高级微观经济学1-3章框架

精品文档 1欢迎下载 第第 1 31 3 章 消费者理论章 消费者理论 一 形式化表述分析消费者偏好的性质 完备性 传递性 连续性 严格单调性 严格凸性等等 二 效用函数存在性证明 请参考教材 三 表述显示性偏好弱公理及显示性偏好强公理 并用于分析下面问题 考察一个对物品 1 和物品 2 有需求的消费者 当物品价格为 2 4 时 1 p 其需求为 1 2 当价格为 6 3 时 其需求为 2 1 该 1 x 2 p 2 x 消费者是否满足显示性偏好弱公理 如果 1 4 1 时 该消费者是否满足显示性偏好弱公理 2 x 解答 消费束 1 偏好于消费束 281 42 2xp102 41 2xp 2111 消费束 2 偏好于消费束 1151 32 6xp122 31 6xp 2212 违反了显示性偏好弱公理 如果 1 4 1 时 2 x 消费束 1 偏好于消费束 28 61 44 1 2xp102 41 2xp 2111 消费束 1 在价格 2 的情况下 4 111 34 1 6xp122 31 6xp 2212 买不起 符合显示性偏好弱公理 四 效用函数 求瓦尔拉斯需求函数 121 xxxu 解答 从效用函数可知wxpxptsxxxu 2211121 max 121 xxxu 商品 2 对消费者没效用 因此最大化效用的结果是所有的收入都用于购买商品 1 对商品 2 的需求为 0 0 2 x 1 1 p w x 或者由 可得到wxpxptsxxxu 2211121 max 精品文档 2欢迎下载 0max max 1 12 11 22 21 于 于于 于于 于于 于于 于于 于于 于于 于于 于于 于于 于于 于于 于于 于 p w xx p w p xpw xxu 实际上 这是一个边角解 1 x 2 x 五 设效用函数 其中 这就是常 或不 1 2121 xxxxu 10 变 替代弹性 CES 效用函数 求 1 瓦尔拉斯需求函数 2 间接效用函数 3 验证间接效用函数关于价格与收入是零次齐次的 4 验证间接效用函数关于收入 y 是递增的 关于价格 p 是递减的 5 验证罗伊恒等式 6 求希克斯需求函数 7 求支出函数 8 从它对应的间接效用函数推导出支出函数 及从支出函数推导出间接效用 函数 9 验证 对偶定理 upepxuph ii 1 求瓦尔拉斯需求函数 列出拉格朗日函数 2211 1 2121 xpxpyxxxxL 三个一阶条件 精品文档 3欢迎下载 0 1 1 1 1 1 21 1 xxx x L 0 2 1 2 1 1 21 2 xxx x L 0 2211 xpxpy L 整理 得 1 1 2 1 21 p p xx 2211 xpxpy 求解 得 1 2 1 1 1 1 1 1 pp yp x p 1 2 1 1 1 1 2 2 pp yp x 上式就是消费者的瓦尔拉斯需求函数 如果定义 便可将瓦尔拉 1 r 斯需求函数化简为 rr r pp yp ypx 21 1 1 1 rr r pp yp ypx 21 1 2 2 2 求间接效用函数 将上述两个瓦尔拉斯需求函数代入直接效用函数 可得间接效用函数 1 21 ypxypxypv 1 21 1 2 21 1 1 rr r rr r pp yp pp yp rrr ppy 1 21 3 验证间接效用函数关于价格和收入的零次齐次性 rrr tptptytytpv 1 21 rrr ppy 1 21 ypv 4 验证间接效用函数关于收入 y 是递增的 关于价格 p 是递减的 对它求关 于收入与任何价格的微分 得 0 1 21 rrr pp y ypv 精品文档 4欢迎下载 2 1 0 11 1 21 iyppp p ypv r i rrr i 5 验证罗伊等式 间接效用函数对价格求导除以间接效用函数对收入求导 别忘了乘 1 rrr r i rrr i pp yppp yypv pypv 1 21 11 1 21 1 1 2 1 21 1 iypx pp yp i rr r i 6 求解支出最小化问题 0 min 1 21 2211 21 xxuts xpxp xx 其拉格朗日函数为 1 21221121 xxuxpxpxxL 三个一阶条件为 0 1 1 1 1 211 1 xxxp x L 0 1 1 1 1 212 2 xxxp x L 0 1 21 xxu L 通过消去 这些式子被简化为 1 1 2 1 21 p p xx 1 21 xxu 令 可解出希克斯需求函数 1 r 1 1 1 1 211 rrrr pppuuph 1 2 1 1 212 rrrr pppuuph 7 将希克斯需求函数代入目标函数 可得支出函数 精品文档 5欢迎下载 2211 uphpuphpupe 1 2 1 1 212 1 1 1 1 211 rrrrrrrr pppuppppup rrr ppu 1 21 8 从间接效用函数推导出支出函数 间接效用函数为 rrr ppyypv 1 21 将替换为 u 解出 y ypv rrr ppyu 1 21 rrr ppuy 1 21 再将 y 替换为 得到支出函数为 upe rrr ppuupe 1 21 从支出函数推导出间接效用函数 支出函数为 rrr ppuupe 1 21 将 u 替换为 将替换为 y 解出 ypv upe ypv 9 瓦尔拉斯需求函数 rrrrrr ppyypvppypvy 1 21 1 21 为 将 y 替换为支出函数得 rr r pp yp ypx 21 1 1 1 rr rrrr rr r pp ppup pp upep ypx 21 1 21 1 1 21 1 1 1 1 1 1 21 1 1 uphppup rrrr 六 效用函数 对其求 1 2121 xxxxu 1 瓦尔拉斯需求函数 间接效用函数 2 希克斯需求函数 支出函数 答案 1 1 2 1 1 1 1 1 1 pp wp x 1 2 1 1 1 1 2 2 pp wp x 1 1 2 1 1 21 pp w wppv 精品文档 6欢迎下载 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 pp up h 1 1 2 1 1 1 1 2 2 pp up h 1 1 2 1 1 pp u upe 七 给出瓦尔拉斯需求函数 希克斯需求函数 间接效用函数 支出函数形式 化描述 说明其性质 并证明其中的凹凸性性质 请参考教材 八 证明对偶原理中的 1 2 wpvphwpx upepxuph 请参考教材 九 考虑将瓦尔拉斯预算集扩展为一个任意消费集 wxpXxBX wp 假定 证明 如果是一个凸集 则也是凸集 0 wp X wp B 答案 设 xB xB 0 1 wp wp 令 x x 1 x 因为 x 是一个凸集 所以 xX 故 p x p x 1 p x w 1 w w 因此 xB wp 十 效用函数 推导斯拉茨基方程 并分析替代效应 收入效 2121 xxxxu 应和总效应 答案 推导斯拉茨基方程需要以下函数 1 瓦尔拉斯需求函数 过程省略 1 1 2p w x 2 2 2p w x 2 间接效用函数 21 2 4 pp w wpv 精品文档 7欢迎下载 3 希克斯需求函数 1 2 1 p up h 2 1 2 p up h 4 验证第一种商品的斯拉茨基方程 第一步 计算收入效应 1 11 2 12 pw p w w x 2 111 1 1 422 1 p w p w pw x x 第二步 计算替代效应 把 u 替换为间接效用函数 1 2 1 p up h 2 3 1 2 1 2 1 1 2 1 ppu p h 代入 得到 21 2 4 pp w wpvu 2 2 2 3 1 2 1 2 2 1 2 2 1 11 1 422 1 p w pp pp w p h 第三步 计算总效应 2 11 1 1 1 2 2 p w p p w p x 第四步 验证总效应 替代效应 收入效应 2 11 1 2p w p x 2 11 1 4p w p h 2 1 1 1 4p w w x x 显然 w x x p h p x 1 1 1 1 1 1 十一 效用函数 求其货币度量的直接和间接效用函数 1 2121 xxxxu 答案 1 1 2 1 1 1 21 ppxxxpw wqqppwqp 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 于 于 十二 效用函数 当 2121 xxxxu 40 3 2 0 2 0 1 wpp 精品文档 8欢迎下载 求其等价变化和补偿变化 5 4 1 2 1 1 pp 答案 为了计算等价变化和补偿变化需要 间接效用函数 21 2 4 pp w wpv 支出函数 21 2 pupupe 1 先求等价变化 老价格 新效用 计算支出函数 老价格为 3 2 0 2 0 1 pp 新效用为 20 544 1600 4 1 2 1 1 2 pp w wpv 304322022 0 2 0 1 pupupe 则等价变化为 40304 EV 2 补偿变化 新价格 老效用 计算支出函数 老效用 3 200 324 1600 4 0 2 0 1 2 pp w wpv 3 10 4054 3 200 22 1 2 1 1 pupupe 补偿变化为 3 10 4040 EV 十三 分析福利分析在税收方面的应用 请参考教材 十四 假定 对商品 1 开征消费税 2121 xxxxu 25 0 1 p1 2 p2 w 0 25 元 求开征消费税的无谓损失 包括两种情况 解答 解答 maxmax 2121 xxxxu s t s t wpxpx 2211 精品文档 9欢迎下载 1 1 求瓦尔拉斯需求函数 求瓦尔拉斯需求函数 1 1 建立拉格朗日函数 建立拉格朗日函数 221121 xpxpwxxL 2 2 求极值一阶条件 求极值一阶条件 a a 0 2 1 1 2 1 2 2 1 1 1 pxx x L b b 0 2 1 2 2 1 2 2 1 1 2 pxx x L c c 0 2211 xpxpw L 由由 a a 和和 b b 整理得 整理得 2 1 1 2 2 1 2 1 21 2 1 12 p p x x p p xx xx 3 3 瓦尔拉斯需求函数 瓦尔拉斯需求函数 分别将分别将 代入预算约束代入预算约束 c c 有 有 2 1 12 p p xx 2 1 21 p p xx 1 1 2 p w x 2 2 2 p w x 2 2 求间接效用函数 求间接效用函数 将瓦尔拉斯需求函数代入目标函数将瓦尔拉斯需求函数代入目标函数 有 有 2121 xxxxu 21 2 21 1 21 2 21 1 21 2 2 2 pp w p w p w wppv 3 3 求支出函数 求支出函数 由间接效用函数 求反函数由间接效用函数 求反函数得 得 w 2 21 21 2 21 1 wppvppw uppupe 21 2 21 1 2 4 4 求希克斯需求函数 求希克斯需求函数 精品文档 10欢迎下载 法一 将支出函数法一 将支出函数 代入瓦尔拉斯需求函数代入瓦尔拉斯需求函数 得到 得到 i i p w x 2 upp 21 2 21 11 h upp 21 2 21 12 h 法二 根据谢伯特引理 对支出函数对价格求导 也可得到希克斯需求函法二 根据谢伯特引理 对支出函数对价格求导 也可得到希克斯需求函 数 数 5 5 求货币度量的效用函数 求货币度量的效用函数 1 1 货币度量的直接效用函数 货币度量的直接效用函数 由由 有 有 uppupe 21 2 21 1 2 2 21 21 2 21 1 xxuppxpw 21 21 2 21 1 2 xxpp 2 2 货币度量的间接效用函数 货币度量的间接效用函数 wqqppwqqvppwqp 21 2 21 1 21 2 21 121 21 2 21 1 2 6 6 下标 下标 0 0 表示征税前 下标表示征税前 下标 1 1 表示征收消费税后 表示征收消费税后 25 0 0 1 p1 0 2 p 25 0 25 0 1 1 p1 1 2 p 2 01 www 等价变化分析 等价变化分析 2 1 25 0 2 2 2 u 2121 21 0 2 21 0 1 0 2 0 1 0 pp w wppv 2 1 5 0 2 2 2 u 2121 21 1 2 21 1 1 1 2 1 1 1 pp w wppv 按照征税前的价格计算的 消费者对征收消费税前后所获得效用的变化 按照征税前的价格计算的 消费者对征收消费税前后所获得效用的变化 1110 upeupeEv wupe 10 wwpp 10 wwpppp 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 0 2 0 1 5858 02215 0125 0 2 1 2 1 2 1 2 1 精品文档 11欢迎下载 商品税与收入税对消费者的福利之差为商品税与收入税对消费者的福利之差为 101110 wppEvupthwppEvT 0 08585858 02 1 5 0 25 05858 0 25 0 2121121 1 2 21 1 1 upp 表明商品税对消费者的福利影响更差 表明商品税对消费者的福利影响更差 补偿变化分析 补偿变化分析 按照征税后的价格计算的 消费者对征收消费税前后所获得效用的变化 按照征税后的价格计算的 消费者对征收消费税前后所获得效用的变化 0100 upeupeCv 01 upew 01 wppw wppppw 2 1 2 1 2 1 2 1