高等数学上册公式整合

精品文档 1欢迎下载 高等数学公式 导数公式 导数公式 基本积分表 基本积分表 三角函数的有理式积分 三角函数的有理式积分 22 2 2 1 2 21 1 cos 1 2 sin u du dx x tgu u u x u u x ax x aaa ctgxxx tgxxx xctgx xtgx a xx ln 1 log ln csc csc sec sec csc sec 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 arccos 1 1 arcsin x arcctgx x arctgx x x x x Caxx ax dx Cshxchxdx Cchxshxdx C a a dxa Cxctgxdxx Cxdxtgxx Cctgxxdx x dx Ctgxxdx x dx x x ln ln csccsc secsec csc sin sec cos 22 22 2 2 2 2 C a x xa dx C xa xa axa dx C ax ax aax dx C a x arctg axa dx Cctgxxxdx Ctgxxxdx Cxctgxdx Cxtgxdx arcsin ln 2 1 ln 2 1 1 csclncsc seclnsec sinln cosln 22 22 22 22 C a xa xa x dxxa Caxx a ax x dxax Caxx a ax x dxax I n n xdxxdxI n nn n arcsin 22 ln 22 ln 22 1 cossin 2 2222 22 2 2222 22 2 2222 2 2 0 2 0 精品文档 2欢迎下载 一些初等函数 一些初等函数 两个重要极限 两个重要极限 三角函数公式 三角函数公式 诱导公式 诱导公式 函数 角 A sincostgctg sin cos tg ctg 90 cos sin ctg tg 90 cos sin ctg tg 180 sin cos tg ctg 180 sin cos tg ctg 270 cos sin ctg tg 270 cos sin ctg tg 360 sin cos tg ctg 360 sin cos tg ctg 和差角公式 和差角公式 和差化积公式 和差化积公式 2 sin 2 sin2coscos 2 cos 2 cos2coscos 2 sin 2 cos2sinsin 2 cos 2 sin2sinsin ctgctg ctgctg ctg tgtg tgtg tg 1 1 sinsincoscos cos sincoscossin sin x x arthx xxarchx xxarshx ee ee chx shx thx ee chx ee shx xx xx xx xx 1 1 ln 2 1 1ln 1ln 2 2 2 2 双曲正切 双曲余弦 双曲正弦 590457182818284 2 1 1 lim 1 sin lim 0 e x x x x x x 精品文档 3欢迎下载 倍角公式 倍角公式 半角公式 半角公式 cos1 sin sin cos1 cos1 cos1 2cos1 sin sin cos1 cos1 cos1 2 2 cos1 2 cos 2 cos1 2 sin ctgtg 正弦定理 正弦定理 余弦定理 余弦定理 R C c B b A a 2 sinsinsin Cabbaccos2 222 反三角函数性质 反三角函数性质 arcctgxarctgxxx 2 arccos 2 arcsin 高阶导数公式高阶导数公式 莱布尼兹 莱布尼兹 LeibnizLeibniz 公式 公式 2 1 0 1 1 2 1 nkknnnn n k kknk n n uvvu k knnn vu nn vnuvu vuCuv 中值定理与导数应用 中值定理与导数应用 拉格朗日中值定理 时 柯西中值定理就是当 柯西中值定理 拉格朗日中值定理 xx F f aFbF afbf abfafbf F 曲率 曲率 1 0 1 limM sMM 1 320 2 a Ka K y y ds d s K MM s K tgydxyds s 的圆 半径为 直线 点的曲率 弧长 化量 点 切线斜率的倾角变点到从平均曲率 其中弧微分公式 定积分的近似计算 定积分的近似计算 2 3 3 3 31 3 3 cos3cos43cos sin4sin33sin tg tgtg tg 2 2 2222 1 2 2 2 1 2 sincossin211cos22cos cossin22sin tg tg tg ctg ctg ctg 精品文档 4欢迎下载 b a nnn b a nn b a n yyyyyyyy n ab xf yyyy n ab xf yyy n ab xf 4 2 3 2 1 1312420 110 110 抛物线法 梯形法 矩形法 定积分应用相关公式 定积分应用相关公式 b a b a dttf ab dxxf ab y k r mm kF ApF sFW 1 1 2 2 21 均方根 函数的平均值 为引力系数引力 水压力 功 空间解析几何和向量代数 空间解析几何和向量代数 代表平行六面体的体积 为锐角时 向量的混合积 例 线速度 两向量之间的夹角 是一个数量 轴的夹角 与是向量在轴上的投影 点的距离 空间 cos sin cos cos PrPr Pr cosPr 2 222222 2121 2 12 2 12 2 1221 cba ccc bbb aaa cbacba rwvbac bbb aaa kji bac bbbaaa bababa bababababa a ja jaaj uABABABj zzyyxxMMd zyx zyx zyx zyx zyx zyxzyx zzyyxx zzyyxx u u 精品文档 5欢迎下载 马鞍面 双叶双曲面 单叶双曲面 双曲面 同号 抛物面 椭球面 二次曲面 参数方程 其中空间直线的方程 面的距离 平面外任意一点到该平 截距世方程 一般方程 其中 点法式 平面的方程 1 1 3 22 2 11 13 02 0 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 0 0 0 000 222 000 0000000 c z b y a x c z b y a x qpz q y p x c z b y a x ptzz ntyy mtxx pnmst p zz n yy m xx CBA DCzByAx d c z b y a x DCzByAx zyxMCBAnzzCyyBxxA 多元函数微分法及应用多元函数微分法及应用 z y z x y x y x y x yx F F y z F F x z zyxF dx dy F F yF F xdx yd F F dx dy yxF dy y v dx x v dvdy y u dx x u du yxvvyxuu x v v z x u u z x z yxvyxufz t v v z t u u z dt dz tvtufz yyxfxyxfdzz dz z u dy y u dx x u dudy y z dx x z dz 隐函数 隐函数 隐函数的求导公式 时 当 多元复合函数的求导法 全微分的近似计算 全微分 0 0 2 2 精品文档 6欢迎下载 1 1 1 1 0 0 yu GF Jy v vy GF Jy u xu GF Jx v vx GF Jx u GG FF v G u G v F u F vu GF J vuyxG vuyxF vu vu 隐函数方程组 微分法在几何上的应用 微分法在几何上的应用 3 0 2 1 0 0 0 0 000 0 000 0 000 0 000000000000 000000000 000 000000 0 0 0 0 0 0 000 zyxF zz zyxF yy zyxF xx zzzyxFyyzyxFxxzyxF zyxFzyxFzyxFn zyxMzyxF GG FF GG FF GG FF T zyxG zyxF zztyytxxtM t zz t yy t xx zyxM tz ty tx zyx zyx zyx yx yx xz xz zy zy 过此点的法线方程 过此点的切平面方程 过此点的法向量 则 上一点曲面 则切向量若空间曲线方程为 处的法平面方程 在点 处的切线方程 在点空间曲线 方向导数与梯度 方向导数与梯度 上的投影 在是 单位向量 方向上的 为 其中 它与方向导数的关系是 的梯度 在一点函数 的转角 轴到方向为其中 的方向导数为 沿任一方向在一点函数 lyxf l f ljieeyxf l f j y f i x f yxfyxpyxfz lx y f x f l f lyxpyxfz grad sincos grad grad sincos 多元函数的极值及其求法 多元函数的极值及其求法 不确定时 值时 无极 为极小值 为极大值 时 则 令 设 0 0 0 0 0 0 2 2 00 002 0000000000 BAC BAC yxA yxA BAC CyxfByxfAyxfyxfyxf yyxyxxyx 精品文档 7欢迎下载 重积分及其应用 重积分及其应用 D z D y D x zyx D y D x D D y D x D DD ayx xdyx faF ayx ydyx fF ayx xdyx fF FFFFaaMzxoy dyxxIydyxyIx dyx dyxy M M y dyx dyxx M M x dxdy y z x z Ayxfz rdrdrrfdxdyyxf 2 3 222 2 3 222 2 3 222 22 D 2 2 0 0 0 1 sin cos 其中 的引力 轴上质点平面 对平面薄片 位于 轴 对于轴对于平面薄片的转动惯量 平面薄片的重心 的面积曲面 柱面坐标和球面坐标 柱面坐标和球面坐标 dvyxIdvzxIdvzyI dvxMdvz M zdvy M ydvx M x drrrFddddrdrrFdxdydzzyxf ddrdrdrdrrddv rz ry rx zrrfzrF dzrdrdzrFdxdydzzyxf zz ry rx zyx r 1 1 1 sin sin sinsin cos sinsin cossin sin cos sin cos 222222 2 00 0 22 2 转动惯量 其中 重心 球面坐标 其中 柱面坐标 曲线积分 曲线积分 22 ty tx dtttttfdsyxf t ty tx LLyxf L 特殊情况 则 的参数方程为 上连续 在设 长的曲线积分 第一类曲线积分 对弧 精品文档 8欢迎下载 通常设 的全微分 其中 才是二元函数时 在 二元函数的全微分求积 注意方向相反 减去对此奇点的积分 应 注意奇点 如 且内具有一阶连续偏导数在 是一个单连通区域 无关的条件 平面上曲线积分与路径 的面积 时 得到 即 当 格林公式 格林公式 的方向角 上积分起止点处切向量 分别为和 其中系 两类曲线积分之间的关 则 的参数方程为设 标的曲线积分 第二类曲线积分 对坐 0 0 0 2 1 2 1 2 coscos 00 00 yxdyyxQdxyxPyxu yxuQdyPdx y P x Q y P x Q GyxQyxP G ydxxdydxdyAD y P x Q xQyP QdyPdxdxdy y P x Q QdyPdxdxdy y P x Q L dsQPQdyPdx dttttQtttPdyyxQdxyxP ty tx L yx yx DL DLDL LL L 曲面积分 曲面积分 dsRQPRdxdyQdzdxPdydz dzdxzxzyxQdzdxzyxQ dydzzyzyxPdydzzyxP dxdyyxzyxRdxdyzyxR dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP dxdyyxzyxzyxzyxfdszyxf zx yz xy xy D D D D yx coscoscos 1 22 系 两类曲面积分之间的关 号 取曲面的右侧时取正 号 取曲面的前侧时取正 号 取曲面的上侧时取正 其中 对坐标的曲面积分 对面积的曲面积分 高斯公式 高斯公式 精品文档 9欢迎下载 dsAdvA dsRQPdsAdsnA z R y Q x P dsRQPRdxdyQdzdxPdydzdv z R y Q x P n n div coscoscos 0div div coscoscos 成 因此 高斯公式又可写 通量 则为消失的流体质量 若即 单位体积内所产生散度 通量与散度 高斯公式的物理意义 斯托克斯公式斯托克斯公式 曲线积分与曲面积分的关系 曲线积分与曲面积分的关系 dstARdzQdyPdxA RQP zyx A y P x Q x R z P z Q y R RQP zyx RQP zyx dxdydzdxdydz RdzQdyPdxdxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R 的环流量 沿有向闭曲线向量场 旋度 关的条件 空间曲线积分与路径无 上式左端又可写成 kji rot coscoscos 常数项级数 常数项级数 是发散的调和级数 等差数列 等比数列 n nn n q q qqq n n 1 3 1 2 1 1 2 1 321 1 1 1 12 级数审敛法 级数审敛法 精品文档 10欢迎下载 散 存在 则收敛 否则发 定义法 时 不确定 时 级数发散 时 级数收敛 则设 比值审敛法 时 不确定 时 级数发散 时 级数收敛 则设 别法 根植审敛法 柯西判 正项级数的审敛法 n n nn n n n n n n suuus U U u lim 3 1 1 1 lim 2 1 1 1 lim 1 21 1 的绝对值其余项 那么级数收敛且其和如果交错级数满足 莱布尼兹定理 的审敛法或交错级数 11 1 3214321 0lim 0 nnn n n nn n urrus u uu uuuuuuuu 绝对收敛与条件收敛 绝对收敛与条件收敛 时收敛 时发散 级数 收敛 级数 收敛 发散 而调和级数 为条件收敛级数 收敛 则称发散 而如果 收敛级数 肯定收敛 且称为绝对收敛 则如果 为任意实数 其中 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 2 1 2 321 21 pn p n nn uuuu uuuu p n n nn 幂级数 幂级数 0 0 1 0 3 lim 3 1 1 1 1 1 1 1 2 210 32 R R R aa a a R Rx Rx Rx R xaxaxaa x x x xxxx nn n n n n n n 时 时 时 的系数 则是 其中求收敛半径的方法 设 称为收敛半径 其中 时不定 时发散 时收敛 使在数轴上都收敛 则必存 收敛 也不是在全 如果它不是仅在原点 对于级数 时 发散 时 收敛于 精品文档 11欢迎下载 函数展开成幂级数 函数展开成幂级数 n n n n n n n n n x n f x f xffxfx Rxfxx n f R xx n xf xx xf xxxfxf 0 2 0 0 0 0 0lim 1 2 2 0 1 0 1 0 0 2 0 0 00 时即为麦克劳林公式 充要条件是 可以展开成泰勒级数的余项 函数展开成泰勒级数 一些函数展开成幂级数 一些函数展开成幂级数 12 1 5 3 sin 11 1 1 2 1 1 1 12 1 53 2 x n xxx xx xx n nmmm x mm mxx n n nm 欧拉公式 欧拉公式 2 sin 2 cos sincos ixix ixix ix ee x ee x xixe 或 三角级数 三角级数 上的积分 在任意两个不同项的乘积正交性 其中 0 cos sin2cos 2sin cos sin 1 cossin sincos 2 sin 00 1 0 1 0 nxnxxxxx xtAbAaaAa nxbnxa a tnAAtf nnnnnn n nn n nn 傅立叶级数 傅立叶级数 是偶函数 余弦级数 是奇函数 正弦级数 相减 相加 其中 周期 nxa a xfnnxdxxfab nxbxfnxdxxfba nnxdxxfb nnxdxxfa nxbnxa a xf nnn nnn n n n nn cos 2 2 1 0cos 2 0 sin 3 2 1nsin 2 0 124 1 3 1 2 1 1 64 1 3 1 2 1 1 246 1 4 1 2 1 85 1 3 1 1 3 2 1 sin 1 2 1 0 cos 1 2 sincos 2 0 0 0 2 222 2 222 2 222 2 22 1 0 精品文档 12欢迎下载 周期为周期为的周期函数的傅立叶级数 的周期函数的傅立叶级数 l 2 精品文档 13欢迎下载 l l n l l n n nn ndx l xn xf l b ndx l xn xf l a l l xn b l xn a a xf 3 2 1 sin 1 2 1 0 cos 1 2 sincos 2 1 0 其中 周期 微分方程的相关概念 微分方程的相关概念 即得齐次方程通解 代替分离变量 积分后将 则设 的函数 解法 即写成程可以写成齐次方程 一阶微分方 称为隐式通解 得 的形式 解法 为 一阶微分方程可以化可分离变量的微分方程 或 一阶微分方程 u x y uu du x dx u dx du u dx du xu dx dy x y u x y yxyxf dx dy CxFyGdxxfdyyg dxxfdyyg dyyxQdxyxPyxfy 0 一阶线性微分方程 一阶线性微分方程 1 0 2 0 0 1 nyxQyxP dx dy eCdxexQyxQ CeyxQ xQyxP dx dy n dxxPdxxP dxxP 贝努力方程 时 为非齐次方程 当 为齐次方程 时当 一阶线性微分方程 全微分方程 全微分方程 通解 应该是该全微分方程的 其中 分方程 即 中左端是某函数的全微如果 Cyxu yxQ y u yxP x u dyyxQdxyxPyxdu dyyxQdxyxP 0 0 二阶微分方程 二阶微分方程 时为非齐次 时为齐次 0 0 2 2 xf xf xfyxQ dx dy xP dx yd 二阶常系数齐次线性微分方程及其解法 二阶常系数齐次线性微分方程及其解法 21 22 2 0 1 0 rr yyyrrqprr qpqyypy 式的两个根 求出 的系数 式中的系数及常数项恰好是 其中 写出特征方程 求解步骤 为常数 其中 式的通解 出的不同情况 按下表写 根据 3 21 rr 精品文档 14欢迎下载 的形式 21 rr 式的通解 两个不相等实根 04 2 qp xrxr ececy 21 21 两个相等实根 04 2 qp xr exccy 1 21 一对共轭复根 04 2 qp 2 4 2 2 21 pqp irir sincos 21 xcxcey x 二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程 型 为常数 型 为常数 sin cos xxPxxPexf xPexf qpxfqyypy nl x m x 第一篇 函数 连续 极限 精品文档 15欢迎下载 本章重点 热点及常考题型 特别注意 数一 二 三 四考查要求基本相同 属二级重点章 重点 热点 求极限 求函数的极限是每年的必考题 本章的另一块内容判断函数是否连续 其实质仍是求函数极限 所以本章只要抓住了极限就基本上把握了全章的核心内容 求极限的方法很多但在考试中常用的主 要有 1 利用极限的四则运算法则求极限 这是求极限的最基本知识 2 利用重要极限求极限 3 利用罗必达法则求极限 求关于函数的未定式的极限 4 利用无穷小替换 它往往在求极限的过程中使用能使问题简化 5 利用夹逼定理 6 利用单调有界准则 主要求通项由递推公式给出的极限 7 利用定积分定义 主要求通项是项和的数列的极限 n 8 利用导数定义求极限 主要用于已知条件中给出函数在一点可导求关于该函数的某个极限 9 利用连续函数的性质 这一条不会单独命题 但它常用在求极限的过程中 是求极限的基 础知识 10 利用极限与无穷小的关系 主要用于已知极限 求另一形式的极限 典型题型 典型题型一 求未定式的极限 典型的未定式共有七种 00 0 0 0 1 0 A 读者在遇到这七种未定式时 建议采用罗必达法则试一试 使用罗毕达法则时应注意 1 使用 罗毕达法则时 要先判定是否为或 2 在使用法则前应先化简 3 当 0 0 不存在 或非 时 不能推出不存在 4 当时 若式子中含有 0 lim x xx fx g x 0 lim x xx f x g x x 或时 式子中含有 则不宜使用罗毕达法则 cos sinxx0 x 11 cos sin xx 典型题型二 求非未定式的极限 这类题通常要利用函数的连续性 极限的四则运算法则 定积分定义 夹逼定理 无穷小性质来完 成 在近几年的考试中 求函数的极限还是绝大部分以求未定式函数的极限为主 典型题型三 无穷小的比较 无穷小的比较在近年来的考试中经常出现 解这类题的根本方法还是求极限 同样可用罗必达法则 泰劳展开式等求极限的方法考查 下面给出一些常用的等价无穷小 当时 0 x sin arcsin tan arctan xxxxxxxx ln 1 1 x xxex 2 1 1 cos 2 xx 1 1 xx 精品文档 16欢迎下载 典型题型四 判断函数的连续性与间断点的类型 此类题的实质是求函数的极限 这种题一般与函数的可导性连在一起 并且考到的知识点还包括变 上限积分函数的求导等 典型题型五 讨论函数在给定区间上的零点或方程在给定区间上有无实根 解这类题的关键是利用函数的性质 设在闭区间上连续 那么 f x a b 1 在上有界 f x a b 2 在上有最大 最小值 f x a b 3 若是介于间的任何一个数 则至少存在一点 使 f af bf af b a b f 4 若 则至少存在一点 使得 0f a f b a b 0f 典型题型六 求分段函数的复合函数 分段函数的复合要注意定义域 适用方法分析法 典型题型七 已知数列的前几项数值及通项表达式 求数列的极限 此类题利用单调有界准则求 求解程序 1 判断极限的存在性 单调性 有界性 方法可用数 学归纳法或不等式的放缩法 2 先令 然后在通项的两边取极限得出 的方程 求出lim n n xl l 的值 从而求得极限 llim n n x 典型题型八 分段函数中参数的确定 此类题的基本思路是 根据分段函数在分段点处的性质来确定所含常数的值 注意函数在一点存 在极限 在一点连续的充分必要条件 第二篇 一元函数微分学 本章重点 热点及常考题型 特别注意 该章内容数一 二 三 四都考 主要内容大同小异 请注意大纲的细微差别 属于一 级重点章 重点 热点 1 导数和微分的定义 掌握用导数定义讨论分段函数在分段点的可导性 注意可导与可微 可导 与连续的关系 2 基本初等函数的求导公式 微分公式 要熟记 及反函数 隐函数 参数方程确定的函数求 导数 3 罗尔定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 泰劳中值定理的应用 泰劳中值定理只有数一 数二考 4 用导数研究函数的形态 单调 极值 凹凸 拐点 渐近线 以及最值应用 典型题型 典型题型一 求函数导数或微分 包括高阶导数 高阶导数是常考问题 另外应注意隐函数 参 数方程确定的函数 反函数的求导 典型题型二 利用中值定理证明有关等式 精品文档 17欢迎下载 1 证明至少存在一点 使 a b 0 n f 一般思路 1 找的一个子区间 使 a b 12 x x 1 1 12 nn fxfx 2 对在区间上使用罗尔定理 1 n fx 12 x x 2 证明至少存在一点 使为的函数 a b f 一般思路 1 利用倒推法 或常数变易法 构造辅助函数 F x 2 找的一个子区间 使 a b 12 x x 12 F xF x 3 对在区间上使用罗尔定理 可得到所证结论 F x 12 x x 3 证明至少存在两点 满足某等式 a b 一般思路 1 将欲证结论化为一端只含 另一端只含的形状 2 根据含一端的形状 选择在区间上使用拉格朗日或柯西中值定理得到关于的一 a b 个关系式 3 根据含一端的形状 选择在区间上使用拉格朗日或柯西中值定理得到关于的一 a b 个关系式 4 结合 式可得欲证结论 4 证明至少存在一点 使 a b 0 n fk k 一般思路 1 构造辅助函数 F x 2 验证满足罗尔定理条件 F x 3 由罗尔定理得出所证结论 常用辅助函数的一般构造方法 1 将欲证结论中的换成 x 2 通过恒等变形将式子化为易于消去导数符号的形式 3 通过观察法或积分法求出原函数 即不含导数符号的式子 4 移项使等式一端为零 另一端为所求辅助函数 F x 5 如已知条件中出现了高阶导数 且知道最高阶导数连续这种等式的证明一般用泰劳公式完成 一般思路 精品文档 18欢迎下载 1 根据已知条件或欲证明的结论选取展开的点 如已知条件中给出了某点的导数值 0 x 或在区间内部某点取到最大或最小值 一般选此点为 0 x 2 将函数在点展开为阶泰劳公式一般取为比已知条件中的最高阶导数的阶数减一 0 xn n 的数值 3 利用展开式凑出结论 典型题三 证明不等式 1 证明代数不等式 一般用微分中值定理完成 2 证明函数不等式 一般用单调性完成 3 证明函数与数之间的不等式 一般用最大 最小值完成 5 如已知条件中出现了高阶导数 且给出了最高阶导数的取值范围 此类不等式的证明一般用泰 劳公式完成 典型题四 关于方程的根的讨论 1 证明方程在内至少有一个实根 a b 解这种题一般思路有两种 思路一 利用零点定理完成 1 构造辅助函数 将方程移项 一端为零 另一端全部为 F x F x 2 找的一个子区间 使 a b 12 x x 12 0F x F x 3 将在区间使用零点定理即可 F x 12 x x 思路二 利用罗尔定理完成 1 构造辅助函数 将方程移项 一端为零 则另一端的原函数为 F x F x 2 找的一个子区间 使 a b 12 x x 12 F xF x 3 对在区间上使用罗尔定理 可得到所证结论 F x 12 x x 说明 对此类题应先尝试 思路一 如不能解决问题再用 思路二 2 证明方程在内有唯一实根 a b 一般思路 1 先证明方程至少有一个实根 2 证明方程至多有一个实根 一般用单调性或用反证法 说明 对此类题一般是用零点定理证明至少有一个 用单调性证明至多有一个 3 讨论方程有几个实根 一般思路 1 构造辅助函数 将方程移项 一端为零 则另一端为 F x F x 2 求出函数的定义域 F x 精品文档 19欢迎下载 3 在定义域内求出和不存在的点 0F x F x 4 这些点将定义域分成许多小区间 在每一个小区间上利用零点定理判定方程是否有根 如有则只有一个 4 已知方程实根个数确定方程中参数的取值范围 一般思路 同上 典型题型五 利用导数研究函数的性态和描述函数的图形 应特别注意渐近线的求法 典型题型六 应用题 在几何 物理 经济等方面的应用 第三篇 一元函数积分学 本章重点 热点及常考题型 特别注意 该章内容对数一 二 三 四考查要求基本相同 属于一级重点章 重点 热点 1 定积分的概念 2 定积分与不定积分的换元积分法积分部积分法 3 积分等式与积分不等式的证明 在此应注意中值定理的理解和应用 4 运用定积分求弧长 求面积 求旋转体的体积 求变力沿直线做功 求静液侧压力 求引力 对于用定积分求面积 弧长 体积等的公式 读者当然要在理解的基础上熟记 请读者特别注意 此部分知识与切线 最大最小值结合的综合性的题 典型题型 典型题型一 计算不定积分 定积分及广义积分 做这类题最常用的方法是分部积分与换元积分法 应注意下面几点 1 关于换元积分法常见的几种情况及对策 如被积函数中含有 分别应作变量代换 222222 axaxxa sinxat 将根式去掉变成三角函数的积分 tanxat secxat 如被积函数是由所构成的代数式时 一般用指数代换来求解 x a x ta 如被积函数分子 分母的最高次数分别为且 此时一般可考虑用倒代换来 m n1nm 1 x t 解决 2 关于分部积分法常见的几种情况 下列式中为多项式 P x 如被积函数为 令 bx P x e bx uP xdve dx 如被积函数为 令 ln P xaxb ln uaxbP x dxdv 如被积函数为 令 arctan P xaxb arctan uaxbP x dxdv 如被积函数为 令 sin P xaxb sin uP xaxb dxdv 精品文档 20欢迎下载 如被积函数为 两种函数都可作 cos ax ecxb u 如被积函数中含抽象函数的导函数 一般用分部积分 抽象函数导函数与凑出 dxdv 如被积函数中含变上限的定积分 一般用分部积分 变上限的定积分作 u 另外值得注意 如果在考研的试题中见到被积函数中含有反三角函数或对数函数这种类型的积分一 般都是用分部积分来做的 其中反三角函数或对数函数应作 U 典型题型二 关于变上限定积分的题目 比如求导数 求极限等 变上限的积分求导数 求极限 都是利用变上限积分的求导公式 故应记住下列公式 1 设在上连续 则 都有 f x a b x a F xf t dt xa b F xf x 2 一般 m x n x d f t dtf m x m xf n x n x dx 典型题型三 关于积分等式的证明 1 仅知被积函数连续的积分等式的证明 此类题一般用换元积分法完成 注意 作何变量代换 主要是考察等式两边关于被积函数或其主要部分的形式来确定 例如一端的被积函数或其主要部分为 另一端为 则令 f x fu xu 若一端为 另一端为 则所作的变换通过分析等式两端的积分限去确定 若一端 f x f u 为 另一端为 由于 于是 令 而不是由 sin fx sin fu sin sin fufu xu 积分限来确定 2 积分限上含的积分等式的证明 此类题看成 证明方程至少有一个实根 这类题型 利用相应的方法来解决 3 被积函数中含抽象函数的导函数 或变上限的定积分的积分等式的证明 此类题一般采用分部积分法完成 4 已知条件中出现高阶导数 并求给出了最高阶导数连续的的积分等式的证明 此类题一般用泰劳公式完成 注意 做这类题时 需对变上限的定积分进行泰劳展开 展开成泰劳公式的的阶数为已知条件 中给出的最高阶导数的阶数 而变上限的定积分为把所证等式中的定积分的上限换成变量 x 典型题型四 关于积分不等式的证明 1 已知被积函数连续且单调的积分不等式的证明 此类题一般用 单调性 来完成 做题思路为 a 构造辅助函数 F x 构造辅助函数的一般方法为 将所证积分不等式中的积分上限换成变量 不等式中相应字母也x 变成 然后移项 使其一端为零 另一端即为 x F x b 判定的单调性 F x 精品文档 21欢迎下载 c 计算在某点的函数值 得到所证不等式 F x 注意 对仅知道被积函数连续的积分不等式的证明一般也采用此方法完成 2 如果所证明积分不等式的一端为积分的平方 即形如 或平方的积分 即形如 2 b a f t dt 2 b a fx dx 此类题一般用 柯西不等式来完成 柯西不等式为 其中 222 bbb aaa f x g x dxfx dxgx dx ab 3 如果已知被积函数可导 且被积函数在积分区间的某个端点上函数值为零的积分不等式的 证明 此类题一般用拉格朗日中值定理来完成 4 已知条件中给出了高阶导数 且给出了最高阶导数的取值范围的积分不等式的证明 此类题一般用泰劳公式来完成 需对被积函数进行泰劳展开 典型题型五 关于积分中值定理的证明题 关于这种类型的证明题 主要是对积分中值定理运用的考查 这类题一般容易解决 典型题六 利用定积分求面积 旋转体体积及引力 功等物理量 这一类题应注意 微元法 的思想 记住一些常用公式 第四篇 空间解析几何 本章重点 热点及常考题型 特别注意 该章内容只适用于数学一的考生 属于非重点章 本章的重点是向量的运算 平面的各种方程 直线的各种方程 以及直线与直线 平面与平面 直线与平面之间的关系 本章需记住下面两个常用的公式 1 点到平面的距离 000 xyz0AxByCzD 000 222 AxByCzD d ABC 2 点到直线的距离 000 xyz 111 xxyyzz lmn 101010 222 ijk xxyyzz lmn d lmn 典型题型 典型题型一 求直线或平面的方程 典型题型二 确定直线与直线 直线与平面 平面与平面之间的关系 此类题多出现在选择题中 典型题三 求旋转曲面 柱面的方程 典型题四 与多元函数微分学在几何上的应用相结合的综合性的题 第五篇 多元函数微分学 精品文档 22欢迎下载 本章重点 热点及常考题型 特别注意 本章内容数一 二 三 四都考 属于一级重点章 重点 热点 1 多元函数偏导数和全微分的概念 2 偏导数和全微分的计算 特别是求复合函数的二阶偏导数及隐函数的偏导数 3 方向导数与梯度 只对数学一要求 4 多元函数微分在几何上的应用 只对数学一要求 5 多元函数极值和条件极值 典型题型 典型题型一 求函数的偏导数与全微分 求函数的偏导数 一般为一阶 二阶 主要是在二元 三元领域里 在对一个变量求偏导时 把其 余变量当作常数处理 典型题型二 求复合函数及隐函数的偏导数 1 复合函数求偏导数是近几年的典型考试题 解此类题需把握两点 a 借助函数的复合关系图 弄清变量之间的复合关系 b 在对其中一个自变量求偏导后 所得到的偏导函数仍然是复合函数 复合关系图与原函数 的复合关系图一致 2 隐函数求偏导数有两种情况 a 一个方程确定的隐函数 设由方程确定 则 zz x y 0F x y z 其中 y x zz F Fzz xFyF 0 z F b 方程组确定的隐函数 设确定隐函数 则 0 0 F x y u v G x y u v uu x yvv x y 可求得 从而 0 0 xyuv xyuv F dxF dyF duF dv G dxG dyG duG dv dum dxn dy dva dxb dy uu mn xy vv ab xy 典型题型三 求方向导数与梯度 若函数在点处可微 则函数在该点沿任一方向的方向导数都存在 且 zf x y 000 P xyl 00 0 PP z gradfl l 注意 梯度是一个向量 方向导数是一个数 方向导数就是梯度在向量上的投影 f l gradfl 而梯度的模就是在点的最大的方向导数 gradf f x y x y 精品文档 23欢迎下载 典型题型四 求空间曲线的切线与法平面方程 求空间曲面的切平面和法线方程 对此类题一般为多元函数微分学与上一篇向量代数与空间解析几何的综合题 除应记住空间曲线 在其上一点处的切向量 空间曲面在其上一点处的法向量的计算公式外应与前一篇结合在一起 n 复习 1 曲线在处的切向量 xx t yy t zz t 0 tt 000 x ty tz t 2 曲线上点处的切向量为 0 0 F x y z G x y z 0000 Mxyz 0 00 yzxyzx yzxyzx M MM FFFFFF GGGGGG 3 曲面上点处的法向量为 0F x y z 0000 Mxyz 000000000 xyz nF xyzF xyzF xyz 典型题型五 多元函数极值在几何 物理 经济领域中的应用题 常考综合性的题 极值应用题多要用到其它领域的知识 特别在经济学上的应用涉及到经济学的一些概念和规律 考 生在复习是应引起特别的注意 1 极值存在的必要条件 设函数在点处有极值 且偏导数存在 那么 zf x y 00 xy 0000 0 0 xy fxyfxy 2 极值存在的充分条件 设函数在点的某个邻域内连续 且有一阶 二阶连 zf x y 00 xy 续偏导数 点是函数的驻点 令 00 xy zf x y 则在点是否取得极值的条件如下 000000 xxxyyy fxyA fxyB fxyC f x y 00 xy a 时有极值 且是有极大值 时有极小值 2 0ACB 0A 0A b 时没有极值 2 0ACB c 时需进一步讨论 2 0ACB 3 条件极值的拉格朗日乘数法 在约束条件之下求目标函数的极值 0g x y z uf x y z a 构造拉格朗日函数 L x y zf x y zg x y z 精品文档 24欢迎下载 b 求驻点 解方程组从中求出 0 0 0 0 xxx yyy zzz Lfx y zgx y z Lfx y zgx y z Lfx y zgx y z Lg x y z x y z c 判断是否为极值点 注意 如有几个条件的约束 可设拉格朗日乘数为 12 第六篇 多元函数积分学 本章重点 热点及常考题型 特别注意 该章内容数一全考 数二 三 四考查要求较少 请注意大纲对该部分的具体考查要求 是一级重点章 重点 热点 1 重积分的计算 2 格林公式以及平面上曲线积分与路径无关的条件 并会利用它们计算曲线积分 3 曲面积分的计算 4 高斯公式与斯托克斯公式的应用 5 散度与旋度的计算 6 重积分与曲线 曲面积分在几何 物理中的应用 典型题型 典型题型一 二次积分交换积分次序 解题思路 1 写出二重积分积分域的不等式 D 2 画出域的图形D 3 写出另一种次序下的二次积分 典型题型二 计算二重积分 解题思路 1 画出域的图形D 2 根据图形判定能否利用对称性将二重积分简化 3 选择适当的坐标系 4 如果选择直角坐标系还应适当选择积分的先后次序 原则是 先积的积分比较容易积出 5 转化为二次积分计算 注 二重积分的对称性 如果积分域关于轴对称 则Dx 1 0 2 D D f xyf x y f x y dxdy f x y dxdyf xyf x y 其中是被轴分出来的其中一部分 1 DDx 精品文档 25欢迎下载 如果积分域关于轴对称 则Dy 1 0 2 D D fx yf x y f x y dxdy f x y dxdyfx yf x y 其中是被轴分出来的其中一部分 1 DDy 如果积分域关于轴对称 则Dyx 1 0 2 D D f y xf x y f x y dxdy f x y dxdyf y xf x y 其中是被直线分出来的其中一部分 1 DDyx 典型题型三 计算三重积分 典型题型四 重积分在几何 物理中的应用 读者在这类题中不要化太多的精力 只要记住公式即可 典型题型五 对弧长和对坐标的曲线积分的计算及格林公式的应用 1 对弧长的曲线积分的计算方法有两种 积分曲线为平面曲线 第一种 利用对称性来完成 对称性类似二重积分的对称性 第二种 利用定积分计算 第一类曲线积分转化为定积分计算时 注意定积分的上限一定大于 下限 说明 计算第一类曲线积分时 应首先分析能否利用对称性来化简 2 对坐标的曲线积分的计算方法有两种 积分曲线为平面曲线 第一种 利用定积分计算 第二类曲线积分转化为定积分计算时 注意定积分的下限一定对应 曲线的起点 上限一定对应曲线的终点 第二种 利用二重积分计算 借助格林公式完成 3 两类曲线积分的关系 cos cos LL P x y dxQ x y dyP x yQ x yds 其中是上点处与方向一致的切向量的方向角 L x yL 典型题型六 对面积和对坐标的曲面积分的计算及高斯公式的应用 1 对面积的曲面积分的计算方法有三种 第一种 利用对称性计算 对称性的类似三重积分的对称性 第二种 利用二重积分计算 这是最基本的一种方法 第三种 利用三重积分计算 先将第一类曲面积分转化为第二类曲面积分 然后利用高斯公式 转化为三重积分 此方法适应于积分曲面的方程没有给出具体表达式的第一类曲面积分 说明 计算第一类曲面积分时 应首先分析能否利用对称性来化简 2 对坐标的曲面积分的计算方法有三种 第一种 利用二重积分计算 这是最基本的一种方法 第二种 利用三重积分计算 借助于高斯公式完成 第三种 转化为第一类曲面积分计算 此方法一般适应于积分曲面是平面的第二类曲面积分 典型题型七 空间曲线上的第二类曲线积分的计算 此类题用斯托可斯公式或定积分来计算 精品文档 26欢迎下载 典型题八 散度 旋度的计算 设向量 其中具有一阶连续偏导数 则 A x y zP x y z iQ x y z jR x y z k P Q R 散度 PQR divA xyz 旋度 RQPRQP rotAijk yzzxxy 典型题型九 曲线 曲面积分在几何 物理上的应用 此类题只要记住公式即可 第七篇 无穷级数 本章重点 热点及常考题型 特别注意 该章内容数一 三考 数二 四不考 数一属于一级重点章 数三为二级重点章 重点 热点 1 判断数项级数的敛散性 2 证明数项级数收敛或发散 3 求幂级数的收敛域 4 将函数展开为幂级数 5 求幂级数的和函数或求数项级数的和 6 将函数展开成傅里叶级数 傅里叶级数的收敛定理 典型题型 典型题型一 判断数项级数的敛散性 首先判别级数的类型 1 n n a 若是正项级数 则 1 求 若 则级数发散 若 0 进一步判别 lim n n a 0 2 根据级数一般项的特点选择判别法 a 一般项中含或是几个因式乘积的形式 一般用比值法 n b 一般项中含因子的一般用比较判别法 比较判别法的实质是比无穷小量的阶 比较的n 主要对象是级数 等比级数 p 3 某些级数可以利用已知敛散的一些级数结合级数的性质判别其收敛性 4 最后利用定义 若是任意项级数 则 1 求 若 则级数发散 若 0 进一步判别 lim n n a 0 2 判别级数 若收敛 级数绝对收敛 若发散 则看是否为交错级数 1 n n a 精品文档 27欢迎下载 若是交错级数 则用莱布尼兹判别法判别 若满足莱布尼兹判别法 若收敛则为条件收敛 若 是交错级数但不能用莱布尼兹判别法判别或不是交错级数的任意项级数 则用定义判别 典型题型二 数项级数敛散的证明题 证明通项没有给出具体表达式的数项级数收敛或发散请注意下列几点 1 已知某级数收敛 欲证另一级数收敛 一般不用比值判别法和根值判别法 而用比较判别 法 已知收敛的级数用作比较的级数 2 已知某数列有某种性质 有界性 单调性 有极限 欲证某级数收敛 通常是利用这些性 质对无穷级数的通项作某种估计 再利用比较判别法或级数敛散的定义 3 若欲证级数的通项与已知敛散的级数的通项有某种四则运算关系 一般用级数敛散的定义 完成 典型题型三 求函数项级数或求幂级数的收敛域 解题思路 1 求 1 lim n n n ax x ax 2 解不等式 得到级数的收敛区间 1x a b 3