第三章-导数及其应用--章末检测B(人教A版选修1-1)

第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 章末检测章末检测 B 人教 人教 A 版选修版选修 1 1 时间 120 分钟 满分 150 分 一 选择题 本大题 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 1 已知函数 y f x 的图象如图 则 f xA 与 f xB 的大小关系是 A f xA f xB B f xA 0 函数 f x x3 ax 在 1 上是单调减函数 则 a 的最大值为 A 1 B 2 C 3 D 4 8 若函数 f x asin x cos x 在 x 处有最值 那么 a 等于 1 3 3 A B C D 3 3 3 3 3 6 3 6 9 函数 y x sin x x 的最大值是 2 A 1 B 1 C D 1 2 10 函数 f x 的定义域为开区间 a b 导函数 f x 在 a b 内的图象如图所示 则函 数 f x 在开区间 a b 内有极小值点 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 11 函数 f x 的单调增区间是 x 1 x A 1 B 1 C 1 1 D 1 1 12 某银行准备新设一种定期存款业务 经预测 存款量与存款利率成正比 比例系 数为 k k 0 贷款的利率为 4 8 假设银行吸收的存款能全部放贷出去 若存款利率为 x x 0 0 048 则存款利率为多少时 银行可获得最大利益 A 0 012 B 0 024 C 0 032 D 0 036 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 13 已知函数 y f x 的图象在点 M 1 f 1 处的切线方程是 y x 2 则 f 1 f 1 1 2 14 设函数 f x ax3 3x 1 x R 若对于 x 1 1 都有 f x 0 则实数 a 的 值为 15 如图 内接于抛物线 y 1 x2的矩形 ABCD 其中 A B 在抛物线上运动 C D 在 x 轴上运动 则此矩形的面积的最大值是 16 已知函数 f x x3 ax2 bx c x 2 2 表示过原点的曲线 且在 x 1 处的切 线的倾斜角均为 有以下命题 3 4 f x 的解析式为 f x x3 4x x 2 2 f x 的极值点有且只有一个 f x 的最大值与最小值之和等于零 其中正确命题的序号为 三 解答题 本大题共 6 小题 共 70 分 17 10 分 若函数 f x x3 ax2 a 1 x 1 在区间 1 4 上为减函数 在区间 1 3 1 2 6 上为增函数 试求实数 a 的取值范围 18 12 分 已知函数 f x x3 ax2 bx c 在 x 与 x 1 时都取得极值 2 3 1 求 a b 的值与函数 f x 的单调区间 2 若对 x 1 2 不等式 f x ln 2 1 且 x 0 时 ex x2 2ax 1 22 12 分 已知函数 f x x2 ln x 1 求函数 f x 在 1 e 上的最大值和最小值 2 求证 当 x 1 时 函数 f x 的图象在 g x x3 x2的下方 2 3 1 2 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 B 答案答案 1 B f xA 和 f xB 分别表示函数图象在点 A B 处的切线斜率 故 f xA f xB 2 B 物体的初速度即为 t 0 时物体的瞬时速度 即函数 s t 在 t 0 处的导数 s 0 s t 0 3 2t t 0 3 3 B 曲线过点 3 3 2a2 1 a 1 a 切点为 1 3 由导数定义可得 y 4ax 4x 该点处切线斜率为 k 4 切线方程为 y 3 4 x 1 即 y 4x 1 4 B 5 B f x 3x2 a 令 3x2 a 0 则 a 3x2 x 1 a 3 6 A y x x 2 x x 2 x 2 2 2 x 2 2 k y x 1 2 2 1 2 2 切线方程为 y 1 2 x 1 即 y 2x 1 7 C 8 A f x acos x sin x 由题意 f 0 1 3 3 即 a 0 a 1 2 1 3 3 2 3 3 9 C y 1 cos x 0 所以 y x sin x 在上为增函数 当 x 时 2 ymax 10 A 由图象看 在图象与 x 轴的交点处左侧 f x 0 的点才满足题意 这样的点只有一个 B 点 11 C f x x 1 x x 1 x 1 x 2 0 又 x 1 1 x x 1 x 2 1 1 x 2 f x 的单调增区间为 1 1 12 B 由题意知 存款量 g x kx k 0 银行应支付的利息 h x xg x kx2 x 0 0 048 设银行可获得收益为 y 则 y 0 048kx kx2 于是 y 0 048k 2kx 令 y 0 解得 x 0 024 依题意知 y 在 x 0 024 处取得最大值 故当存款利率为 0 024 时 银行可获得最大收益 13 3 解析 由切点 1 f 1 在切线 y x 2 上 1 2 得 f 1 1 2 又 f 1 1 2 5 2 1 2 f 1 f 1 3 1 2 5 2 14 4 解析 若 x 0 则不论 a 取何值 f x 0 显然成立 当 x 0 1 时 f x ax3 3x 1 0 可转化为 a 3 x2 1 x3 设 g x 则 g x 3 x2 1 x3 3 1 2x x4 所以 g x 在区间上单调递增 在区间上单调递减 0 1 2 1 2 1 因此 g x max g 4 从而 a 4 1 2 当 x 1 0 时 f x ax3 3x 1 0 可转化为 a 3 x2 1 x3 设 g x 则 g x 3 x2 1 x3 3 1 2x x4 所以 g x 在区间 1 0 上单调递增 因此 g x min g 1 4 从而 a 4 综上所述 a 4 15 4 3 9 解析 设 CD x 则点 C 坐标为 x 2 0 点 B 坐标为 x 2 1 x 2 2 矩形 ABCD 的面积 S f x x 1 x 2 2 x x 0 2 x3 4 由 f x x2 1 0 3 4 得 x1 舍 x2 2 3 2 3 x 时 f x 0 f x 是递增的 0 2 3 x 时 f x 0 a x 1 x2 1 x 1 又 x 1 7 a 7 同时成立 5 a 7 经检验 a 5 或 a 7 都符合题意 所求 a 的取值范围为 5 a 7 18 解 1 f x x3 ax2 bx c f x 3x2 2ax b 由 f a b 0 2 3 12 9 4 3 f 1 3 2a b 0 得 a b 2 1 2 f x 3x2 x 2 3x 2 x 1 令 f x 0 得 x1 2 3 令 f x 0 得 x 1 2 3 所以函数 f x 的递增区间是和 1 递减区间是 2 3 2 3 1 2 f x x3 x2 2x c x 1 2 1 2 由 1 知 当 x 时 f c 为极大值 2 3 2 3 22 27 而 f 2 2 c 则 f 2 2 c 为最大值 要使 f x f 2 2 c 得 c2 19 解 设每次订购电脑的台数为 x 则开始库存量为 x 台 经过一个周期的正常均 匀销售后 库存量变为零 这样又开始下一次的订购 因此平均库存量为 x 台 所以每年 1 2 的保管费用为 x 4 000 10 元 1 2 而每年的订货电脑的其它费用为 1 600 元 5 000 x 这样每年的总费用为 1 600 x 4 000 10 元 5 000 x 1 2 令 y 1 600 x 4 000 10 5 000 x 1 2 y 5 000 1 600 4 000 10 1 x2 1 2 令 y 0 解得 x 200 台 也就是当 x 200 台时 每年订购电脑的其它费用及保管费用总费用达到最小值 最小 值为 80 000 元 20 解 1 对函数 f x 求导数 得 f x x2 2ax ex 2x 2a ex x2 2 1 a x 2a ex 令 f x 0 得 x2 2 1 a x 2a ex 0 从而 x2 2 1 a x 2a 0 解得 x1 a 1 x2 a 1 1 a21 a2 其中 x1 x2 当 x 变化时 f x f x 的变化如下表 x x1 x1 x1 x2 x2 x2 f x 0 0 f x 极大值 极小值 当 f x 在 x x1处取得极大值 在 x x2处取到极小值 当 a 0 时 x1 1 x2 0 f x 在 x1 x2 为减函数 在 x2 为增函数 而当 x0 当 x 0 时 f x 0 所以当 x a 1 时 f x 取得最小值 1 a2 2 当 a 0 时 f x 在 1 1 上为单调函数的充要条件是 x2 1 即 a 1 1 1 a2 解得 a 3 4 综上 f x 在 1 1 上为单调函数的充分必要条件为 a 即 a 的取值范围是 3 4 3 4 21 1 解 由 f x ex 2x 2a x R 知 f x ex 2 x R 令 f x 0 得 x ln 2 于是当 x 变化时 f x f x 的变化情况如下表 x ln 2 ln 2 ln 2 f x 0 f x 2 1 ln 2 a 故 f x 的单调递减区间是 ln 2 单调递增区间是 ln 2 f x 在 x ln 2 处 取得极小值 极小值为 f ln 2 eln 2 2ln 2 2a 2 1 ln 2 a 2 证明 设 g x ex x2 2ax 1 x R 于是 g x ex 2x 2a x R 由 1 知当 a ln 2 1 时 g x 取最小值为 g ln 2 2 1 ln 2 a 0 于是对任意 x R 都有 g x 0 所以 g x 在 R 内单调递增 于是当 a ln 2 1 时 对任意 x 0 都有 g x g 0 而 g 0 0 从而对任意 x 0 都有 g x 0 即 ex x2 2ax 1 0 故 ex x2 2ax 1 22 1 解 f x x2 ln x f x 2x 1 x x 1 时 f x 0 f x 在 1 e