2012浙江省第二次五校联考数学理科[有解析]!

第 1 页 共 19 页 2011 学年浙江省第二次五校联考学年浙江省第二次五校联考 数学 理科 试题卷数学 理科 试题卷 本试卷分选择题和非选择题两部分 满分 150 分 考试时间 120 分钟 请考生按规定 用笔将所有试题的答案涂 写在答题纸上 选择题部分 共选择题部分 共 50 分分 注意事项 1 答题前 考生务必将自己的姓名 准考证号用黑色字亦的签字笔或钢笔镇写在答题纸规定的位置 上 2 每小题选出后 用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用橡皮擦干净后 再选涂其它答案标号 不能答在试题卷上 参考公式 参考公式 如果事件A B互斥 那么 棱柱的体积公式 P ABP AP B VSh 如果事件A B相互独立 那么 其中S表示棱柱的底面积 h表示棱柱的高 P A BP AP B 棱锥的体积公式 如果事件A在一次试验中发生的概率是p 那么 1 3 VSh n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率 其中S表示棱锥的底面积 h表示棱锥的高 1 0 1 2 n k kk nn P kC pkkn 棱台的体积公式 球的表面积公式 2 4SR 1122 1 3 Vh SS SS 球的体积公式 3 4 3 VR 其中 12 S S分别表示棱台的上底 下底面积 其中R表示球的半径 h表示棱台的高 第第 I 卷 共卷 共 50 分 分 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 10 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 50 分 在每小题给出的四个选项中 只分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的 有一项是符合题目要求的 1 设全集RU 集合 15 22 Mx x 14 Pxx 则 U C MP 等于 A 42 xx B 13 xx C 34 xx D 34 xx 第 2 页 共 19 页 解析 2M 3 U C M 2 3 答案 D 2 将长方体截去一个四棱锥 得到的几何体如图所示 则该几何体的侧视图为 答案 D 3 若 01x 是 2 0 xaxa 的充分不必要条件 则实数 a 的取值范围是 A 0 1 B 1 0 C 1 0 D 1 0 解析 2 0 xa xa 2axa 由区间长度知 0 21 a a 1 0a 答案 C 4 已知直线 l m 与平面 满足 llm m 则有 A 且 m B 且lm C m 且lm D 且 解析 又 mm lml 答案 B 5 设实数 x y满足 1 230 x xy yx 则2xy 的最大值和最小值之和等于 A 12 B 16 C 8 D 14 第 3 页 共 19 页 解析 作出可行域如图所示 过 B 点有最小值 过 A 点有最大值 故 和为 12 min3 max9 答案 A 6 若 2 且3cos2sin 4 则sin2 的值为 A 1 18 B 1 18 C 17 18 D 17 18 解析 cos2sin2sin 22sincos 2444 代入上式得 展开 1 cos 46 2 sin cos 6 平方上式得 17 2sincossin2 18 答案 D 7 过双曲线 22 22 1 0 0 xy ab ab 的右焦点 2 F作斜率为1 的直线 该直线与双曲线的两 条渐近线的交点分别为 A B 若 2 F AAB 则双曲线的渐近线方程为 A 30 xy B 30 xy C 230 xy D 320 xy 解析 过右焦点的直线为 设其与交于 A 且 yxc b yx a A ac x ab 设其与交于 B 且 由 2 F AAB 知 A 为线段 BF2中点 b yx a B ac x ab 故有 即 2 2 ABF xxx 2 330 acac cbaxy abab 答案 A 8 设1AB 若2CACB 则CA CB 的最大值为 A 1 3 B 2 C 85 2 9 D 3 解析 如图建系 以 AB 中点 O 为原点 则 1 0 2 A 1 0 2 B 第 4 页 共 19 页 设 C x y 由2CACB 得 22 22 11 2 22 xyxy 化简得 2 2 3 2 2 xy 显然 C 的几何图形为以 E为圆心 为半径的圆 3 0 2 2 观察易得 当 C 在 D 点时 CA CB 最大 且为 2 答案 B 9 数列 n a共有 12 项 其中 1 0a 5 2a 12 5a 且 1 1 1 2 3 11 kk aak 则满 足这种条件的不同数列的个数为 A 84 B 168 C 76 D 152 解析 本题主要考查学生的分类和耐心 答案 A 10 将函数sin 02 yxx 的图象绕坐标原点逆时针方向旋转 02 角 得到曲 线 C 若对于每一个旋转角 曲线C都是一个函数的图象 则满足条件的角 的范围是 A 0 4 B 35 0 444 C 357 0 2 4444 D 7 0 2 44 解析 作出图像如下所示 根据函数的定义知对于每一个 x 都只有唯一的一个 y 与之对应 第 5 页 共 19 页 出 出 S 出 出 i出 i出 1 S出 S出 i2 S出 S出 i2 i出 出 出 出 出 i 5 i出 1出 S出 0 出 出 出 出 观察图像易发现答案为 357 0 2 4444 答案 C 第第 II 卷 共卷 共 100 分 分 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 7 小题 每小题小题 每小题 4 分 共分 共 28 分 分 11 复数 1i 2i a iaR 为虚数单位 为纯虚数 则复数iza 的模为 解析 令 2211 25 aaiai i 202aa 2zi 5z 答案 5 12 某程序框图如图所示 则程序运行后输 出的S值为 解析 i 1 S 1 i 2 S 3 i 3 S 6 i 4 S 10 i 5 跳出程序 此时 S 10 答案 10 13 在 25 1 1 xxx 的展开式中 含 3 x的项的系数是 解析 321 332213213 555555 1AxCxx CxxCxCCCx 故 1 5 5AC 答案 5 14 平面内与直线平行的非零向量称为直线的方向向量 与直线的方向向量垂直的非零向 量称为直线的法向量 在平面直角坐标系中 利用求动点轨迹方程的方法 可以求出 过点 2 1 A且法向量为 1 2 n 的直线 点法式 方程为 2 2 1 0 xy 化简 第 6 页 共 19 页 后得20 xy 则在空间直角坐标系中 平面经过点 2 1 3 A 且法向量为 1 2 1 n 的平面 点法式 方程化简后的结果为 解析 类比得 22130230 xyzxyz 答案 230 xyz 注 由以上提示知 方程表示一个平面 那么请问方程230 xyz 表示怎样的几何图形呢 为旋转的抛物面为旋转的抛物面 222 00 xyzz 15 过抛物线 2 2 0 ypx p 焦点的直线与抛物线交于 A B两点 3AB 且 AB 中点的纵 坐标为 1 2 则p的值为 解析 设直线为 代入抛物线得 2 p xmy 22 20ympyp 2 21 AB AB yymp y yp 又 2 222 14114 ABAB ABmyyyymp 即 22 21 35 4 1143 mp p mp 答案 35 4 16 甲 乙两个篮球队进行比赛 比赛采用 5 局 3 胜制 即先胜 3 局者获胜 若甲 乙两 队在每场比赛中获胜的概率分别为 2 3 和 1 3 记需要比赛的场次为 则E 解析 可以取的值有 3 4 5 33 21927 3 332781 P 33 11 44 121240 4 333381 PCC 14 5143 81 PPP 311 334455 81 EPPP 第 7 页 共 19 页 答案 原答案为 107 27 这里提供的是本人的答案 311 81 17 三棱锥OABC 中 OA OB OC 两两垂直且相等 点P Q分别是BC和OA上的动点 且满足 12 33 BCBPBC 12 33 OAOQOA 则PQ和OB所成角余弦值的取值范围是 解析 方法一方法一 考虑几种极端情况 方法二 方法二 过点 O 作 PQ 的平行线 OP 则点 P Q 的运动相当于点 P 在如图所示 的四边形 MNGH 上运动 显然 HOB 最 大 NOB 最小 以 OB OA 和 OC 为 x 轴 y 轴和 z 轴建立空间直角坐标系 O 0 0 0 设点 B 3 0 0 则点 H 为 1 2 2 点 N 2 1 1 可得 答案 16 33 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 5 小题 共小题 共 72 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 18 本题满分 14 分 在ABC 中 角 A B C所对的边分别为 a b c 已知 a b c成等比数 列 且 3 sinsin 4 AC 求角B的大小 若 0 x 求函数 sin sinf xxBx 的值域 18 解 解 因为 a b c 成等比数列 则 2 bac 由正弦定理得 2 sinsinsinBAC 又 3 sinsin 4 AC 所以 2 3 sin 4 B 因为 sinB 0 则 3 sin 2 B 4 因为 B 0 所以 B 3 或 2 3 又 2 bac 则ba 或bc 即 b 不是 ABC 的最大边 故 3 B 3 因为 3 B 则 sin sinsin coscos sinsin 333 f xxxxxx 第 8 页 共 19 页 33 sincos3sin 226 xxx 4 0 x 则 5 666 x 所以 1 sin 1 62 x 故函数 f x的值域是 3 3 2 3 19 本题满分 14 分 设公比为正数的等比数列 n a的前n项和为 n S 已知 32 8 48aS 数列 n b满足 2 4log nn ba 求数列 n a和 n b的通项公式 是否存在mN 使得 1 2 mm m bb b 是数列 n b中的项 若存在 求出m的值 若不 存 在 请说明理由 19 解 解 设 n a的公比为q 则有 2 1 11 81 228 aq q aa q 或 1 2 q 舍 则 1 2 8 32a q 16 1 32 2 2 nn n a 6 22 4log4log 2424 n nn ban 即数列 n a和 n b的通项公式为 16 1 32 2 2 nn n a 424 n bn 6 1 2 244 204 4 6 5 164 4 mm m bbmmmm bmm 令4 3 tm ttZ 所以 1 2 4 6 5 4 2 1 2 4 3 4 mm m bbmmtt t bmtt 如果 1 2 mm m bb b 是数列 n b中的项 设为第 0 m项 则有 0 2 4 3 4 6 tm t 那么 2 3t t 为小于等于 5 的整数 所以 2 1 1 2 t 4 当1t 或2t 时 2 36t t 不合题意 当1t 或2t 时 2 30t t 符合题意 第 9 页 共 19 页 所以 当1t 或2t 时 即5m 或6m 时 1 2 mm m bb b 是数列 n b中的项 4 20 本题满分 14 分 如图 DC垂直平面ABC 90BAC 1 2 ACBCkCD 点 E在BD上 且3BEED 求证 AEBC 若二面角BAEC 的大小为120 求k的值 20 解 解 过 E 点作EFBC 与点 F 连 AF 于是 EFDC 所以EFABC 平面 又BCABC 平面 所以EFBC 又90BAC 1 2 ACBC 所以30ABF 所以 3 2 ABBC 3 4 BEBF BDBC 3 4 BFBC 所以 3 2 BFAB ABBC 所以BAF 与BCA 相似 所以90BFA 即AFBC 又AFEFF 于是BCAEF 平面 又AEAEF 平面 所以BCAE 6 解法一 空间向量法 解法一 空间向量法 如右图 以 F 为原点 FA 为 x 轴 FC 为 y 轴 FE 为 z 轴 建立空间直角坐标系 则 3 0 0 2 A 3 0 0 2 B 1 0 0 2 C 3 0 0 4 E k 于是 33 0 24 AE k 3 1 0 22 AC 33 0 22 AB 设平面 ABE 的法向量为 1111 nx y z 则 1 2 0 0 AB n AE n 于是 11 11 33 0 22 33 0 24 xy xz k 令 1 1z 得 11 31 22 xy kk 得 1 31 1 22 n kk 设平面 ACE 的法向量为 2222 nxyz 1 2 0 0 AC n AE n 于是 22 22 31 0 22 33 0 24 xy xz k 令 2 1z 得 22 33 22 xy kk 得 1 33 1 22 n kk 第 10 页 共 19 页 y 2 x B A O T 第 21 题 12 12 22 1 cos120 31 11 nn nn kk 解得 213 3 k 8 解法二 综合几何法 解法二 综合几何法 过 F 作FGAE 于 G 点 连 GC GB 由AEBC 可得AEBCG 平面 所以 AECG AEBG 所以BGC 为 B AE C 的平面角 设 AC 1 则 33 24 AFEF k 所以 2 3 2 34 GF k 于是 2 2 1 3 34 k GB k 2 2 3 34 k GC k 于是由 222 cos120 2 BGCGBC BG CG 得到 213 3 k 8 21 本题满分 15 分 设点P为圆 22 1 2Cxy 上的动点 过点P作x轴的垂线 垂足 为Q 动点M满足2MQPQ 其中P Q不重合 求点M的轨迹 2 C的方程 过直线2x 上的动点T作圆 1 C的两条切线 设切点分 别为 A B 若直线AB与 中的曲线 2 C交于 C D两 点 求 AB CD 的取值范围 21 解 解 设点 M x y 由2 MQPQ 得 2 P xy 由于点 P 在 22 1 2Cxy 上 则 22 22xy 即 M 的轨迹方程为 2 2 1 2 x y 4 第 11 页 共 19 页 设点 2 Tt 1122 A xyB xy 则 AT BT 的方程为 11 2x xy y 22 2x xy y 又点 2 Tt 在 AT BT 上 则有 11 22xty 22 22xty 由 知 AB 的方程为 22xty 3 设点 1122 C x yD xy 则圆心 O 到 AB 的距离 2 2 4 d t 2 22 2 24 22 4 t ABrd t 又由 2 2 22 1 2 xty x y 得 22 8 440tyty 于是 12 2 4 8 t yy t 12 2 4 8 y y t 于是 222 12 2 2428 1 48 ttt CDyy t 于是 22 22 8 2 4 4 ABtt CD tt 3 设 2 4ts 则4s 于是 32 33 632632 1 ABss CDsss 设 11 0 4 m m s 于 是 3 1632 AB mm CD 设 3 1632f mmm 2 696fmm 令 0fm 得 4 1 m 得 mf在 4 1 0 上单调递增 故 2 1 mf 即 AB CD 的范围为 1 2 5 22 本题满分 15 分 设函数 b f xaxa bR x 若 f x在点 1 1 f处的切线斜率为 1 用a表示b 设 ln g xxf x 若 1g x 对定义域内的x恒成立 求实数a的取值范围 对任意的 0 2 证明 1sin 1sin gg 22 解 解 2 b fxa x 依题意有 2 1 11 b faabba x 2 第 12 页 共 19 页 1 ln ln 1 a g xxf xxax x 恒成立 1g x 恒成立即 max 1g x 方法一 方法一 1g x 恒成立 则 1 11 101gaaa 当1a 时 22 1 1 1 1 1 1 01 1 a xx axax a g xxx xxa 1 10 x a 2 0 0 x g 则 0 1 x 0g x g x单调递增 当 1 x 0g x g x 单调递减 则 max 1 121g xga 符合题意 即 1g x 恒成立 实数a的取值范围为1a 6 方法二 方法二 2 222 111 1 1 aaxxaaxax g xa xxxx 当0a 时 2 1 x g x x 0 1 x 0g x g x单调递减 当 1 x 0g x g x单调递增 则 max 1 1g xg 不符题意 当0a 时 22 1 1 1 1 1 1 01 1 a xx axax a g xxx xxa 1 若0a 1 10 a 0 1 x 0g x g x单调递减 当 1 x 0g x g x 单调递增 则 max 1 1211g xgaa 矛盾 不符题意 2 若0a 若 1 0 2 a 1 11 a 0 1 x 0g x g x单调递减 不符题意 若 1 1 2 a 1 011 a 1 0 1 x a 0g x g x单调递减 不符题意 11 1 ln 1 10g aa 矛盾 若1a 1 10 a 0 1 x 0g x g x单调递增 当 1 x 0g x g x 单调递减 则 max 1 121g xga 符合题意 综上 得 1g x 恒成立 实数a的取值范围为1a 6 由 知 1g x 恒成立 实数a的取值范围为1a 方法一 方法一 令sin 0 1 t 考虑函数 11 1 1 ln 1 1 ln 1 1 11 aa P tgtgttattat tt 22222 1111211 22 1 11 1 1 1 1 1 aa P taaa ttttttt 第 13 页 共 19 页 下证明 0P t 即证 222 211 2 1 0 1 1 1 aa ttt 即证明 2 222 11 1 0 1 1 1 t aa ttt 由 2 1 1 1t 即证 2 22 1 1 1 0 1 1 t aa tt 又10a 只需证 2 22 1 10 1 1 t tt 即证 2224222 1 1 1 30 3 0ttttttt 显然成立 即 p t在 0 1 t 单调递增 min 0 0p tp 则 0p t 得 1 1 gtgt 成立 则对任意的 0 2 1sin 1sin gg 成立 7 方法二 方法二 考虑函数 11 1sin 1sin ln 1sin 1sin ln 1sin 1sin 1sin1sin aa hggaa 1sin11 ln2 sin 1sin1sin1sin aa a 1sin11 ln2 sin 1 1sin1sin1sin aa 2 1sin2 ln2 sin 1 1sin1sin aa 2011 学年浙江省第二次五校联考学年浙江省第二次五校联考 数学 理科 答案数学 理科 答案 第 14 页 共 19 页 一 选择题 一 选择题 题号题号 12345678910 答案答案DDCBADABAC 二 填空题 二 填空题 11 5 12 10 13 5 14 230 xyz 15 35 4 16 107 27 17 16 33 三 解答题 三 解答题 18 解 解 因为 a b c 成等比数列 则 2 bac 由正弦定理得 2 sinsinsinBAC 又 3 sinsin 4 AC 所以 2 3 sin 4 B 因为 sinB 0 则 3 sin 2 B 4 因为 B 0 所以 B 3 或 2 3 又 2 bac 则ba 或bc 即 b 不是 ABC 的最大边 故 3 B 3 因为 3 B 则 sin sinsin coscos sinsin 333 f xxxxxx 33 sincos3sin 226 xxx 4 0 x 则 5 666 x 所以 1 sin 1 62 x 故函数 f x的值域是 3 3 2 3 19 解 解 设 n a的公比为q 则有 2 1 11 81 228 aq q aa q 或 1 2 q 舍 则 1 2 8 32a q 16 1 32 2 2 nn n a 6 22 4log4log 2424 n nn ban 第 15 页 共 19 页 即数列 n a和 n b的通项公式为 16 1 32 2 2 nn n a 424 n bn 6 1 2 244 204 4 6 5 164 4 mm m bbmmmm bmm 令4 3 tm ttZ 所以 1 2 4 6 5 4 2 1 2 4 3 4 mm m bbmmtt t bmtt 如果 1 2 mm m bb b 是数列 n b中的项 设为第 0 m项 则有 0 2 4 3 4 6 tm t 那么 2 3t t 为小于等于 5 的整数 所以 2 1 1 2 t 4 当1t 或2t 时 2 36t t 不合题意 当1t 或2t 时 2 30t t 符合题意 所以 当1t 或2t 时 即5m 或6m 时 1 2 mm m bb b 是数列 n b中的项 4 20 解 解 过 E 点作EFBC 与点 F 连 AF 于是 EFDC 所以EFABC 平面 又BCABC 平面 所以EFBC 又90BAC 1 2 ACBC 所以30ABF 所以 3 2 ABBC 3 4 BEBF BDBC 3 4 BFBC 所以 3 2 BFAB ABBC 所以BAF 与BCA 相似 所以90BFA 即AFBC 又AFEFF 于是BCAEF 平面 又AEAEF 平面 所以BCAE 6 解法一 空间向量法 解法一 空间向量法 如右图 以 F 为原点 FA 为 x 轴 FC 为 y 轴 FE 为 z 轴 建立空间直角坐标系 则 3 0 0 2 A 3 0 0 2 B 1 0 0 2 C 3 0 0 4 E k 于是 33 0 24 AE k 3 1 0 22 AC 33 0 22 AB 设平面 ABE 的法向量为 1111 nx y z 则 1 2 0 0 AB n AE n 于是 11 11 33 0 22 33 0 24 xy xz k 令 1 1z 得 11 31 22 xy kk 得 1 31 1 22 n kk 第 16 页 共 19 页 设平面 ACE 的法向量为 2222 nxyz 1 2 0 0 AC n AE n 于是 22 22 31 0 22 33 0 24 xy xz k 令 2 1z 得 22 33 22 xy kk 得 1 33 1 22 n kk 12 12 22 1 cos120 31 11 nn nn kk 解得 213 3 k 8 解法二 综合几何法 解法二 综合几何法 过 F 作FGAE 于 G 点 连 GC GB 由AEBC 可得AEBCG 平面 所以 AECG AEBG 所以BGC 为 B AE C 的平面角 设 AC 1 则 33 24 AFEF k 所以 2 3 2 34 GF k 于是 2 2 1 3 34 k GB k 2 2 3 34 k GC k 于是由 222 cos120 2 BGCGBC BG CG 得到 213 3 k 8 21 解 解 设点 M x y 由2 MQPQ 得 2 P xy 由于点 P 在 22 1 2Cxy 上 则 22 22xy 即 M 的轨迹方程为 2 2 1 2 x y 4 设点 2 Tt 1122 A xyB xy 则 AT BT 的方程为 11 2x xy y 22 2x xy y 又点 2 Tt 在 AT BT 上 则有 11 22xty 22 22xty 由 知 AB 的方程为 22xty 3 设点 1122 C x yD xy 则圆心 O 到 AB 的距离 2 2 4 d t 第 17 页 共 19 页 2 22 2 24 22 4 t ABrd t 又由 2 2 22 1 2 xty x y 得 22 8 440tyty 于是 12 2 4 8 t yy t 12 2 4 8 y y t 于是 222 12 2 2428 1 48 ttt CDyy t 于是 22 22 8 2 4 4 ABtt CD tt 3 设 2 4ts 则4s 于是 32 33 632632 1 ABss CDsss 设 11 0 4 m m s 于 是 3 1632 AB mm CD 设 3 1632f mmm 2 696fmm 令 0fm 得 4 1 m 得 mf在 4 1 0 上单调递增 故 2 1 mf 即 AB CD 的范围为 1 2 5 22 解 解 2 b fxa x 依题意有 2 1 11 b faabba x 2 1 ln ln 1 a g xxf xxax x 恒成立 1g x 恒成立即 max 1g x 方法一 方法一 1g x 恒成立 则 1 11 101gaaa 当1a 时 22 1 1 1 1 1 1 01 1 a xx axax a g xxx xxa 1 10