概率论与数理统计(完整版).ppt

2 1 确定性现象和不确定性现象 2 随机现象 在个别试验中其结果呈现出不确定性 在大量重复试验中其结果又具有统计规律性 第一章概率论的基本概念 前言 3 概率与数理统计的广泛应用 3 1 随机试验 E1 抛一枚硬币 观察正 H 反 T 面的情况 E2 将一枚硬币抛三次 观察正反面出现的情况 E3 将一枚硬币抛三次 观察出现正面的情况 举例 我们将对自然现象的一次观察或进行一次科学试验称为试验 E4 电话交换台一分钟内接到的呼唤次数 E5 在一批灯泡中任取一只 测试它的寿命 4 随机试验 1 可在相同的条件下重复试验 2 每次试验的结果不止一个 且能事先明确所有可能的结果 3 一次试验前不能确定会出现哪个结果 5 2 样本空间与随机事件 一 样本空间 定义随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间 记为S 样本空间的元素称为样本点 用 表示 样本空间的分类 1 离散样本空间 样本点为有限个或可列个 例E1 E2等 2 无穷样本空间 样本点在区间或区域内取值 例灯泡的寿命 t t 0 6 二 随机事件 定义样本空间S的子集称为随机事件 简称事件 在一次试验中 当且仅当这一子集中的一个样本点出现时 称这一事件发生 基本事件 复合事件 必然事件 不可能事件 由一个样本点组成的单点集 如 H T 由两个或两个以上的基本事件复合而成的事件为复合事件 如 E3中 出现正面次数为奇数 样本空间S是自身的子集 在每次试验中总是发生的 称为必然事件 空集 不包含任何样本点 它在每次试验中都不发生 称为不可能事件 7 例1 试确定试验E2中样本空间 样本点的个数 并给出如下事件的元素 事件A1 第一次出现正面 事件A2 恰好出现一次正面 事件A3 至少出现一次正面 8 三 事件间的关系与事件的运算 1 包含关系和相等关系 若事件A发生必然导致事件B发生 则称件B包含事件A 记作A B 若A B且A B 即A B 则称A与B相等 9 2 和事件 3 积事件 事件A B x x A且x B 称A与B的积 即事件A与B同时发生 A B可简记为AB 类似地 事件为可列个事件A1 A2 的积事件 10 4 差事件 事件A B x x A且x B 称为A与B的差 当且仅当A发生 B不发生时事件A B发生 即 显然 A A A A A S 11 5 事件的互不相容 互斥 12 6 对立事件 逆事件 13 7 事件的运算律 交换律 结合律 对偶律 分配律 14 例 甲 乙 丙三人各射击一次 事件A1 A2 A3分别表示甲 乙 丙射中 试说明下列事件所表示的结果 15 3 概率的概念 一 古典定义 等可能概型的两个特点 例如 掷一颗骰子 观察出现的点数 1 样本空间中的元素只有有限个 2 试验中每个基本事件发生的可能性相同 概率的古典定义 对于古典概型 样本空间S 1 2 n 设事件A包含S的k个样本点 则事件A的概率定义为 16 古典概型概率的计算步骤 1 选取适当的样本空间S 使它满足有限等可能的要求 且把事件A表示成S的某个子集 2 计算样本点总数n及事件A包含的样本点数k 3 用下列公式计算 17 例1 袋中装有4只白球和2只红球 从袋中摸球两次 每次任取一球 有两种式 a 放回抽样 b 不放回抽样 求 1 两球颜色相同的概率 2 两球中至少有一只白球的概率 例2 设一袋中有编号为1 2 9的球共9只 现从中任取3只 试求 1 取到1号球的概率 事件A 2 最小号码为5的概率 事件B 18 例3 某接待站在某一周曾接待过12次来访 且都是在周二和周四来访 问是否可以推断接待时间是有规定的 19 二 几何定义 定义 20 定义当随机试验的样本空间是某个区域 并且任意一点落在度量 长度 面积 体积 相同的子区域是等可能的 则事件A的概率可定义为 说明当古典概型的试验结果为连续无穷多个时 就归结为几何概率 21 例1甲 乙两人相约在0到T这段时间内 在预定地点会面 先到的人等候另一个人 经过时间t t T 后离去 设每人在0到T这段时间内各时刻到达该地是等可能的 且两人到达的时刻互不相关 求甲 乙两人能会面的概率 会面问题 22 蒲丰投针试验 例21777年 法国科学家蒲丰 Buffon 提出了投针试验问题 平面上画有等距离为a 0 的一些平行直线 现向此平面任意投掷一根长为l a 的针 试求针与任一平行直线相交的概率 23 几何概型的概率的性质 1 对任一事件A 有 24 三 统计定义 一 频率1 在相同的条件下 共进行了n次试验 事件A发生的次数nA 称为A的频数 nA n称为事件A发生的频率 记为fn A 3 频率的特性 波动性和稳定性 25 1 定义 设S是样本空间 E是随机试验 对于E的每个事件A对应一个实数P A 称为事件A的概率 其中集合函数P 满足下列条件 1 对任一事件A 有P A 0 非负性 2 P S 1 规范性 3 设A1 A2 是两两互不相容的事件 则有P A1 A2 P A1 P A2 可列可加性 四 概率公理化定义 26 2 概率的性质 一般地有 P B A P B P AB 27 推广 28 例4 设P A p P B q P AB r 用p q r表示下列事件的概率 29 5 条件概率 一 条件概率 设试验E的样本空间为S A B是事件 要考虑在A已经发生的条件下B发生的概率 这就是条件概率问题 例1 老王的妻子一胎生了3个孩子 已知老大是女孩 求另两个也都是女孩的概率 假设男孩 女孩出生率相同 30 2 性质 条件概率符合概率定义中的三个条件 即 此外 条件概率具有无条件概率类似性质 例如 31 注 当A S时 P B S P B 条件概率化为无条件概率 因此无条件概率可看成条件概率 计算条件概率有两种方法 1 公式法 32 2 缩减样本空间法 在A发生的前提下 确定B的缩减样本空间 并在其中计算B发生的概率 从而得到P B A 例2 在1 2 3 4 5这5个数码中 每次取一个数码 取后不放回 连取两次 求在第1次取到偶数的条件下 第2次取到奇数的概率 33 二 乘法公式 P AB 0 则有P ABC P A P B A P C AB 推广 34 35 三 全概率公式和贝叶斯公式 1 样本空间的划分 注 1 若B1 B2 Bn是样本空间S的一个划分 则每次试验中 事件B1 B2 Bn中必有一个且仅有一个发生 36 2 全概率公式 称为全概率公式 3 贝叶斯公式 37 例4 某电子设备厂所用的晶体管是由三家元件制造厂提供的 数据如下 元件制造厂次品率提供的份额10 020 1520 010 8030 030 05 1 任取一只晶体管 求它是次品的概率 2 任取一只 若它是次品 则由三家工厂生产的概率分别是多少 38 例5 对以往数据分析结果表明 当机器调整得良好时 产品的合格率为90 而当机器发生某一故障时 其合格率为30 每天早晨机器开动时机器调整良好的概率为75 试求已知某日早上第一件产品是合格品时 机器调整得良好的概率是多少 39 1 6独立性 设A B是试验E的两事件 当P A 0 可以定义P B A 一般地 P B A P B 但当A的发生对B的发生的概率没有影响时 有P B A P B 由乘法公式有P AB P A P B A P A P B 例如设试验E为掷甲 乙两枚硬币 观察正反面出现情况 设A 甲币出现H B 乙币出现H 试求 B发生的条件下 A发生的概率 A发生的概率 1 定义 设A B是两事件 如果满足等式P AB P A P B 则称事件A与事件B是相互独立的事件 40 由定义可知 1 零概率事件与任何事件都是相互独立的 2 由对称性 A B相互独立 必有B A相互独立 如果对于任意的k k n 任意的1 i1 i2 ik n都有 P Ai1Ai2 Aik P Ai1 P Ai2 P Aik 则称这n个事件相互独立 41 3 定理 设A B是两事件 且P A 0 则A B相互独立的充要条件是 P B A P B 有关结论 42 三 利用独立性计算古典概率 1 计算相互独立的积事件的概率 若已知n个事件A1 A2 An相互独立 则P A1A2 An P A1 P A2 P An 2 计算相互独立事件的和的概率 若已知n个事件A1 A2 An相互独立 则 例1 两架飞机依次轮番对同一目标投弹 每次投下一颗炸弹 每架飞机各带3颗炸弹 第1架扔一颗炸弹击中目标的概率为0 3 第2架的概率为0 4 求炸弹未完全耗尽而击中目标的概率 43 44 45 第一章习题课 一 主要内容 样本空间 随机事件 概率定义及性质 古典概型 条件概率 全概率公式 Bayes公式 事件的独立性 46 二 课堂练习 1 选择题 1 当事件A与B同时发生 事件C必发生 则有 A P C P AB B P C P A B C P C P A P B 1 D P C P A P B 1 47 2 填空题 2 设两个事件A B相互独立 A B都不发生的概率为1 9 A发生而B不发生的概率与B发生而A不发生的概率相等 则P A 3 计算题 48 设甲箱中有a只白球 b只黑球 乙箱中有c只白球 d只黑球 从甲箱中任取一球放入乙箱中 然后从乙箱中任取一球 试求从乙箱中取得白球的概率 有n个不同 可辨别 的球 每个球都以同样的概率1 N被投到N n N 个箱子中的每一箱中 试求下列事件的概率 1 某指定的n个箱子中各一球 A 2 恰有n个箱 其中各有一球 B 3 某指定箱中恰有m m n 个球 C 4 恰有k个箱子 其中有m个球 D 3 在一个盒子中混有新旧两种乒乓球 新的有白球40个 红球30个 旧球中有白球20个 红球10个 在这个盒子中任取一球 发现是新的 求这个球是白球的概率 49 第二章随机变量及其分布 2 1随机变量 即X e 是定义在样本空间S上的一个实函数 对于不同的试验结果e X取不同的值 由于试验前不能预料e的取值 因而X取1还是取0也是随机的 故称X e 为随机变量 50 1 定义 设随机试验E的样本空间是S e 若对于每一个e S 有一个实数X e 与之对应 即X e 是定义在S上的单值实函数 称为随机变量 简记为r v 注 1 可用随机变量X描述事件 反过来 X的一个变化范围表示一个随机事件 2 X 5 表示事件 掷出的点数大于2且小于5 51 2 分类 2 随机变量随着试验的结果而取不同的值 在试验之前不能确切知道它取什么值 但是随机变量的取值有一定的统计规律性 概率分布 1 离散型随机变量 2 非离散型随机变量 10连续型随机变量 20奇异型随机变量 若随机变量全部可能取到的值是有限多个或可列无限多个 52 2 2离散型随机变量的概率分布 53 2 求分布律的步骤 1 明确X的一切可能取值 2 利用概率的计算方法计算X取各个确定值的概率 即可写出X的分布律 例1 设一汽车在开往目的地的道路上需经过四盏信号灯 每盏信号灯以概率p禁止汽车通过 以X表示汽车首次停下时已通过信号灯的盏数 求X的分布律 设各信号灯的工作是相互独立的 例2 袋中装有4只红球和2只白球 从袋中不放回地逐一地摸球 直到第一次摸出红球为止 设X表示到第一次摸出红球时所摸的次数 求X的分布律 54 3 几种重要的离散型r v 的分布律 一 0 1分布 二 贝努利试验 二项分布 55 例1 设X是n重贝努利试验中事件A发生的次数 成功的概率为p 则X是一个随机变量 我们来求它的分布律 若n 4 求 P X k k 0 1 2 3 4 当n 1时 P X k pk 1 p 1 k k 0 1 即为0 1分布 注 56 例2 某种电子元件的使用寿命超过1500小时为一级品 已知一大批该产品的一级品率为0 2 从中随机抽查20只 求这20只元件中一级品只数X的分布律 例3 某人进行射击 每次命中率为0 02 独立射击400次 试求至少击中两次的概率 57 三 泊松分布 Poisson 2 泊松分布有很多应用 注 3 二项分布与泊松分布之间的关系 58 泊松 Poisson 定理 泊松定理的意义 1 在定理的条件下 二项分布的极限分布是泊松分布 2 当n很大且p又较小时 59 例5 设有同类型设备300台 各台工作是相互独立的 发生故障的概率都是0 01 设一台设备的故障由一个人处理 问至少需配备多少工人 才能保证当设备发生故障但不能及时维修的概率小于0 01 60 四 几何分布 例设某种社会定期发行的奖券 每券1元 中奖率为p 某人每次购买1张奖券 如果没有中奖下次继续再买1张 直到中奖止 求购买次数X的分布律 若该人共准备购买10次共10元钱 即如果中奖就停止 否则下次再购买1张 直到10元共花完为止 求购买次数Y的分布律 61 3随机变量的分布函数 1 定义 设r v X x R1 则F x P X x 称为X的分布函数 2 无论是离散型r v 还是非离散型r v 分布函数都可以描述其统计规律性 注 2 性质 1 F x 是单调不减函数 x2 x1 F x2 F x1 P x1 X x2 0 2 0 F x 1 F 0 F 1 3 F x 至多有可列个间断点 而在其间断点上也是右连续的 F x 0 F x 62 结论 反之 若已知分布函数求分布律用如下公式求解 63 64 4 连续型随机变量的概率密度 则称X为连续型r v f x 称为X概率密度函数 简称概率密度 65 例1 一个靶子是半径为2米的圆盘 设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比 并设射击都能击中靶 以X表示弹着点与圆心的距离 试求X的分布函数 66 定义 3 关于连续型r v 的一个重要结论 定理 设X为连续型r v 它取任一指定的实数值a的概率均为0 即P X a 0 67 4 几个常用的连续型r v 分布 一 均匀分布 则称随机变量X在 a b 上服从均匀分布 记作X U a b 分布函数为 68 二 正态分布 69 性质 2 标准正态分布 70 引理 结论 71 例设某商店出售的白糖每包的标准全是500克 设每包重量X 以克计 是随机变量 X N 500 25 求 1 随机抽查一包 其重量大于510克的概率 2 随机抽查一包 其重量与标准重量之差的绝对值在8克之内的概率 3求常数c 使每包的重量小于c的概率为0 05 注 1 由 x 0 05怎样查表求x的值 2 服从正态分布N 2 的r v X之值基本上落入 2 2 之内 几乎全部落入 3 3 内 特别强调N 0 1 的情况在计算中的应用 72 3 标准正态分布的上 分位点 73 三 负指数分布 74 四 伽玛分布 75 5 随机变量的函数的分布 一 X为离散型r v 76 2 若g x1 g x2 中不是互不相等的 则应将那些相等的值分别合并 并根据概率加法公式把相应的pi相加 就得到了Y的概率分布律 77 二 X为连续型r v 78 79 1 若f x 在有限区间 a b 以外等于零 则只需假设在 a b 上g x 严格单调 选取 min g a g b max g a g b 2 公式法 定理 设X是连续型r v 具有概率密度f x 设y g x 是x的严格单调函数 且反函数x h y 具有连续的导函数 当g x 严格增加时 记 g g 当g x 严格减少时 记 g g 则Y的概率密度为 说明 2 定理中条件y g x 是X的严格单调函数是相当苛刻的 许多常见的函数都不能满足 因此 求随机变量的函数的分布时 只能按 分布函数法 直接求解 80 例4 r v X N 2 证明X的线性函数Y aX b a 0 也服从正态分布 81 第二章习题课 一 主要内容 二 课堂练习 1 甲 乙两名篮球队员独立地轮流投篮 直到某人投中为止 今设甲投中的概率为0 4 乙投中的概率为0 6 求甲队员投篮次数的分布律 设甲先投 82 83 第三章多维随机变量及其分布 1二维随机变量 1 二维r v 定义 设E是一个随机试验 样本空间是S e 设X X e 和Y Y e 是定义在S上的r v 由它们构成的一个向量 X Y 叫做二维r v 2 二维r v 联合 分布函数 84 若将 X Y 看成平面上随机点的坐标 则分布函数F x y 的值为 X Y 落在阴影部分的概率 如图1 图1 图2 二维r v 的分布函数的基本性质与一维r v 的分布函数F x 的性质类似 此处从略 85 3 下面分别讨论二维离散型和连续型r v 一 二维离散型r v 86 例1 设r v X在1 2 3 4四个整数中等可能地取值 r v Y则在1 X中等可能地取一整数 试求 X Y 的分布律 结论 87 二 二维连续型r v 88 二维连续型r v X Y 落在平面G上概率 就等于密度函数f x y 在G上的积分 这就将概率的计算转化为一个二重积分的计算了 注 89 2 边缘分布 一 边缘分布函数 二 边缘分布律 90 91 三 边缘概率密度 92 93 3 条件分布 一 二维离散型r v 的情况 94 95 例2一射击手进行射击 击中目标的概率为p 0 p 1 射击到击中目标两次为止 设以X表示首次击中目标进行的射击次数 以Y表示总共进行的射击次数 试求X和Y的联合分布律和条件分布律 96 二 二维连续型r v 首先引入条件分布函数 然后得到条件概率密度 97 进一步可以化为 98 例3 设数X在区间 0 1 上随机地取值 当观察到X x 0 x 1 时 数Y在区间 x 1 上随机地取值 求Y的概率密度 99 4 相互独立的随机变量 1 定义 2 等价定义 100 例 设X和Y都服从参数 1的指数分布且相互独立 试求P X Y 1 3 命题 设 X Y 服从二维正态分布 则X Y相互独立的充要条件是 0 4 一个重要定理 设 X1 X2 Xm 和 Y1 Y2 Yn 相互独立 则Xi i 1 2 m 和Yj j 1 2 n 相互独立 又若h g是连续函数 则h x 和g y 相互独立 101 5 两个r v 的函数的分布 一 和 Z X Y 的分布 已知 X Y 的联合密度是f x y 求Z X Y的分布密度 结论 102 例1 设X和Y相互独立 且都服从N 0 1 求 Z X Y的分布密度 注 结论 103 二 M max X Y 及m min X Y 的分布 设X Y相互独立 分布函数分别为FX x 和FY y 求M max X Y 的分布 104 三 利用 分布函数法 导出两r v 和的分布函数或密度函数的公式 其要点为 105 四 对于离散型r v 的函数的分布 设X Y是离散型r v 且相互独立 其分布律分别为 P X i pi i 0 1 2 3 P Y j qj j 0 1 2 3 求Z X Y的分布律 例设X Y是相互独立的r v 分别服从参数为 1 2的泊松分布 试证明Z X Y也服从泊松分布 106 第三章习题课 一 主要内容 1 二维r v 的分布函数 离散型r v 的联合分布 连续型r v 的联合概率密度 2 边缘分布函数 边缘分布律 边缘概率密度 3 条件分布律 条件概率密度 4 随机变量的相互独立 5 两个r v 函数的分布 二 课堂练习 107 1 设某人从1 2 3 4四个数中依次取出两个数 记X为第一次所取出的数 Y为第二次所取出的数 若第一次取后不放回 求X和Y的联合分布律 108 109 第四章随机变量的数字特征 1 随机变量的数学期望 一 问题引入 例 某车间生产某种产品 检验员每天随机地抽取n件产品作检验 查出的废品数 是一个随机变量 它的可能取值为0 1 n 设检验员共查了N天 出现废品为0 1 2 n的天数分别为m0 m1 mn 问 天出现的废品的平均值为多少 110 111 112 3 随机变量函数的数学期望公式 113 1 在已知Y是X的连续函数前提下 当我们求E Y 时不必知道Y的分布 只需知道X的分布就可以了 2 上述定理可以推广到多维r v 函数 说明 114 4 均值的性质 1 E c c c为常数 2 E cX cE X c为常数 3 E X Y E X E Y 4 设X Y相互独立 则E XY E X E Y 5 E XY 2 E X2 E Y2 许瓦尔兹不等式 例3 设商店经销某种商品的每周需求量X服从区间 10 30 上的均匀分布 而进货量为区间 10 30 中的某一个整数 商店每售一单位商品可获利500元 若供大于求 则削价处理 每处理一单位商品亏损100元 若供不应求 则从外部调剂供应 此时每售出一单位商品仅获利300元 求此商店经销这种商品每周进货量为多少 可使获利的期望不少于9280元 115 例 二项分布的均值的计算 将X分解成数个r v 之和 然后利用r v 和的数学期望等于r v 的数学期望之和来求解 这个方法具有一定的普遍意义 说明 116 2 方差 一 定义 117 若X为离散型r v 其分布律为P X xk pk k 1 2 则 118 例1 设随机变量X具有 0 1 分布 其分布律为P X 0 1 p P X 1 p 求 D X 119 二 方差的性质及切比雪夫不等式 1 性质 10设C是常数 则D C 0 20设X是r v C是常数 则有D CX C2D X 30设X Y是两个相互独立的随机变量 则有D X Y D X D Y 40D X 0的充要条件是X以概率1取常数C 即P X C 1 120 2 切比雪夫不等式 121 3 几种重要r v 的数学期望及方差 1 一些常用的离散型r v 的均值及方差的计算 100 1分布 参见例1 122 2 一些常用的连续型r v 的均值及方差的计算 123 4 协方差和相关系数 124 i XY是一个无量纲的量 ii Var X XX iii 对于任意的两个r v X和Y 有D X Y D X D Y 2Cov X Y iv Cov X Y E XY E X E Y 注 125 二 协方差的性质 10Cov X Y Cov Y X 20Cov a1X b1 a2Y b2 a1a2Cov X Y 其中a1 a2 b1 b2是常数 30Cov X1 X2 Y Cov X1 Y Cov X2 Y 40 Cov X Y 2 D X D Y 50若X Y相互独立 则Cov X Y 0 126 三 相关系数的性质 127 定义 若随机变量X与Y的相关系数 XY 0 则称X与Y不相关 对于随机变量X和Y 下列事实等价 1 Cov X Y 0 X与Y不相关 E XY E X E Y D X Y DX DY 128 相关系数 XY刻划了X Y之间的线性相关关系 当 XY 0时 X Y不相关指它们之间没有线性相关关系 而不是说它们之间没有任何关系 说明 129 设 X Y 服从二维正态分布 则X Y相互独立的充要条件是 0 知X与Y不相关与X和Y相互独立是等价的 结论 130 5 矩 协方差矩阵 一 定义 设X和Y是随机变量 显然 E X E Y 为一阶原点矩 D X D Y 为二阶中心矩 XY为二阶中心混合矩 1 若E Xk k 1 2 存在 则称它为X的k阶原点矩 2 若E X E X k k 1 2 存在 则称它为X的k阶中心矩 3 若E Xk Yl k l 1 2 存在 则称它为X和Y的k l阶混合矩 4 若E X E X k Y E Y l k l 1 2 存在 则称它为X和Y的k l阶中心混合矩 131 132 三 协方差阵的性质 10C是对称的 由协方差的性质Cov X Y Cov Y X ij ji可得 20 ii D Xi i 1 2 3 n 30 ij2 ii jj i j 1 2 n 由许瓦尔兹不等式可得 40C是非负定的 即对任意的n维向量a a1 a2 an T 都有aTCa 0 E XY 2 E X2 E Y2 许瓦尔兹不等式 133 四 n维正态变量 134 2 性质 20n维r v X1 X2 Xn 服从n维正态分布的的充要条件是X1 X2 Xn的任一线性组合l1X1 l2X2 lnXn服从一维正态分布 30若 X1 X2 Xn 服从n维正态分布 设Y1 Y2 Yn是Xj j 1 2 n 的线性函数 则 Y1 Y2 Yn 也服从多维正态分布 40若 X1 X2 Xn 服从n维正态分布 则 X1 X2 Xn 相互独立与 X1 X2 Xn 两两不相关是等价的 10n维r v X1 X2 Xn 的每一个分量Xi i 1 2 n都是正态分布 反之 若X1 X2 Xn的都是正态分量 且相互独立 则 X1 X2 Xn 服从n维正态分布 135 136 第四章习题课 一 主要内容 1 随机变量的数学期望 函数的数学期望 性质 2 方差定义 性质 3 几类常见分布的数学期望 方差 5 相关系数的定义 性质 4 协方差定义 性质 6 几类矩的定义 二 课堂练习 137 1 一台设备由三大部件构成 在设备运转中各部件需要调整的概率分别为0 1 0 2和0 3 假设各部件的状态相互独立 以X表示同时需要调整的部件数 试求X的数学期望和方差 138 139 第五章大数定律及中心极限定理 1 大数定律 一 问题的提出 提法一 当n足够大时 频率与概率p有较大偏差的概率很小 用数学语言来讲 就是要证明 对于任意 0 140 提法二 强大数定律 即证明 1 切比雪夫大数定律的特殊情况 设r v X1 X2 Xn 相互独立 且具有相同的数学期望和方差 141 性质 142 143 2 中心极限定理 一 问题提出 对于独立随机变量序列 1 2 n 假定E i D i存在 令 144 1 独立同分布的中心极限定理 设r v Xk k 1 2 相互独立 服从同一分布 i i d 且具有有限的数学期望和方差 145 2 李雅普诺夫定理 146 3 德莫佛 拉普拉斯定理 147 例2 设某车间有200台车床 每台车床由于种种原因出现停车 且每台车床开车的概率为0 6 假定每台车床停或开车是相互独立的 若每台车床开车时需消耗1000W电能 问要以99 9 的概率保证这个车间不致因供电不足而影响生产 需供应多少电能 148 练习 1 抽样检查产品质量时 如果发现次品多于10个 则认为这批产品不能接受 问应检查多少个产品 可使次品率为10 的一批产品不能被接受的概率达到0 9 147个 2 一个复杂的系统 由n个相互独立起作用的部件组成 每个部件的可靠度为0 9 且必须至少有80 的部件工作才能使整个系统工作 问n至少为多少才能使系统的可靠度为0 95 25个 3 设某电话总机要为2000个用户服务 在最忙时 平均每户有3 的时间占线 假设各户是否打电话是相互独立的 问若想以99 的可能性满足用户的要求 最少需要多少条线路 79条 149 第六章样本及抽样分布 1 随机样本 一 定义 在统计学中 我们把所研究的全部元素组成的集合称作母体或总体 总体中的每一个元素称为个体 可分为有限总体和无限总体 二 定义 设X是具有分布函数F的r v 若X1 X2 Xn是具有同一分布函数F的相互独立的r v 则称为从分布函数F 或总体F或总体X 得到的容量为n的简单随机样本 简称样本 它们的观察值x1 x2 xn称为样本值 又称为X的n个独立的观察值 150 结论 151 2 抽样分布 一 定义 设X1 X2 Xn是来自总体X的一个样本 又设g X1 X2 Xn 是一个连续函数 如果g中不含有未知参数 则称g X1 X2 Xn 为统计量 152 二 常用的统计量 153 定义 统计量是样本的函数 它是一个随机变量 统计量的分布称为抽样分布 注 结论 154 三 几种常用的统计分布 2 分布与 2 n 分布的关系 155 注 3 2 n 分布的性质 156 157 二 t 分布 说明 158 注 159 四 F分布 160 161 例题 0 1 162 四 正态总体样本的均值与样本方差的分布 结论 重要定理 163 164 第七章参数估计 1 点估计 一 问题的提法 165 二 矩估计法 166 样本矩Ak依概率收敛于相应的总体矩 而样本矩的连续函数依概率收敛于相应的总体矩的连续函数 依据 167 三 极大似然估计方法 说明 168 理论依据 169 极大似然估计的求解方法 170 例2 设X服从 a b 区间上的均匀分布 求a和b的极大似然估计和矩估计量 极大似然估计的性质 171 2 估计量的评选标准 1无偏性 2 例子 S2是D X 的无偏估计量 3 有偏估计向无偏估计的转化 一般化方法 172 2有效性 173 3一致性 结论 切比雪夫不等式 大数定律 174 3 区间估计 一 问题引入 1 定义 175 说明 1 置信区间的直观含义 176 二 求置信区间的一般思路 1 设法构造一个随机变量Z Z X1 X2 Xn 除参数 外 Z不包含其他任何未知参数 Z的分布已知 或可求出 并且不依赖于参数 也不依赖于其他任何未知参数 177 4 正态总体均值与方差的区间估计 一 单个正态总体的均值与方差的区间估计 178 二 两个正态总体的区间估计 179 180 三 两个总体方差比的置信区间 181 5 0 1 分布参数的区间估计 例设自一大批产品的100个样品中 得一级品60个 求这批产品的一级品率p的置信度为0 95的置信区间 182 6 单侧置信区间 1 定义 183 第八章假设检验 1 假设检验 一 基本思想 例1 某车间用一台包装机包装葡萄糖 包得的袋装糖重是一个随机变量 它服从正态分布 当机器正常时 其均值为0 5公斤 标准差为0 015公斤 某日开工后为检验包装机是否正常 随机地抽取它所包装的9袋 称得净重为 公斤 0 4970 5060 5180 5240 4980 5110 5200 5150 512问机器是否正常 184 假设检验所采用的方法是一种反正法 先假设结论成立 然后在这个结论成立的条件下进行推导和运算 如果得到矛盾 则推翻原来的假设 结论不成立 这里的矛盾是与实际推断原理的矛盾 即如果 小概率事件在一次试验中发生了 则认为原假设不成立 因此 假设检验是一种带有概率性质的反证法 基本思想 二 基本概念与术语 1 称给定的 0 1 为显著性水平 185 说明 186 5 假设检验的一般步骤 187 三 假设检验的两类错误 1 第一类错误 如果原假设H0成立 而观察值落入拒绝域 从而作出拒绝H0的结论 称作第一类错误 又称 弃真 的错误 由定义知 显著性水平 恰好是犯第一类错误的概率 2 第二类错误 如果原假设H0不成立 而观察值未落入拒绝域 从而作出接受H0的结论 称作第二类错误 又称 取伪 的错误 通常记作 188 四 双边假