高考文科数学向量专题讲解及高考真题精选(含答案)

精品文档 1欢迎下载 向向 量量 1 向量的概念 1 向量的基本要素 大小和方向 2 向量的表示 几何表示法 AB 字母表示 a a 坐标表示法 a a j j 3 向量的长度 即向量的大小 记作 a a 4 特殊的向量 零向量a a O O a a O O 单位向量a aO为单位向量 a aO 1 5 相等的向量 大小相等 方向相同 1 1 2 2 21 21 yy xx 6 相反向量 a a b b b b a a a a b b 0 0 7 平行向量 共线向量 方向相同或相反的向量 称为平行向量 记作a a b b 平行向量也称为共线向量 2 向量的运算 运算类型几何方法坐标方法运算性质 向量的 加法 1 平行四边形法则 2 三角形法则 1212 abxxyy abba abcabc ACBCAB 向量的 减法 三角形法则 1212 abxxyy abab ABBA ABOAOB 数 乘 向 量 1 a 是一个向量 满足 aa 2 0 时 aa 与同向 0 时 aa 与异向 0 时 0a axy aa aaa abab abab 向 量 的 数 量 积 a b 是一个数 1 00ab 或时 0a b 2 00 cos ab a ba ba b A 且时 1212 a bx xy y a bb a ababa b abca cb c 2 222 aaaxy 即 a ba b 精品文档 2欢迎下载 3 向量加法运算 三角形法则的特点 首尾相连 平行四边形法则的特点 共起点 三角形不等式 ababab 运算性质 交换律 abba 结合律 abcabc 00aaa 坐标运算 设 11 ax y 22 bxy 则 1212 abxxyy 4 向量减法运算 三角形法则的特点 共起点 连终点 方向指向被减向量 坐标运算 设 11 ax y 22 bxy 则 1212 abxxyy 设 两点的坐标分别为 则 A 11 x y 22 xy 1212 xxyyA 5 向量数乘运算 实数与向量的积是一个向量的运算叫做向量的数乘 记作 a a aa 当时 的方向与的方向相同 当时 的方向与的方向相反 当时 0 a a 0 a a 0 0a 运算律 aa aaa abab 坐标运算 设 则 ax y ax yxy 6 向量共线定理 向量与共线 当且仅当有唯一一个实数 使 0a a b ba 设 其中 则当且仅当时 向量 共线 11 ax y 22 bxy 0b 1221 0 x yx y a 0b b 7 平面向量基本定理 如果 是同一平面内的两个不共线向量 那么对于这一平面内的任意向量 1 e 2 e a 有且只有一对实数 使 不共线的向量 作为这一平面内所有向量的一组 1 2 1 122 aee 1 e 2 e 基底 b a C A abCC A A 精品文档 3欢迎下载 8 分点坐标公式 设点是线段上的一点 的坐标分别是 当 12 1 2 11 x y 22 xy 时 点的坐标是 当 12 1212 11 xxyy 时 就为中点公式 1 9 平面向量的数量积 零向量与任一向量的数量积为 cos0 0 0180a ba bab 0 性质 设和都是非零向量 则 当与同向时 当与a b 0aba b a b a ba b a 反向时 或 b a ba b 2 2 a aaa aa a a ba b 运算律 a bb a aba bab abca cb c 坐标运算 设两个非零向量 则 11 ax y 22 bxy 1212 a bx xy y 若 则 或 设 则 ax y 2 22 axy 22 axy 11 ax y 22 bxy 1212 0abx xy y 设 都是非零向量 是与的夹角 则a b 11 ax y 22 bxy a b 1212 2222 1122 cos x xy ya b a bxyxy 线段的定比分点公式 和 0 1 设 或 且的坐标分别是 则 P1P PP2 P2P 1 P 1 P 21 PPP 2211 yxyxyx 12 12 1 1 yy y xx x 推广 1 当时 得线段的中点公式 1 21P P 12 12 2 2 yy y xx x 推广 2 则 对应终点向量 MB AM 1 PBPA PM 三角形重心坐标公式 ABC的顶点 重心坐标 332211 yxCyxByxA yxG 123 123 3 3 xxx x yyy y 注意 在 ABC 中 若 0 为重心 则 这是充要条件 0 OCOBOA 平移公式 若点P按向量 平移到P 则 yx a kh y x kyy hxx A B P M 精品文档 4欢迎下载 4 1 正弦定理 设 ABC的三边为a b c 所对的角为A B C 则 R C c B b A a 2 sinsinsin 2 余弦定理 3 正切定理 Cababc Baccab Abccba cos2 cos2 cos2 222 222 222 2 tan 2 tan BA BA ba ba 4 三角形面积计算公式 设 ABC的三边为a b c 其高分别为ha hb hc 半周长为P 外接圆 内切圆的半径为R r S 1 2aha 1 2bhb 1 2chc S Pr S abc 4R S 1 2sinC ab 1 2ac sinB 1 2cb sinA S 海伦公式 cPbPaPP S 1 2 b c a ra 如下图 1 2 b a c rc 1 2 a c b rb 注 到三角形三边的距离相等的点有 4 个 一个是内心 其余 3 个是旁心 如图 图 1 中的I为S ABC的内心 S Pr 图 2 中的I为S ABC的一个旁心 S 1 2 b c a ra 图1 图2图3图4 附 三角形的五个 心 重心 三角形三条中线交点 外心 三角形三边垂直平分线相交于一点 内心 三角形三内角的平分线相交于一点 垂心 三角形三边上的高相交于一点 旁心 三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点 5 已知 O是 ABC 的内切圆 若BC a AC b AB c 注 s为 ABC的半周长 即 则 2 cba AE 1 2 b c a as BN 1 2 a c b bs FC 1 2 a b c cs 综合上述 由已知得 一个角的邻边的切线长 等于半周长减去对边 如图 4 A B C O a b c I A B C D E F I A B C D E F ra ra ra bc a a b c A C B N E F D A C B 5 精品文档 5欢迎下载 特例 已知在Rt ABC c为斜边 则内切圆半径r 如图 3 cba abcba 2 6 在 ABC 中 有下列等式成立 CBACBAtantantantantantan 证明 因为所以 所以 结论 CBA CBA tantanC BA BA tan tantan1 tantan 7 在 ABC中 D是BC上任意一点 则 DCBD BC BCABBDAC AD 22 2 证明 在 ABCD中 由余弦定理 有 BBDABBDABADcos2 222 在 ABC 中 由余弦定理有 BCAB ACBCAB B 2 cos 222 代入 化简可得 斯德瓦定理 DCBD BC BCABBDAC AD 22 2 若AD是BC上的中线 222 22 2 1 acbma 若AD是 A的平分线 其中为半周长 appbc cb ta 2 p 若AD是BC上的高 其中为半周长 cpbpapp a ha 2 p 8 ABC 的判定 ABC为直角 A B 222 bac 2 ABC为钝角 A B 2 c 22 ba 2 ABC为锐角 A B 2 c 22 ba 2 附 证明 得在钝角 ABC中 ab cba C 2 cos 222 222222 00coscbacbaC 9 平行四边形对角线定理 对角线的平方和等于四边的平方和 2 2222 bababa 09 1309 13 高考真题高考真题 09 7 函数的图像 F 按向量 a 平移到 F F 的解析式 y f x 当 y f x 为奇函数时 2 6 2cos xy 向量 a 可以等于 A B C D 2 6 2 6 2 6 2 6 答案 D 09 1 若向量 a 1 1 b 1 1 c 4 2 则 c A 3a b B 3a b C a 3b D a 3b 答案 B 精品文档 6欢迎下载 10 8 已知和点 M 满足 若存在实使得成立 则 BABC 0MAMBMC mAMACmAM m A 2B 3C 4D 5 11 2 若向量 则与的夹角等于 2 1 a 1 1 bba 2ba A B C D 4 6 4 4 3 详细解析 分别求出与的坐标 再求出 带入公式求夹角 2 ab abab 考