线性方程组的解法讨论(本科毕业论文)

本科生毕业论文本科生毕业论文 论文题目论文题目 线性方程组的解法讨论 作者 学号 XXX 学院 年级 数学与信息科学学院 2010 级 学科 专业 数学与应用数学 指导教师 XXXX 完成日期 2014 年 5 月 20 日 精品文档 2 欢迎下载 2 欢迎下载 曲靖师范学院教务处曲靖师范学院教务处 精品文档 3欢迎下载3欢迎下载 线性方程组的解法讨论 摘 要 科学技术 工程和经济领域中的一些实际问题建立数学模型时通常可以与线性方 程组对应起来 因此 AX b 的求解是科学计算的中心问题 本文介绍了线性方程组的概 念及解的基本理论 针对齐次线性方程组和非齐次线性方程组 结合例题讨论了它们 的解法 主要有高斯消元法 克拉姆法 LU 分解法 逆矩阵及广义逆矩阵A 法 并对 每种方法的优缺点及适用性进行了分析 得出线性方程组的解法虽多 但要根据线性 方程组的结构选择合适的方法 方能顺利求解的结论 关键词 线性方程组 高斯消元法 克拉姆法则 LU 分解法 逆矩阵A 法 精品文档 4欢迎下载4欢迎下载 DiscussionDiscussion aboutabout thethe SolutionSolution ofof LinearLinear SystemSystem ofof EquationsEquations Abstract Abstract Some practical problems of science and technology engineering and economic areas of the mathematical model can usually correspond to linear equations and therefore the solution of AX b is a central problem in scientific computing This paper introduces the concept and the basic theory of linear equations solution according to the system of homogeneous linear equations and nonhomogeneous linear equations combined with the example discusses their solution mainly Gauss elimination method LU decomposition method Crum method inverse matrix and generalized inverse matrix method and the advantages and disadvantages of each method and applicability are analyzed that although the solution of linear equations but to choose the appropriate method according to the linear equation the form of a group can be solved smoothly conclusions KeyKey words words linear System of equations Gauss elimination method Cramer rule LU decomposition inverse matrix 精品文档 5欢迎下载5欢迎下载 目 录 1 引言 1 2 文献综述 1 2 1 国内外研究现状 1 2 2 国内外研究现状评价 2 2 3 提出问题 2 3 线性方程组的概念及解的基础理论 2 3 1 齐次线性方程组 3 3 2 非齐次线性方程组 6 4 线性方程组的解法 9 4 1 高斯消元法 9 4 2 用克拉默 Cramer 法则解线性方程组 10 4 3 LU 分解法 11 4 4 逆矩阵法及广义逆矩阵A 法 12 5 结论 15 5 1 主要发现 15 5 2 启示 15 5 3 局限性 15 5 4 努力方向 15 参考文献 16 精品文档 1欢迎下载 1 引言 求解线性方程组 AX b 是科学计算的中心问题 1 对于系数矩阵为低阶稠密矩阵的 线性方程组可以用直接法进行消元 对于大规模线性方程组的求解问题 特别是大规模 稀疏线性方程组 直接法会显得比较繁琐 因此 探讨线性方程组的解法就成了当前数 学计算中的一个重点和难点 目前 求解线性方程组的主要方法有高斯消元法 2 克拉 姆法 4 广义逆矩阵A 法 3 LU 分解法 9 如何选择是大家关心的一个问题 在科技 工程 医学 经济等各个领域中 很多问题常常归结为线性方程 有些问 题的数学模型虽不直接表现为求解线性方程 但其数值解法中却需将该问题 离散化 或 线性化 为线性方程组 10 随着计算机存储量的日益增大和计算机速度的迅速提 高 使得求解线性代数方程组的直接求法如高斯消去法等在计算机上可以用来求解大 规模线性代数方程组 并且由于处理稀疏矩阵存贮和计算技术的飞速发展 加之直接 方法理论的日臻完善 进一步断定了直接方法的巨大使用价值和可靠性 因而在近三 十年来直接法被广泛地采用 在科学研究和大型工程设计中出现了越来越多的数学问 题 而这些问题往往需要求数值解 在进行数值求解时 经离散后 常常归结为求解 行如 Ax b 的大型线性方程组 许多源于工程技术的数学问题 都可以归结为求解线性方程组 因此在各种数据处 理中 线性方程组的求解是最常见的问题之一 因此 找到一种行之有效的方法来解线 性方程组可以给计算带来很大的便利 提高人们的工作效率 2 文献综述 2 1 国内外研究现状 目前 国内外对线性方程组解法的研究已从各个方面进行了一定的探讨 得出了 一系列的成果 文献 1 2 中作者简单地叙述了线性方程组的思想方法 文献 3 中漫 谈了线性方程组的改革 文献 4 5 中系统地介绍了线性方程组的基本理论 文献 6 中系统地讲述了线性方程组的各种解法 文献 7 10 中介绍了一些线性方程组的典例 精品文档 2欢迎下载 与解法 文献 11 中韩艳丽介绍了线性方程组在处理矩阵秩问题中的应用 文献 11 12 周均介绍了齐次与非齐次线性方程组重要理论的应用举例 文献 13 14 花威谈了 线性方程组在高等代数中的应用 2 2 国内外研究现状评价 国内外对线性方程组的研究多偏重于计算方法和应用方面的研究 分别从商品利 润问题 交通问题 在解析几何中的应用问题 解决高等代数等方面进行研究 对线 性方程组的系统讨论及怎样选择恰当的方法求解 给出的研究不多 2 3 提出问题 针对国内外研究现状 本文把以上文章中的所有问题进行了综合 对线性方程组 的解法作了归纳总结 弥补其中的一些不完善的地方 并例举一些具有针对性 典范 性的例题 3 线性方程组的概念及解的基础理论 形如 1 1 1111221 1212222 1122 1 2 nn nn mmmnnm a xa xa xb a xa xa xb a xaxa xb 的方程组 叫做线性方程组 其中 1 2 n代表 n 个未知量的系数 m 是方程的 xxx 个数 aij i 1 2 m j 1 2 n 称为方程组的系数 bi i 1 2 s 称为常数项 3 1 齐次线性方程组 若方程组 1 1 中全为 0 即 12 m b bb 精品文档 3欢迎下载 1111221 1212222 1122 0 0 0 nn nn mmmnn a xa xa x a xa xa x a xaxa x 1 2 形如 1 2 的方程组叫做齐次线性方程组 7 常记为矩阵形式 Ax 0 其中 11121 21222 12 n n mmmn aaa aaa A aaa 系数矩阵的秩 且方程组 1 2 的解空间为 则可以得到下列结 ijm n Aa R Ar V 论 这里表示方程组 1 1 解空间的维数 9 dim VnR A dim V 定理 齐次线性方程组一定有解 1 若齐次线性方程组 则只有零解 r An 2 齐次线性方程组有非零解的充要条件是 r An 解的性质 记 0Vx Ax 1 如果 那么 12 V 12 V 2 如果为任意常数 那么 V k kV 3 齐次线性方程组的通解为 是任意常数 其中 1 122n rn r ccc 12 n r c cc 是的一个基础解系 12 n r 0Ax 例 1 15 解线性方程组 1234 1234 1234 1234 2350 320 4360 2470 xxxx xxxx xxxx xxxx 解 方法一 将系数矩阵 A 化为阶梯形矩阵 精品文档 4欢迎下载 1247 2315 071014 3121 43 0016 4136 7 124726 0007 43 A 显然有 则方程组仅有零解 即 4r An 1234 0 xxxx 方法二 由于方程组的个数等于未知量的个数 即 注意 方程组的个数mn 不等于未知量的个数 即 不可以用行列式的方法来判断 从而可计算系数矩mn 阵 A 的行列式 知方程组仅有零解 即 2315 3121 3270 4136 1247 A 1234 0 xxxx 例 2 2 解线性方程组 12345 12345 2345 12345 0 3230 2260 54330 xxxxx xxxxx xxxx xxxxx 解 将系数矩阵 A 化为简化阶梯形矩阵 11111 32113 01226 54331 A 14 12 5 3 rr rr 11111 01226 01226 01226 21 23 24 2 1 1 rr rr rr r 10115 01226 00000 00000 可得 则方程组有无穷多解 其同解方程组为 2r An 其中 为自由未知量 1345 2345 5 226 xxxx xxxx 3 x 4 x 5 x 令 得 令 得 3 1x 4 0 x 5 0 x 12 1 2xx 3 0 x 4 1x 5 0 x 精品文档 5欢迎下载 令 得 于是得到原方程组的一个 12 1 2xx 3 0 x 4 0 x 5 1x 12 5 6xx 基础解系为 1 1 2 1 0 0 2 1 2 0 1 0 3 5 6 0 0 1 所以 原方程组的通解为 112233 Xkkk 1 k 2 k 3 kR 例 3 3 求齐次线性方程组的一个基础解系 并以该基础 1234 1234 1234 20 20 250 xxxx xxxx xxxx 解系表示方程组的全部解 解 将系数矩阵化成简化阶梯形矩阵A 1211 1211 1215 A 13 12 1 1 rr rr 1211 0002 0004 1 2 23 2 1 rr r 1210 0001 0000 可得 则方程组有无穷多解 其同解方程组为 2r An 其中 为自由未知量 123 4 2 0 xxx x 2 x 3 x 令 得 令 得 于是得到 2 1x 3 0 x 14 2 0 xx 2 0 x 3 1x 14 1 0 xx 原方程组的一个基础解系为 1 2 1 0 0 2 1 0 1 0 所以 原方程组的通解为 其中 为任意实数 1 122 Xkk 1 k 2 k 注 基础解系不唯一 但是它们所含解向量的个数相同 且基础解系所含解向量 的个数等于 n r A 由上面的定理可知 若是系数矩阵的行数 也即方程的个数 是未知量的个mn 精品文档 6欢迎下载 数 则有 1 当时 此时齐次线性方程组一定有非零解 即齐次方程组中mn r Amn 未知量的个数大于方程的个数就一定有非零解 2 当时 齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式 mn 0A 3 当且时 此时系数矩阵的行列式 故齐次线性方程组只有零mn r An 0A 解 4 当时 此时 故存在齐次线性方程组的同解方程组 使 mn r An mn 3 2 非齐次线性方程组 1 若方程组 1 1 中不全为 0 即 12 m b bb 11 112211 21 122222 1 122 nn nn nnnnnn a xa xa xb a xa xa xb a xa xa xb 1 3 形如 1 3 的方程组叫做非齐次线性方程组 常记为矩阵形式 Ax b 其中 111211 212222 12 n n mmmnn aaab aaab Ab aaab 系数矩阵的秩 且方程组 1 3 的解空间为 则可以得到下列结 ijm n Aa R Ar V 论 这里表示方程组 1 1 解空间的维数 9 dim VnR A dim V 称为方程组 1 3 的增广矩阵 关于非齐次线性方程组 有以下理论 AA b 1 唯一解 线性方程组有唯一解 r Ar An 2 无解 线性方程组无解 r Ar A 3 无穷多解 线性方程组有无穷多解 r Ar An 精品文档 7欢迎下载 2 解的性质 记 0Vx Ax Sx Axb 1 如果 那么 12 S 12 V 2 如果 那么 SV S 3 非齐次线性方程组的通解为 是任意 01122n rn r xccc 12 n r c cc 常数 其中是的一个解 称为特解 是的一个基础解系 0 Ax 12 n r 0Ax 例 4 7 解线性方程组 123 123 123 21 224 442 xxx xxx xxx 解 21 13 2 4 11211121 21240326 41420346 rr rr AA B 3 32 31 1 2 2 4 3 r rr rr 2 1 3 10011001 03060102 00100010 r 可见 则方程组有唯一解 3r Ar A 所以方程组的解为 1 2 3 1 2 0 x x x 例 5 1 解线性方程组 123 123 123 21 22 24 xxx xxx xxx 解 12 12 13 2 1 21111212 12120333 11240336 rr rr rr AA B 23 rr 1212 0333 0003 精品文档 8欢迎下载 可见 所以原方程组无解 3 2r Ar A 例 6 解线性方程组 1234 124 134 23 231 22104 xxxx xxx xxx 解 12 13 2 2 1112311123 2103101275 2021040241410 rr rr AA B 23 21 2 2 1 1 10152 01275 00000 rr rr r 可见 则方程组有无穷多解 其同解方程组为 24r Ar A 其中 为自由未知量 134 234 25 527 xxx xxx 3 x 4 x 令得原方程组的一个特解 34 0 0 xx 2 5 0 0 又原方程组的导出组的同解方程组为 其中 为自由未知量 134 234 5 27 xxx xxx 3 x 4 x 令 得 令 得 于是得到导 3 1x 4 0 x 12 1 2xx 3 0 x 4 1x 12 5 7xx 出组的一个基础解系为 1 1 2 1 0 2 5 7 0 1 所以 原方程组的通解为 1122 Xkk 1 k 2 kR 精品文档 9欢迎下载 4 线性方程组的解法 4 1 高斯消元法 高斯 Gauss 消元法是一种古老的方法 4 基于高斯消元法的基本思想而改进 变形得到的主元素消去法 三角分解法 是最基础和最直接的求解线性方程组的方法 其中涉及到三种对方程的同解变换 1 把某个方程的 k 倍加到另外一个方程上去 2 交换某两个方程的位置 3 用某个常数 k 乘以某个方程 这三种变换统称为线性方程组的初等变换 高斯消元法的基本思想是 通过一系列的加减消元运算 也就是代数中的加减消 去法 将方程组化为上三角矩阵 然后 再逐一回代求解出 x 向量 现举例说明如下 例 7 解线性方程组 解 分别将第一个方程的 3 倍 2 倍和 2 倍加到第二 三 四个方程上 整理得 123 23 23 23 324 71 555 71 xxx xx xx xx 将此方程组第二个方程加到第四个方程上 使该方程两边全为零 并将第三个方 程的两边乘以1 5 得 123 123 123 123 324 32511 23 237 xxx xxx xxx xxx 精品文档 10欢迎下载 123 23 23 324 71 1 xxx xx xx 再将第三个方程的 7 倍加到第二个方程上 消去第二个方程中的未知量 2 x 整理 得 123 23 3 324 1 66 xxx xx x 最后解得 123 2 0 1 TT x xx 小结 高斯 Gauss 消元法的思想比较简单 操作起来比较容易 但它只适用于 未知数较少的线性方程组 当方程个数和未知数较多时 消元较为困难 4 2 用克拉默 Cramer 法则解线性方程组 定理 1 如果方程组 Ax b 中 D A 0 则 Ax b 有解 且解是唯一的 解为 是 D 中第 i 列换成列矩阵 b 所得的行列式 12 12 n n DDD xxx DDD i D 定理 2 如果方程组 Ax b 中有非零解 那么必有 D A 0 Cramer 法则解 n 元方程 组有两个前提条件 1 未知数的个数等于方程的个数 2 系数行列式不等于零 定理 3 3 当齐次线性方程组 时该方程组有唯一的零解 0Ax 0A 定理 4 4 齐次线性方程组有非零解 0Ax 0A 例 8 解线性方程组 123 123 123 1 2 494 xxx xxx xxx 解 111 123300 149 D 所以 方程组有唯一解 精品文档 11欢迎下载 1 111 22320 449 D 2 111 1232 149 D 3 111 12312 149 D 因此 线性方程组的解为 123 20212 303030 xxx 小结 Cramer 法则用于判断具有 n 个未知数的 n 个线性方程的方程组解的情况 12 当 方程组的系数行列式不等于零时 方程组有解且解唯一 如果方程组无解或者有两个不 同的解时 则系数行列式必为零 如果齐次线性方程组的系数行列式不等于零 则没有 非零解 如果齐次线性方程组有非零解 则系数行列式必为零 用克拉默 Cramer 法 则解线性方程组比较简单 操作起来也比较容易 但它只适用于解未知数的个数和方 程个数相同的线性方程组 而且通常是解非齐次线性方程组 对齐次线性方程组 只 能求出零解 非零解无法求出 4 3 LU 分解法 LU 分解法是直接分解法中的一种算法 10 将方程组 Ax b 中的稀疏矩阵 A 分解为 一个上三角矩阵和一个下三角矩阵 其中 A LU 令 y Ux 那么在方程租的运算中可以先 解 Ly b 再解 Ux y 在编程过程中分两步进行 先对矩阵 A 进行 LU 分解 然后再解方程 组 例 9 用 LU 分解法解方程组 解 由 LU 分解 139144 4321 131243 30102 4 3 2 1 x x x x 7 2 5 10 精品文档 12欢迎下载 14131211 uuuu 30102 T lll 413121 1 T 25 05 11 242322 0uuu 5 812110 T ll 4232 10 T 11 611 310 3433 00uu 11 211 300 T l43100 T 9100 44 000u 4000 得解 b Ly T yyyy 4321 T 1611 172010 得解 yUx T xxxx 4321 T 4321 小结 LU 分解法的优点是当方程组左端系数矩阵不变 13 仅仅是方程组右端列向 量改变 即外加激励信号变化时 能够方便地求解方程组 设 n 阶线性方程组 Ax b 将方程组左端系数矩阵 A 分解成两个三角阵的乘积 14 即 A LU 式中 L 为主对角 线以上的元素均为零的下三角矩阵 且主对角线元素均为 1 的上三角矩阵 U 为主对角 线以下的元素均为零 4 4 逆矩阵法及广义逆矩阵A 法 1 线性方程组 AX b 当 A 可逆时 注 A 是方阵 1 AxbxA b 线性方程组等价于 例 10 解线性方程组 Ax b 其中 b 1 2 4 111 111 143 A 解 111 123300 149 A 精品文档 13欢迎下载 所以 系数矩阵 A 可逆 1 111 222 535 A 方程组变形为 x A 1b 因此 线性方程组的解为 123 20212 303030 xxx 注 针对线性方程组 AX b 上述解法只适用于 A 是方阵且可逆的线性方程组 下面 主要讨论如何将上述方法加以推广 使之能运用到一般的线性方程组的求解中 2 设 m n AC 如果存在 n m GC 使得AGAA 则称G为矩阵A的一个 1 广义逆 矩阵 记作A 矩阵A的 1 逆总是存在的 但一般不是惟一的 12 矩阵A的 1 逆 的全体记为 1 A 若 m n AC A n m C 为A的一个 1 广义逆矩阵 2 则对 n m V WC 为任意的 n m 矩阵 矩阵A的一个 1 广义逆矩阵为 GAVA AVAA 同时还可以表示为 mn GAV EAAEA A W 广义逆矩阵A 的计算 1 设 0 m n r ACr 且有 m m m PC 和n阶置换矩阵Q使得 rrn r EK PAQKC OO 则对任意的 n rm r LC n m 矩阵 r EO GQP OL 是A的一个 1 广义逆矩阵 若存在 n n n TC 使得 r EO PAT OO 则矩阵的 1 逆的全体 精品文档 14欢迎下载 12 122122 2122 1 rrm rn rrn rm r EL ATP LCLCLC LL 2 设 m n AC 则A有惟一 1 逆的充分必要条件是mn 且 r An 即A可逆 这 个惟一的 1 逆就是 1 A 定理 1 12 设 m n AC m bC 则AA bb 是线性方程组Axb 有解的充要条件 其 中 1 AA 如果线性方程组Axb 有解 其通解可表示为 xA bEA A y 其中y是任意的n维列向量 定理 2 14 设线性方程组Axb 有解 A 是m n 矩阵A的一 1 广义逆矩阵 并 且 HA AA A 则yA b 为线性方程组Axb 的最小范数解 定理 3 15 设A 为m n 矩阵A的一个 1 广义逆矩阵 且 HAAA A 则对 任意的n维列向量b yA b 一定是线性方程组Axb 的最小二乘解 例 11 解线性方程组 1234 124 1234 235 5814 2234 xxxx xxx xxxx 解 令 2311 5801 1223 A 5 14 4 b 通过行初等变换得到 4 203 102 211 A EH PP 取 4 QE 再令0 0 得 精品文档 15欢迎下载 100 010 00 00 AQP 203 102 2 2 203 102 000 000 可以验证 5 14 4 TAA bb 所以 线性方程组有解 且通解为 1 2 3 4 200811 30057 00010 00001 y y xA bEA A y y y 1234 y yyyC 任意 7 小结 该方法对线性方程组解的讨论更加完整 表达形式也更加简洁系统 在无穷 多个解向量中 此法可求出一个长度最短解向量 当方程组无解时 又可求出其最优 近似解 而且该方法在概率统计 线性规划等领域中应用比较广泛 5 结论 5 1 主要发现 线性方程组有多种解法 每种解法都有它的优越性和局限性 线性方程组是线性代 数的心脏 它可以应用到很多方面 根据其重要理论可以解决很多问题 使得一些问 题得到意想不到的简单解法 5 2 启示 线性方程组的解法虽多 要选择一种适合的并不容易 我们需要先对线性方程组 进行分类 齐次线性方程组和非齐次线性方程组 根据不同的线性方程组的不同特征 进而采用适当的方法求解 5 3 局限性 线性方程组的解法还有多 由于本人的能力和时间有限 只对其中的几种方法进 精品文档 16欢迎下载 行讨论和分析 5 4 努力方向 除了文章所述线性方程组的理论知识和求解方法外 由于线性方程组的解法相当 多 在今后的