高等数学第七章微分方程试题及答案

精品文档 1欢迎下载 第七章第七章 常微分方程常微分方程 一 变量可分离方程及其推广一 变量可分离方程及其推广 1 1 变量可分离的方程 变量可分离的方程 1 方程形式 通解 0 yQyQxP dx dy CdxxP yQ dy 注 在微分方程求解中 习惯地把不定积分只求出它的一个原函数 而任 意常数另外再加 2 方程形式 0 2211 dyyNxMdxyNxM 通解 Cdy yN yN dx xM xM 1 2 2 1 0 0 12 yNxM 2 2 变量可分离方程的推广形式 变量可分离方程的推广形式 1 齐次方程 x y f dx dy 令 则 u x y uf dx du xu dx dy cxc x dx uuf du ln 二 一阶线性方程及其推广二 一阶线性方程及其推广 1 1 一阶线性齐次方程 一阶线性齐次方程 它也是变量可分离方程 通解 为任意常 0 yxP dx dy dxxP Ceyc 数 2 2 一阶线性非齐次方程 一阶线性非齐次方程 用常数变易法可求出通解公式 xQyxP dx dy 令 代入方程求出则得 dxxP exCy xC CdxexQey dxxPdxxP 3 3 伯努利方程 伯努利方程 1 0 yxQyxP dx dy 令把原方程化为 再按照一阶线性 1 yz xQzxP dx dz 11 非齐次方程求解 4 4 方程 方程 可化为 以为自变量 xyPyQdx dy 1 yQxyP dy dx y 为未知函数 再按照一阶线性非齐次方程求解 x 三 可降阶的高阶微分方程三 可降阶的高阶微分方程 方程类型解法及解的表达式 xfy n 通解 nn nn n n CxCxCxCdxxfy 1 2 2 1 1 次 yxfy 令 则 原方程py py 一阶方程 设其解为 pxfp 1 Cxgp 即 则原方程的通解为 1 Cxgy 21 CdxCxgy yyfy 令 把看作的函数 则py py dy dp p dx dy dy dp dx dp y 把 的表达式代入原方程 得 一阶方程 y y pyf pdy dp 1 设其解为即 则原方程的通解为 1 Cygp 1 Cyg dx dy 2 1 Cx Cyg dy 精品文档 2欢迎下载 四 线性微分方程解的性质与结构四 线性微分方程解的性质与结构 我们讨论二阶线性微分方程解的性质与结构 其结论很容易地推广到更高阶 的线性微分方程 二阶齐次线性方程 1 0 yxqyxpy 二阶非齐次线性方程 2 xfyxqyxpy 1 若 为二阶齐次线性方程的两个特解 则它们的线性组合 xy1 xy2 为任意常数 仍为同方程的解 特别地 当 xyCxyC 2211 1 C 2 C 为常数 也即与线性无关时 则方程的通解 xyxy 21 xy1 xy2 为 xyCxyCy 2211 2 2 若 若 为二阶非齐次线性方程的两个特解 则为二阶非齐次线性方程的两个特解 则为为 xy1 xy2 xyxy 21 对应的二阶齐次线性方程的一个特解 对应的二阶齐次线性方程的一个特解 3 若为二阶非齐次线性方程的一个特解 而为对应的二阶齐次线 xy xy 性方程的任意特解 则为此二阶非齐次线性方程的一个特解 xyxy 4 若为二阶非齐次线性方程的一个特解 而为对应的y xyCxyC 2211 二阶齐次线性方程的通解 为独立的任意常数 则 1 C 2 C 是此二阶非齐次线性方程的通解 xyCxyCxyy 2211 5 设与分别是与 xy1 xy2 xfyxqyxpy 1 的特解 则是 xfyxqyxpy 2 xyxy 21 的特解 xfxfyxqyxpy 21 五 二阶和某些高阶常系数齐次线性方程五 二阶和某些高阶常系数齐次线性方程 1 二阶常系数齐次线性方程 其中 为常数 特征方程0 qyypypq0 2 qp 特征方程根的三种不同情形对应方程通解的三种形式 1 特征方程有两个不同的实根 则方程的通解为 1 2 xx eCeCy 21 21 2 特征方程有二重根 则方程的通解为 21 x exCCy 1 21 3 特征方程有共轭复根 则方程的通解为 i xCxCey x sin cos 21 2 阶常系数齐次线性方程n 其中为常数 0 1 2 2 1 1 ypypypypy nn nnn nipi 2 1 相应的特征方程0 1 2 2 1 1 nn nnn pppp 特征根与方程通解的关系同二阶情形很类似 1 若特征方程有个不同的实根则方程通解 n n 21 x n xx n eCeCeCy 21 21 2 若为特征方程的重实根则方程通解中含有 y 0 k nk xk k exCxCC 0 1 21 3 若为特征方程的重共轭复根 则方程通解中含有 i k nk 2 xxDxDDxxCxCCe k k k k x sin cos 1 21 1 21 由此可见 常系数齐次线性方程的通解完全被其特征方程的根所决定 但是 精品文档 3欢迎下载 三次及三次以上代数方程的根不一定容易求得 因此只能讨论某些容易求特征方 程的根所对应的高阶常系数齐次线性方程的通解 六 二阶常系数非齐次线性方程六 二阶常系数非齐次线性方程 方程 其中为常数 xfqyypy qp 通解 xyCxyCyy 2211 其中为对应二阶常系数齐次线性方程的通解上面已经讨论 xyCxyC 2211 所以关键要讨论二阶常系数非齐次线性方程的一个特解如何求 y 1 其中为次多项式 为实常数 x n exPxf xPnn 1 若不是特征根 则令 x n exRy 2 若是特征方程单根 则令 x n exxRy 3 若是特征方程的重根 则令 x n exRxy 2 2 或 xexPxf x n sin xexPxf x n cos 其中为次多项式 皆为实常数 xPnn 1 若不是特征根 则令 i xxTxxRey nn x sin cos 2 若是特征根 则令 i xxTxxRxey nn x sin cos 例题 例题 一 齐次方程 1 求的通解 dx dy xy dx dy xy 22 解 1 0 2 2 2 22 x y x y xxy y dx dy dx dy xyxy 令 1 2 u u dx du xuu x y 则0 1 duuxudx 1 1 C x dx du u u 1 lnCuxu x y uuC ceyceexu 1 2 011 dy y x edxe y x y x 解 令 将 y 看成自变量 y x y x e y x e dy dx 1 1 yuxu y x 所以 dy du yu dy dx u u e ue dy du yu 1 1 u u u uu e eu u e eue dy du y 11 y dy du eu e u u 1 y dy eu eud u u y y c eu u 1 lnlnln c eu y u 1 y xu e y x c eu c y cyex y x 二 一阶线形微分方程 1 1 0 0 ydyxyydx 精品文档 4欢迎下载 解 可得 这是以y为自变量的一阶线性方程解得 0 1 1 x y x dy dx ln ycyx 所以得解 0 1 x0 cyyxln 2 求微分方程的通解 4 yx y dx dy 解 变形得 是一阶线性方程 3 4 1 yx ydy dx y yx dy dx 即 3 1 yyQ y yP CyyCdyeyex dy y dy y 4 1 3 1 3 1 三 伯努力方程 63 yxyxy 解 356 xyyxy 2 5 6 x x y y dx dy 令 5 uy 5 6 uyy 2 5 x x uu 2 5 5 xu x u 解得 于是 2 5 25 xcxu 355 2 5 xcxy 四 可降阶的高价微分方程 1 求的通解 1ln 1 xyyx 解 令 原方程化为pypy 则 1ln 1 xppx 属于一阶线性方程 1 1ln 1 1 x x p x p 1 1 1 1 1 1 1ln Cdxe x x ep dx x dx x 1 1 1ln 1ln 1 1 1 1 x C xCdxx x 2 1 1 1 1ln Cdx x C xy 21 2 1ln CxxCx 2 1 0 2 0 2 2 yyyyy 解 令 得到 dy dp pypy 则yp dy dp p 2 2 令 得到为关于y的一阶线性方程 up 2 yu dy du 解得 1 0 0 0 22 yp x u y ceyu 1 所以 2 0 121 0 0 1 cecey x u y 0 c 于是 1 yu1 yp dx y dy 1 1 12cxy 22 1 1 cx y 得到 得解 2 0 y1 2 1 c 1 2 1 x y 五 二阶常系数齐次线形微分方程 1 0 2 2 4 5 yyyyyy 解 特征方程 0122 2345 精品文档 5欢迎下载 0 1 1 22 ii 5 43 21 1 于是得解 xxccxxccecy x cos sin 54321 2 06 10 5 4 yyyy14 0 6 0 0 0 1 0 yyyy 解 特征方程 06105 24 0 22 3 1 2 1 1 3 2 i 1 4 3 得通解为 sincos 43 3 21 xcxceececy xxx 由 14 0 6 0 0 0 1 0 yyyy 得到 2 1 1 c 2 1 2 c1 3 c1 4 c 得特解 sin cos 2 1 2 1 3 xxeeey xxx 六 二阶常系数非齐次线形微分方程 1 求的通解 x eyyy232 解 先求齐次方程的通解 特征方程为 特征根为032 2 1 3 21 因此齐次方程通解为 xx eCeCY 2 3 1 设非齐次方程的特解为为特征根 因此设 1 由于y x xAey 代入原方程可得 故原方程的通解为 2 1 A xxx xeeCeCy 2 1 2 3 1 2 求方程的通解 xyyycos222 解 特征方程为 特征根为 02 2 1 2 21 因此齐次方程的通解为 xx eCeCY 2 2 1 设非齐次方程的特解为 由于题目中不是特征根 yii2 2 0 因此设 代入原方程可得xBxAy2sin2cos xxBABxABA2cos22sin 422 2cos 422 226 BA026 AB 解联立方程得 因此 10 1 10 3 BAxxy2sin 10 1 2cos 10 3 故原方程的通解为 xxeCeCy xx 2sin 10 1 2cos 10 3 2 2 1 3 xxxyycos22sin3 解 特征根为 齐次方程的通解为 i xcxcysincos 21 xyy xyccxccy 1 0 2121 xyy2sin3 xcxcxcxcexy x 2cos2sinsincos 2121 0 待入原式得出 所以0 1 21 ccxy2sin xyycos2 xxcxcxcxcexy x sincos sincos 2121 1 待入原式得出 所以1 0 21 ccxxysin 故原方程的通解为xxxxxcxcysin2sinsincos 21 七 作变量代换后求方程的解 1 求微分方程的通解 2 3 22 1 1 y dx dy xxy 精品文档 6欢迎下载 解 令 原方程化为 tan tanvxuy u vdv udu vvu 3 2 2 sec sec sec sec tan tan 化简为 再令 1 sin dv du vu方程化为则 1 dv du dv dz vuz z dv dz zsin1sin sin1 1 1 sin sin1 sin cvdz z z cdvdz z z cvdz z z z 2 sin1 sin1 cvdz z z z 2 cos sin1 最后Z再返回x y v也返回x 即可 cvzzz sectan 2 0 2 0 sin 1 yyxyx 解 设1 dx du dx dy xuyuyx cxuu x dx u du u dx du xlnlncotcscln sin 0sin 因为 x c yx yx x c uu sin cos1 cotcsc 2 0 2 cyx 所以 xyx yx 2sin cos1 3 2 1222 sin22sin 1 x eyxyyx 解 令 得到yyuyu2sin sin2 则 为一阶线性方程 2 122 2 1 x exuux 2 12 2 11 2 2 x e u x x u x 解得 即 1 ln 212 2 xxceu x 1 ln sin 2122 2 xxcey x 4 0 cos1 cossinln yxyyxxy 解 令 则 原方程化为uy cosyyusin 0 1 ln xuuxxu 为贝奴利方程 x u xx u u lnln 2 xuxxu u ln 11 ln 1 2 令 则 方程化为 为一阶线性方程 u z 1 2 u u z x z xx z ln 1 ln 1 解得 即 x cx z ln x cx ylncos 1 xycxlncos 八 综合题 1 设 f x x 其中 f x 连续 求 f x xsin x dttftx 0 解 由表达式可知 f x 是可导的 两边对 x 求导 则得 x dttfxxxxf 0 sincos 再对两边关于 x 求导 得 cos2sinxfxxxxf 即 属于常系数二阶非齐次线性方程 xxxxfxfcos2sin 对应齐次方程通解 xCxCysincos 21 非齐次方程特解设 代入方程求出系数 xDCxxxBAxxysincos A B C D 则得 故f x 的一般表达式xxxxysin 4 3 cos 4 1 2 xCxCxxxxxfsincossin 4 3 cos 4 1 21 2 由条件和导数表达式可知 f 0 0 可确定出因此 00 f 0 0 21 CC xxxxxfsin 4 3 cos 4 1 2 2 已知 是某二阶线性非 xx exey 2 1 xx exey 2 xxx eexey 2 3 齐次常系数微分方程的三个解 求此微分方程及其通解 精品文档 7欢迎下载 解 由线性微分方程的解的结构定理可得 x eyy 31 xx eeyy 2 21 x eyyyy 2 2131 对应的齐次方程的解 由解与的形式 可得齐次方程为 x e x e202 yyy 设该方程为 代入 得 2xfyyy xx exey 2 1 x exxf21 所以 该方程为 其通解为 x exyyy212 xxxx exeeCeC 22 21 3 设内满足以下条件在 其中 xgxfxgxfxF x exgxffxfxgxgxf2 0 0 且 1 求所满足的一阶和二阶微分方程 2 求出的表达式 xF xF 解 2 2 2 2222 xFexgxfxgxfxfxgxgxfxgxfxF x 可知所满足的一阶微分方程为 xF x exFxF 2 4 2 2 xxxxxdx ceecdxeecdxeeexF 22422dx22 44 将 于是10 0 0 0 cgfF代入 可知 xx eexF 22 4 设函数在内具有二阶导数 且是 xyy yxxy 0 的反函数 1 试将所满足的微分方程 xyy yxx 变换为满足的微分方程 2 求变换后的 0sin 3 2 2 dy dx xy dy xd xyy 微分方程满足初始条件 的解 00 y 2 3 0 y 解 1 由反函数导数公式知 即 两端关于 x 求导 ydy dx 1 1 dy dx y 得 所以 0 2 2 2 y dy xd dy dx y 322 2 y y y y dy dx dy xd 代入原微分方程得 xyysin 2 方程 所对应的齐次方程的通解为0 yy xx eCeCY 21 设方程 的特解为 A B yxcosxsin 代入方程 求得 A 0 B 故 2 1 y 2 1 xsin 从而的通解是 xyysin xeCeCxy xx sin 2 1 21 由 得 2 3 0 0 0 yy1 1 21 CC 故所初值问题的解为 xeexy xx sin 2 1 5 设是以 2为周期的连续函数 x 0 20 0 x x 1 求微分方程的通解 2 以上这些解中 有没有 cosx x eysinx dx dy 以 2为周期的解 若有 求出 若无 说明理由 解 1 先解对应的齐次方程 x ec cosccosx ey0ysinx dx dy 带入上式 xexcexc dx dy excy xxx sin coscoscos 因为 dxxxcxxc dxxx x x xx ceexycxxc coscos 精品文档 8欢迎下载 2 若有以为周期的解 满足 2 02 xfxf cxecxe xfcxexfxf xx x coscos 2cos 2 22 关键是看是否为周期函数 x dxxx x 0 不是周期函数 所以没有为周期的 002 2 0 dxx x 2 解 6 已知曲线 y f x x 0 是微分方程 2y y y 4 6x e x的一条积分曲线 此 曲线通过原点 且在原点处的切线斜率为 0 试求 1 曲线 y f x 到 x 轴的 最大距离 2 计算 0 dxxf 解 1 2 1 0 2 1 2 1 32 22 1 21 2 x ex y yy 齐次方程通解为 根据已知条件特解为 x x ececy 2 2 1 1 x ebxaxY 特解代入原式得 所以 1 0 ba x exY 2 所以通解为 由已知得 xx x exececy 2 2 2 1 1 00 00 ff 所以 所以0 21 cc x exy 2 求到轴的最大距离 即求的最大值 xfy xy 当时 2 2xxey x 0 y 2 0 xx 2 42 00 eff 0limlim 2 2 x x x x e x exf 所以到轴的最大距离为 xfy x 2 42 ef 2 2202 0 0 2 0 2 0 xdxeexdexdxxf xx 九 微分方程的几何和物理应用 1 设函数二阶可导 且过曲线上任意 0 xxy 1 0 0 yxf xyy 一点作该曲线的切线及轴的垂线 上述两直线与轴所围成的三角形的 yxPxx 面积记为区间上以为曲边的曲边梯形面积记为 并设 1 S x 0 xyy 2 S 恒为 1 求此曲线的方程 21 2SS xyy 解 在点的切线方程为 xyy yxP xXxyxyY 它与轴的交点为 由于 因此x 0 y y x 10 0 yxy 0 xy 于是有 又因为 y y y y xxyS 22 1 2 1 dttyS x 0 2 12 21 SS 两边求导并化简得 1 2 0 2 dtty y y x 2 yyy 解上述微分方程 设 则上述方程化为yp y dy p dp p dy dp yp 2 即 yCp 1 21 1 CxC eyyC dx dy 根据 所以曲线方程为 0 110 10 21 CCyy x ey 2 设曲线的极坐标方程为 为任一点 为上一L rr rML 0 2 0 ML 精品文档 9欢迎下载 定点 若极径 与曲线所围成的曲边扇形面积值等于上两 0 OMOMLL 0 MM 点间弧长值的一半 求曲线的方程 L 解 因为 drrdxyds 222 1 drs 2 0 2 1 由已知可得 两边对求导可得 drrdrr 0 22 0 2 2 1 2 1 即 设 222 rrr d rr dr rrr 1 1 2 2 trsec 6 1 arcsin 1 arcsin 1 2 CC r C r rr dr 23 6 csc1 6 sin yxrr 3 有一在原点处与 x 轴相切并在第一象限的光滑曲线 P x y 为曲线上的任一点 设曲线在原点与 P 点之间的弧长为 S1 曲线在 P 点处的切线在 P 点与切线跟 y 轴 的交点之间的长度为 S2 且 求该曲线的方程 2 1 23 S S x x 1 2 解 设曲线方程为 xfy dxyS x 0 2 1 1 曲线在 P 点的切线方程为 xXyyY 因此与轴的交点为 因此y xyy 0 222 2 yxxS 因为 所以 2 1 23 S S x x 1 2 xyxxy x 0 22 213112 两边求导得出 解方程得出 yyxy 121 2 3 2 3 2 xy 4 设函数在上连续 若曲线 直线 与 xf 1 xfy 1 x 1 ttx 轴围成平面图形绕轴旋转一周所成旋转体的体积 试xx 1 3 2 ftfttV 求 所满足的微分方程 并求的解 xfy 9 2 2 x y 解 由题意可知 t ftftdxxftV 1 22 1 3 则 两边对 t 求导 t ftftdxxf 1 22 13 tftttftf 22 23 得 yxftfxt xyyyx23 22 x y x y dx dy 23 2 令 当 dx du xu dx dy xuy x y u 13 uu dx du x时1 0 uu 两边积分后得 方程通解为 x dx uu du 3 1 3 1 cx u u 再由 可得ycxxy 3 9 2 2 x y1 c 3 1x x y 5 一个半球体状的雪球 其体积融化的速率与半球面面积 S 成正比 比例常数 假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状 已知半径为的雪堆开始融0 K 0 r 化的 3 小时内 融化了其体积的 问雪堆全部融化需要多少小时 8 7 解 设雪堆在时刻 的体积 表面积为 t 3 3 2 rV 2 2 rS 由已知可得 Ks dt dV drrdrrdV 22 23 3 2 于是 由 22 22rK dt dr r CKtrK dt dr 0 0rr 精品文档 10欢迎下载 又因为 Ktrr 0 0 8 1 3VV 3 0 3 0 3 2 8 1 3 3 2 rKr 0 6 1 rK 雪球全部融化时 即雪球全部融化需要 6 小时 trrr 00 6 1 60 tr 6 有一房间容积为 100 开始时房间空气中含有二氧化碳 0 12 为了改善房 3 m 间的空气质量 用一台风量为 10 分的排风扇通入含 0 04 的二氧化碳的新鲜 3 m 空气 同时以相同的风量将混合均匀的空气排出 求排出 10 分钟后 房间中二氧 化碳含量的百分比 解 设 时刻二氧化碳的浓度为 在时间间隔 浓度改变tx dttt dx dxxdtdtdxdtxdt10010004 0 10010 04 0 10 两边积分可得 1010410010004 0 4 dt x dxdt x dx 10 44 104 10 104ln t CexC t x 因为 44 1081012 0 Cxt 所以 07 0 10108104 10 44 xtex t 7 有一容积为 500的水池 原有 100的清水 现在每分钟放进 2浓度为 3 m 3 m 3 m 50 的某溶液 同时每分钟放出 1溶液 试求当水池充满时池中溶液浓度 3 m 解 设 时刻溶液中溶质的量为 在时间间隔 质量改变tx dttt dx 这是一阶线性微分方程1 100100 1 502 t x dt dx dxdt t x 先解对应的齐次方程 再解非齐次方程 t c x 100 t tc x 100 c ctt xctttc 100 100 2 1 100 2 1 2 2 因为 当水池充满时 t tt xcxt 100 100 2 1 00 0 2 分钟 溶液浓度为400 500100 tt 48 100 x 8 某湖泊的水量为 V 每年排入湖泊内含污染物 A 的污水量为 流入湖泊内不 6 V 含污染物 A 的污水量为 流出湖泊的水量为 已知 1999 年底中湖中 A 的含 6 V 3 V 量为 超过国家规定指标 为了治理污染 从 2000 年初起 限制排入湖泊中 0 5m 含 A 污水的浓度不超过 问至多需要经过多少年 湖泊中污染物 A 的含量才 V m0 可降至以内 设湖水中 A 的浓度是均匀的 0 m 解 设从 2000 年初 令此时 开始 第 年湖泊中污染物 A 的总量为0 tt 浓度为 则在时间间隔上 排入湖泊中 A 的量近似为 tm V m dttt 排出量为