题及答案

昆明理工大学 数值分析考试题 昆明理工大学数值分析考试题昆明理工大学数值分析考试题 0707 一 填空 每空一 填空 每空 3 3 分 共分 共 3030 分 分 1 设 A 0 231x 是真值 0 229 T x 的近似值 则 A x 有 位有效数字 2 若 则 74 631f xxxx 017 2 2 2 f 018 2 2 2 f 3 A 则 10 31 1 AA 2 A 2 condA 4 求方程 xf x 根的牛顿迭代格式是 5 设 则求函数的相对误差限为 105 x n f xx 6 A 为使其可分解为 为下三角阵 主对角线元素 0 的取值范 210 12 02 a a T L LALa 围应为 7 用最小二乘法拟合三点 A 0 1 B 1 3 C 2 2 的直线是 注意 以上填空题答案标明题号答在答题纸上 答在试卷上的不给予评分 注意 以上填空题答案标明题号答在答题纸上 答在试卷上的不给予评分 二 推导与计算二 推导与计算 一 对下表构造对下表构造 f x 的不超过的不超过 3 次的插值多项式 并建立插值误差公式 次的插值多项式 并建立插值误差公式 12 分 x 012 f x 123 fx 3 二 已知已知和和满足满足 3 31 1 请利用 请利用构造一个收敛的简单迭代构造一个收敛的简单迭代 xx x x x 函数函数 使 使收敛 收敛 8 分 x 1 0 1 kk xxk 昆明理工大学 数值分析考试题 三 利用复化梯形公式计算利用复化梯形公式计算 使其误差限为 使其误差限为 应将区间 应将区间 0 0 1 1 2 1 0 x Iedx 6 0 5 10 等份 等份 8 分 四 设设 A detA 0 推导用 推导用 a b 表示解方程组表示解方程组 AX fAX f 的的 Seidel G S Seidel G S 100 10 05 a bb a 迭代法收敛的充分必要条件 迭代法收敛的充分必要条件 10 分 五 确定节点及系数 建立如下确定节点及系数 建立如下 GAUSSGAUSS 型求积公式型求积公式 10 分 1 1122 0 f x dxA f xA f x x 六 对微分方程初值问题对微分方程初值问题 00 yf x y y xy 用数值积分法推导如下数值算法用数值积分法推导如下数值算法 其中其中 1111 4 3 nnnnn h yyfff 8 分 iii ff x y 1 1 inn n 试构造形如试构造形如 的线形二步显格式差分的线形二步显格式差分 1011011 nnnnn ya ya yh b fb f 格式 其中格式 其中 试确定系数试确定系数 111 nnnnnn ff xyff xy 0101 a a b b 使差分格式的阶尽可能高 写出其局部截断误差主项 并指明方法是多少阶 使差分格式的阶尽可能高 写出其局部截断误差主项 并指明方法是多少阶 14 分 考试时间 考试时间2小时小时30分钟 分钟 昆明理工大学 数值分析考试题 0808 一 填空 每空一 填空 每空 3 3 分 共分 共 3030 分 分 1 若开平方查 6 位函数表 则当 x 30 时 的误差限为 2 1x 2 若 01 1 1 n nnn f xa xa 则f x x x 3 若 是 3 次样条函数 则 3 32 01 1 1 1 1 13 2 xx S x xa xb xcx a b c 4 A 则 A A Cond A 12 22 122 5 考虑用复化梯形公式计算 要使误差小于 那么 21 0 x edx 6 0 5 10 0 1 应分为 个子区间 6 要使迭代法局部收敛到 即在 2 5 xxa x xx 5x 邻域时 则的取值范围是 1 5 xa 二 计算与推导二 计算与推导 1 用追赶法解三对角方程组 其中Axb 12 分 2100 1210 0121 0012 A 1 0 0 0 b 2 已知一组试验数据 t12345 y4 006 408 008 809 22 请确定其形如的拟合函数 13 分 t y atb 3 确定系数 建立如下 GAUSS 型求积公式 13 分 1 1122 0 f x dxA f xA f x x 昆明理工大学 数值分析考试题 4 证明用 Gauss seidel 迭代法求解下列方程组 时 对任意的初始向量都收敛 若要求 1 2 3 3021 0214 2121 x x x 需要迭代几次 推导时请统一取初始迭代向量推导时请统一取初始迭代向量 4 10 k xx 13 分 0 0 0 0 Tx 5 试用数值积分法或 Taylor 展开法推导求解初值微分问题 的如下中点公式 0 yf x yy xa 及其局部截断误差 14 分 211 2 nnnn yyhf xy 6 试推导的复化 Simpson 数值求积公式 5 分 bd ac f x y dydx 考试时间 考试时间 2 2 个半小时 个半小时 昆明理工大学 数值分析考试题 0909 一 一 填空 填空 每空每空 3 3 分分 共共 3636 分分 1 是以 0 1 2 为节点的三次样条函数 32 32 01 21 12 xxx S x xbxcxx 则 b c 2 设 则差商 3 421f xxx 0 1 2 3 f 0 1 2 3 4 f 3 函数在 1 1 上的最佳 2 次逼近多项式是 32 3245f xxxx 最佳 2 次平方逼近多项式是 4 当 a 满足条件 时 A 可作 LU 分解 当 a 满足 12 21 a A 条件 时 A 可作 分解 T AL L 5 则 1111 2222 1111 2222 11 00 22 11 00 22 A A 2 cond A 6 求方程根的 newton 迭代格式是 cosxx 7 用显式 Euler 法求解 要使数值计算是稳定的 应使 80 0 1yy y 步长 0 h 二 计算与推导二 计算与推导 一 计算函数在附近的函数值 当 n 100 时 试计算在相对 3 sin f xn x 0 0001x 误差意义下的条件数 并估计满足时自变量的相对误差限和 f x 0 1 r f x 绝对误差限 12 分 二 有复化梯形 复化 simpson 公式求积分的近似值时 需要有多少个节点 才能 1 0 x e dx 保证近似值具有 6 位有效数字 12 分 四 确定求解一阶常微分初值问题的如下多步法 中的值 使方法是四阶的 12 分 1121 1 3 2 nnnnnn yyyyh ff 昆明理工大学 数值分析考试题 五 用最小二乘法确定一条经过原点的二次曲线 使之拟合于下列数据 小数点后保留 5 位 i x 1 02 03 04 0 i y 0 81 51 82 0 并计算其最小二乘误差 14 分 六 对下列线性方程组 1 构造一定常迭代数值求解公式 并 23 123 123 221 2100 5 231 xx xxx xxx 证明你构造的迭代格式是收敛的 2 记精确解向量为 若取初始迭代向量 X 要使 请估计需要多少次迭代计算 14 分 0 000 TX 3 10 K XX 考试时间 考试时间2个半小时 个半小时 1010 一 填空 每空一 填空 每空 2 2 分 共分 共 2424 分 分 昆明理工大学 数值分析考试题 1 近似数 490 00 的有效数字有 位 其相对误差限为 2 设 则 74 431f xxxx 017 2 2 2 f 018 2 2 2 f 3 设 的三次最佳一致逼近多项式为 4 2 1 1 f xxx f x 4 12 34 A 1 A A 2 A 5 其条件数 210 121 012 A 2 Cond A 6 为使分解成立 L 是对角线元素为正的下三角阵 a 的 210 12 02 Aa a T AL L 取值范围应是 7 给定方程组为实数 当 a 满足 且时 SOR 迭代法 121 122 xaxb a axxb 02 收敛 8 对于初值问题 要使用欧拉法求解的数值计算稳定 2 100 2 0 1yyxx y 应限定步长 h 的范围是 二 推导计算推导计算 1 应用下列数据表建立不超过 3 次的插值多项式并给出误差估计式 x012 f x 129 fx 3 15 分分 2 用最小二乘法确定一条经过原点的二次曲线 使之拟合于下列数据 x1 02 03 04 0 y0 81 51 82 0 小数点后至少保留 5 位 15 分分 3 确定高斯型求积公式 1 001101 0 0 1 x f x dxA f xA f xxx 的节点及积分系数 15 分分 01 x x 01 A A 昆明理工大学 数值分析考试题 书内 三 证明证明 1 在线性方程组中 证明当时高斯 塞德尔法收敛 AXb 1 1 1 aa Aaa aa 1 1 2 a 而雅可比法只在时才收敛 10 分分 11 22 a 2 给定初值以及迭代公式 0 2 0 x a 1 2 0 1 2 0 kkk xxaxka 证明该迭代公式是二阶收敛的 7 分分 3 试证明线性二步法 212 1 3 31 4 nnnnn h ybybybfbf 当时 方法是二阶 当时 方法是三阶的 14 分分 1b 1b 1212 昆明理工大学 数值分析考试题 一 填空题 每空一 填空题 每空 2 2 分 共分 共 4040 分 分 1 设是真值的近似值 则有 位有效数字 的相对误 0 231x 0 228x x x 差限为 3 过点和的二次拉格朗日插值函数为 0 2 0 1 3 1 2 xL 并计算 0 2 L 4 设在上的最佳二次逼近多项式为 32 3245f xxxx 1 1 最佳二次平方逼近多项式为 5 高斯求积公式的系数 110 1 0 0 xfAxfAdxxfx 0 A 1 A 节点 0 x 1 x 6 方程组 建立迭代公式 写出雅可比迭代法bAx ULDA fBxx kk 1 和高斯 赛德尔迭代法的迭代矩阵 Jacobi B SeidelGauss B 7 其条件数 11 0 22 010 11 0 22 A 2 Cond A 8 设 计算矩阵 A 的范数 21 13 A 1 A 2 A 9 求方程根的牛顿迭代格式是 xf x 10 对矩阵作 LU 分解 其 L U 513 252 321 A 二 计算题 每题二 计算题 每题 1010 分 共分 共 5050 分 分 1 求一个次数不高于 4 次的多项式P x 使它满足 1 1 0 0 0 0 ppp 1 1 p 并写出其余项表达式 要求有推导过程 1 2 p 昆明理工大学 数值分析考试题 2 若用复合梯形公式计算积分 问区间 0 1 应分成多少等分才能使截断误差不dxe x 1 0 超过 若改用复合辛普森公式 要达到同样的精度区间 0 1 应该分成多少等份 5 10 2 1 由下表数据 用复合辛普森公式计算该积分的近似值 x 00 250 50 751 x e11 281 642 11 2 71 3 线性方程组 其中 1 建立雅可比迭代bAx 18 04 0 8 014 0 4 04 01 A T b 3 2 1 法和高斯 赛德尔迭代法的分量形式 2 问雅可比迭代法和高斯 赛德尔迭代法都收敛吗 4 已知如下实验数据 用最小二乘法求形如的经验公式 4 1 0 iyx ii xaay 10 并计算最小二乘法的误差 i x 12345 i y 44 568 8 5 5 用改进的欧拉公式 预估 校正方法 解初值问题 取步长0 0 100 22 yyx dx dy 计算到 保留到小数点后四位 1 0 h2 0 x 三 证明题 共三 证明题 共 10 分 分 1 如果 A 是对称正定矩阵 则A可唯一地写成 其中L是具有正对角元的下 T LLA 三角阵 考试时间 考试时间 2 2 个半小时 个半小时 07 答案答案 昆明理工大学 数值分析考试题 填空填空 1 2 2 6 0 3 4 4 4 1 1 nn nn n xf x xx fx 5 n005 0 6 33 a 7 13 22 yx 一 一 推导与计算推导与计算 一 方法 1 先确定 2 次插值 0 0 1 0 0 1 2 0 1 N xffxfxx 再设该 Hermit 插值为 3 0 1 3 HxN xk xxx 将导数要求代入即可确定 k 值 略 得 32 3 2631Hxxxx 方法 2 直接设 32 3 Hxaxbxcxd 将插值要求代入得方程组 略 解得各待定系数 得 32 3 2631Hxxxx 推导余项 根据条件要求 设余项构造关于 t 的辅助函数 2 3 1 2 R xf xHxK x x xx 2 3 1 2 tf tH tK x t tt 其是充分光滑的 且满足 0 1 2 0 1 0 x 故有 4 个零点 反复运用 Roll 定理 有 4 4 4fK x 0 2 昆明理工大学 数值分析考试题 4 4 2 4 1 2 0 2 0 1 2 4 f K x f R xx xxx 故且依赖于和节点 二 3 3 1 3 2 xxxxxx xxx 由可得 即 故设 1 3 2 xxx 1 11 31 22 nn x xx 因 x 故迭代格式是收敛的 三 令 26 1 011 0 10 122 n Rfh fh n 其中 解得 略 3 1 736 10 h 1 578hn n 将代入取整即得 故需将区间 578 等分 四 G S 迭代阵 令 2 00 10 10010 0 50050 G a abb Bb a bab 2 3 det 0 100 G ab IB 迭代收敛的充要条件是需 100 3 ab BG 解出既 3 100 ab 五 方法 1 01 1 0 1 xxxxx x 设为上带权的正交多项式 则有 1 0 1 0 1 0 0 x dx x x x dx x 昆明理工大学 数值分析考试题 整理得 0101 0101 11 35 111 357 x xxx x xxx 解出 01 11 32 6 5 32 6 5 77 xx 又该公式应对准确成立 代入有 1 f xx 解之得 01 001 1 2 2 3 AA A xAx 0 1 1 15 6 3 1 15 6 3 A A 故可构造出 Gauss 积分公式为 方法 2 直接用代数精度验证法列方程组求解 方程组 每个待定系数 积分公式 六 1 将两边同时在区间上积分得 yf x y 11 nn xx 右边用积分的 Simpson 公式展开 1 1 11 n n x nn x y xy xf x y dx 得 略 将用相应数值值代替 1 1 n n x x f x y dx i y x i y 既推出公式 1111 4 3 nnnnn h yyfff 2 方法 1 因前提是 11 nnnn yy xyy x 故利用 Tarlor 公式 24 4 1 1 234 nnnnn nn hhh y xy xy x hy xyxy xx 昆明理工大学 数值分析考试题 10110111 3 2 1 01101111 44 11 3 23 43 nnnnnnn nnnn ya y xa y xh b f xy xb f xy x ah aa y xabb hy xb h y xabyx a hbh yy 考察局部截断误差 使 111 nnn Ry xy 可得 444 4 4 11 1 443 n a hbhh RyyyO h 01 101 1 1 11 1 1 1 22 31 aa abb a b ab 解之得 0101 111 4 5 4 2 45 42 nnnnn aabb yyyhff 故所给格式为 444 4 52 443 hhh yyy 其局部截断误差的主项为 其是3阶方法 方法 2 直接套课本中公式 但此时 01100110 2 02aabbk 而 令列方程组 0123 0CCCC 可解出各系数 4 4 4 4 8 3 nn h yxh yx 4 其局部截断误差的主项为C 其是3阶方法 昆明理工大学 数值分析考试题 09 一 填空 每空 3 分 共 36 分 1 b 2 c 3 2 4 0 0 1 2 3 f 0 1 2 3 4 f 3 2 7 24 5P xxx 2 911 255 2P xxx 4 1a 5 2 1 A 2 cond A 6 1 cos 1sin kk kk k xx xx x 7 0 h 1 40 二 解 取 n 100 则 r r r f x Condf x x 3 3 tan xfxn x f xn x 由要求知要求时 6 10 170 3 tan 100 r x Condf x 0 1 100 r f x 则自变量的相对误差限 绝对误差限 5 0 578 10 rrr xf xCondf x 9 0 578 10 r xxx 三 解 0 1 x f xeab 用复化梯形时 即要求 由此解得应 2 4 1 10 122 n h Rff 取 214 个节点 用复化 Simpson 时 即要求 4 4 4 1 10 18022 n bah Rff 由此解得应取 9 个节点 四 该题是课本 清华第 4 版 372 页的例题 正确展开正确合并同阶项为 3 项 求出 1n T 5 1 9 n TO h 五 解 按题意 所求拟合函数应形如 其最小二乘拟合误 2 p xaxbx 昆明理工大学 数值分析考试题 差平方和为 为使其达到最小 应令 3 222 0 iii i axbxy 代入数据后得出 解出 a b 即得所 2 2 0 0 a b 3010017 2 10035455 ab ab 求拟合函数为 最小二乘拟合误差或 2 0 949680 112903p xxx 2 0 00523 2 0 0046 六 1010 一 填空一 填空 每空每空 2 2 分分 1 5 0 005 0 0000102 2 4 0 3 2 1 2 4 x 4 6 7 5 5 6 6 7 7 8 8 155 5 32 2 3 3 a 1a 00 02h 二 推导计算二 推导计算 1 1 解 解 待定参数法 根据节点条件及多项式性质 设所求函数为 0 0 1 0 0 1 2 0 1 0 1 2 H xffxfxxA xxx 代入导数条件 求出 A 1 设余项为 当 3 1H xx 2 1 2 R xf xH xK x x xx 且不同于 0 1 2 时 构造关于变量 t 的函数 1 2 x 此函数是充分光滑的 且有零点 0 1 2 x 1 2 1 2 g tf tH tK x t tt 是 2 重零点 在 4 个零点的 3 个区间上反复运用 Rolle 定理 可知至少有一倚赖于 0 1 2 x 的点 使 于是 4 4 4 4 0 4 f gfK xK x 4 2 1 2 0 2 4 f R xf xH xx xx 昆明理工大学 数值分析考试题 本题本题 H x H x 的推出的推出也可以用也可以用 1 1 重节点的差商表方法 重节点的差商表方法 2 2 直接设为直接设为 3 3 次多项式一般式 代次多项式一般式 代 入条件建立方程组求出 入条件建立方程组求出 2 2 解 解 由过原点条件 可知拟合函数形如 2 y xaxbx 故需按最小二乘法定义来推导 设最小二乘拟合误差为 要使其为极小 必需符合 2 3 2 0 ii i y xy 2 3 2 0 2 3 22 0 2 0 2 0 iiii i iiii i axbxy x a axbxy x b 可得法方程 解之得 a 0 94968 b 0 112903 3010017 2 10035455 a b 2 0 949680 112903y xxx 2 3 2 0 0 0052260 0046 ii i y xy 或 3 3 解 解 设为区间 0 1 上带权的正交多项式 于是应有 01 xxxxx x 积分展开并令解相应方程组得 1 0 1 0 0 0 xx dx xx xdx 0101 xxv x xu 510 219 uv 由韦达定理 知是方程的根 01 x x 2 105 0 921 xx 于是可求出 再由此积分公式对精确成立得 0 1 0 821162 0 289949 x x 1 f xf xx 解之得 本题也可利用本题也可利用 GaussGauss 代数代数 1 01 0 1 001 1 0 2 3 2 5 xdxAA x xdxA xAx A 0 1 0 389111 0 277556 A A 精度要求展开 直接解一个精度要求展开 直接解一个 4 4 元非线性方程组 元非线性方程组 三 证明三 证明 1 1 证 证 A 是一对称阵 我们令其顺序主子式 昆明理工大学 数值分析考试题 联立解之得 2 2 1 10 1 a a a 32 3 det1230Aaa 此条件下 A 对称正定 G S 法收敛 1 1 2 a 对 Jacbi 法 求出其迭代阵为 令 于 0 0 0 aa Jaa aa 2 det 2 0IJaa 是可知 当 即时 雅可比法才收敛 21Ja 11 22 a 2 2 a 即 其牛顿迭代格式为 1 f xa x 1 2 0 1 2 0 kkk xxaxka b 显然 迭代函数为 2 xxax 的不动点 11 aa 1 x a 即是 容易求出 所以该迭代公式是二阶收敛的 11 aa 0 2a0 3 3 证 此方法的局部截断误差 2 2 1 3 2 31 4 nnnnnn h Ty xhby xhby xby xhby x 将其各项函数在处泰勒展开并合并同类项得 n x 于是 当时 3 4 4 5 2 137 1 3824 nnn Tbh yxb h yxO h 1b 方法是 2 阶的 当时 3 4 2 1 1 3 nn Tbh yxO h 1b 方法是 3 阶的 4 4 5 2 37 824 nn Tb h yxO h 1212 一填空题 每空一填空题 每空 2 2 分 共分 共 4040 分 分 1 2 0 025 或 0 0216 2 3 0 昆明理工大学 数值分析考试题 3 3 2 1 2 3 xx 4 2 7 5 4 xx 2 119 2 55 xx 5 0 28 0 39 0 29 0 82 6 ULDHULDH SGJ 11 7 1 8 A 1 3 2 316299 2 A 9 1 1 kk kk k xf x xx fx 10 153 012 001 L 2400 410 321 U 二 计算题 每空二 计算题 每空 1010 分 共分 共 5050 分 分 1 求一个次数不高于 4 次的多项式P x 使它满足 P 0 0 P 0 0 P 1 1 P 1 1 P 2 1 并写出其余项表达式 解 由题意 P x x2 ax2 b x c 由插值条件得方程组 1 24 4 1234 1 cba cba cba 求解 得 a 1 4 b 3 2 c 9 4 所以 4 9 2 3 4 1 22 xxxxP 插值余项为 2 1 5 1 22 5 xxxfxR 2 若用复合梯形公式计算积分 问区间 0 1 应分成多少等分才能使截断误差dxe x 1 0 不超过 若改用复合辛普森公式 要达到同样的精度区间 0 1 应该分成多少等 5 10 2 1 分 由下表数据用复合辛普森公式计算该积分 x 00 250 50 751 x e11 281 642 11 2 71 解 由于 则在区间 0 1 上为单调增函数 b a 1 x exf x exfxf 4 设区间分成 n 等分 则 h 1 n 故对复合梯形公式 要求 昆明理工大学 数值分析考试题 12 2 fh ab fRT 52 10 2 1 1 12 1 e n 1 0 即 因此 n 213 即将区间 0 1 分成 213 等分时 用复合梯形 52 10 6 e n85 212 n 计算 截断误差不超过 5 10 2 1 若用复合辛普森公式 则要求 2180 4 2 f hab fRS 54 4 10 2 1 1 2180 1 e n 1 0 因此 n 4 即将区间 0 1 分成 8 等分时 用复合梯形计算 44 10 144 e n7066 3 n 截断误差不超过 5 10 2 1 14 0 1 2 14 4 6 k k k k xfxfxf h hS 7125 1 4 4 6 5 0 432210 xfxfxfxfxfxf 3 线性方程组 其中 1 建立 Jacobi 迭代bAx 18 04 0 8 014 0 4 04 01 A T b 3 2 1 法和 Gauss Seidel 迭代法的分量形式 2 问 Jacobi 迭代和 Gausse Seidel 迭代法都熟 收敛吗 解 1 Jacobi 迭代法的分量形式 为任意初始值 2 1 0 8 04 03 8 04 02 4 04 01 2 1 1 3 3 1 1 2 3 2 1 1 k xxx xxx xxx kkk kkk kkk 0 x Gauss Seidel 迭代法的分量形式 为任意初始值 2 1 0 8 04 03 8 04 02 4 04 01 1 2 1 1 1 3 3 1 1 1 2 3 2 1 1 k xxx xxx xxx kkk kkk kkk 0 x 2 Jacobi 迭代法的迭代矩阵 08 04 0 8 004 0 4 04 00 1 ULDBJ 昆明理工大学 数值分析考试题 32 0 8 0 8 0 2 J BI 故