高考复数知识点精华总结

精品文档 1欢迎下载 复复 数数 1 复数的概念 1 虚数单位 i 2 复数的代数形式 z a bi a b R 3 复数的实部 虚部 虚数与纯虚数 2 复数集 0 0 0 0 b abi a bR a b a 3 复数 a bi a b R 由两部分组成 实数 a 与 b 分别称为复数 a bi 的实部与虚部 1 与 i 分别是实数单位和虚数单位 当 b 0 时 a bi 就是实数 当 b 0 时 a bi 是虚数 其中 a 0 且 b 0 时称为纯虚数 应特别注意 a 0 仅是复数 a bi 为纯虚数的必要条件 若 a b 0 则 a bi 0 是实数 4 复数的四则运算 若两个复数 z1 a1 b1i z2 a2 b2i 1 加法 z1 z2 a1 a2 b1 b2 i 2 减法 z1 z2 a1 a2 b1 b2 i 3 乘法 z1 z2 a1a2 b1b2 a1b2 a2b1 i 4 除法 1121 22 11 2 22 222 za abba bab i zab 5 四则运算的交换率 结合率 分配率都适合于复数的情况 6 特殊复数的运算 n i n 为整数 的周期性运算 1 i 2 2i 若 2 1 2 3 i 则 3 1 1 2 0 5 共轭复数与复数的模 1 若 z a bi 则z abi z z 为实数 z z 为纯虚数 b 0 2 复数 z a bi 的模 Z 22 ab 且 2 z zz a2 b2 6 根据两个复数相等的定义 设 a b c d R 两个复数 a bi 和 c di 相等规定为 a bi c di ac bd 由这个定义得到 a bi 0 0 0 a b 两个复数不能比较大小 只能由定义判断它们相等或不相等 4 复数 a bi 的共轭复数是 a bi 若两复数是共轭复数 则它们所表示的点关于实轴对称 若 b 0 则实数 a 与实数 a 共轭 表示点落在实轴上 5 复数的加法 减法 乘法运算与实数的运算基本上没有区别 最主要的是在运算中将 精品文档 2欢迎下载 i2 1 结合到实际运算过程中去 如 a bi a bi a2 b2 6 复数的除法是复数乘法的逆运算将满足 c di x yi a bi c bi 0 的复数 x yi 叫做 复数 a bi 除以复数 c di 的商 由于两个共轭复数的积是实数 因此复数的除法可以通过将分母实化得到 即 22 abiabi cdiacbdbcad i cdicdi cdicd 7 复数 a bi 的模的几何意义是指表示复数 a bi 的点到原点的距离 二 典型例题讲解 1 复数的概念 例 1 实数 m 取什么数值时 复数 z m 1 m 1 i 是 1 实数 2 虚数 3 纯虚数 4 对应的点 Z 在第三象限 解 复数 z m 1 m 1 i 中 因为 m R 所以 m 1 m 1 都是实数 它们分别是 z 的实部 和虚部 1 m 1 时 z 是实数 2 m 1 时 z 是虚数 3 当 10 10 m m 时 即 m 1 时 z 是纯虚数 4 当 10 10 m m 时 即 m 1 时 z 对应的点 Z 在第三象限 例 2 已知 2x 1 i y 3 y i 其中 x y R 求 x y 解 根据复数相等的意义 得方程组 21 1 3 xy y 得 x 2 5 y 4 例 4 当 m 为何实数时 复数 z 2 2 232 25 mm m m2 3m 10 i 1 是实数 2 是虚数 3 是纯虚数 解 此题主要考查复数的有关概念及方程 组 的解法 1 z 为实数 则虚部 m2 3m 10 0 即 2 2 3100 250 mm m 解得 m 2 m 2 时 z 为实数 2 z 为虚数 则虚部 m2 3m 10 0 即 2 2 3100 250 mm m 解得 m 2 且 m 5 当 m 2 且 m 5 时 z 为虚数 2 2 2 2320 3100 250 mm mm m 解得 m 2 1 当 m 2 1 时 z 为纯虚数 诠释 本题应抓住复数分别为实数 虚数 纯虚数时相应必须具备的条件 还应特别注 意分母不为零这一要求 例 5 计算 i i2 i3 i2005 解 此题主要考查 in 的周期性 i i2 i3 i2005 i i2 i3 i4 i2001 i2002 i2003 i2004 i2005 精品文档 3欢迎下载 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 0 0 0 i i 或者可利用等比数列的求和公式来求解 略 诠释 本题应抓住 in 的周期及合理 分组 例 8 使不等式 m2 m2 3m i m2 4m 3 i 10 成立的实数 m 解 此题主要考查复数能比较大小的条件及方程组和不等式的解法 m2 m2 3m i m2 4m 3 i 10 且虚数不能比较大小 2 2 2 10 30 430 m mm mm 解得 10 0 3 3 1 m mm mm m 3 当 m 3 时 原不等式成立 诠释 本题应抓住复数能比较大小时必须都为实数这一条件 例 9 已知 z x yi x y R 且 22 2log8 1 log x y ixy i 求 z 解 本题主要考查复数相等的充要条件及指数方程 对数方程的解法 22 2log8 1 log x y ixy i 22 280 log1 log x y xy 3 2 xy xy 解得 2 1 x y 或 1 2 x y z 2 i 或 z 1 2i 诠释 本题应抓住复数相等的充要条件这一关键 正确 熟练地解方程 指数 对数方程 例 10 已知 x 为纯虚数 y 是实数 且 2x 1 i y 3 y i 求 x y 的值 解 本题主要考查复数的有关概念 实数与 i 的运算 复数相等的充要条件 方程组的解 法 设 x ti t R 且 t 0 则 2x 1 i y 3 y i 可化为 2ti 1 i y 3 y i 即 2t 1 i 1 y 3 y i 21 3 1 ty y y 1 t 2 5 x 2 5 i 1 已知复数 z 满足 z 2 2 z 4 z R 求 z 解 设 z x yi x y R 则 z 4 z z 222222 44 44 zxyixy xyixyi zzxyxyxy z 4 z R 22 4y y xy 0 又 z 2 2 x 2 2 y2 4 联立解得 当 y 0 时 x 4 或 x 0 舍去 x 0 因此时 z 0 当 y 0 时 1 3 x y z 1 3 综上所得 z1 4 z2 1 3i z3 1 3i 精品文档 4欢迎下载 2 复数 z 满足 z 1 z 1 z 2 且 1 1 z z 为纯虚数 求 z 解 设 z x yi x y R 则 z 1 z 1 z 2 z z 1 z 2 z z 1 0 z z 1 x 2 1 1 1 z z 2 2 1 1 1 1 1 1 zzzzz zzz 22 2 1 1 xyxyixyi z 为纯虚数 x2 y2 1 0 y 2 3 z 2 1 2 3 i 或 z 2 1 2 3 i 3 复数 z 满足 1 2i z 3 10i z 4 34i 求 z 解 设 z x yi x y R 则 1 2i