第三十八讲--数学归纳法

1 第三十八讲第三十八讲 数学归纳法数学归纳法 班级班级 姓名姓名 考号考号 日期日期 得分得分 一一 选择题选择题 本大题共本大题共 6 6 小题小题 每小题每小题 6 6 分分 共共 3636 分分 将正确答案的代号填在题后的括号将正确答案的代号填在题后的括号 内内 1 1 欲用数学归纳法证明欲用数学归纳法证明 对于足够大的正整数对于足够大的正整数 n n 总有总有 2 2n n n n3 3 那么验证不等式成立所取那么验证不等式成立所取 的第一个的第一个 n n 的最小值应该是的最小值应该是 A 1A 1 B 9B 9 C 10C 10 D n 10 D n 10 且且 n n N 解析解析 2 210 10 1024 10 1024 103 3 故应选故应选 C C 答案答案 C C 2 2 用数学归纳法证明用数学归纳法证明 1 2 21 2 22 2 2 2n 1 n 1 2 2n n 1 n 1 n N 的过程中的过程中 第二步假设当第二步假设当 n k k n k k N 时等式成立时等式成立 则当则当 n k 1n k 1 时应得到时应得到 A 1 2 2A 1 2 22 2 2 2k 2 k 2 2 2k 1 k 1 2 2k 1 k 1 1 1 B 1 2 2B 1 2 22 2 2 2k k 2 2k 1 k 1 2 2k 1 k 1 1 2 1 2k 1 k 1 C 1 2 2C 1 2 22 2 2 2k 1 k 1 2 2k 1 k 1 2 2k 1 k 1 1 1 D 1 2 2D 1 2 22 2 2 2k 1 k 1 2 2k k 2 2k k 1 2 1 2k k 解析解析 由由 n kn k 到到 n k 1n k 1 等式的左边增加了一项等式的左边增加了一项 故选故选 D D 答案答案 D D 3 3 用数学归纳法证明用数学归纳法证明 n n3 3 n 1 n 1 3 3 n 2 n 2 3 3 n n N 能被能被 9 9 整除整除 要利用归纳假设证要利用归纳假设证 n k 1 k n k 1 k N 时的情况时的情况 只需展开只需展开 2 A k 3 A k 3 3 3 B k 2 B k 2 3 3 C k 1 C k 1 3 3 D k 1 D k 1 3 3 k 2 k 2 3 3 解析解析 假设假设 n k k n k k N 时时 k k3 3 k 1 k 1 3 3 k 2 k 2 3 3能被能被 9 9 整除整除 当当 n k 1n k 1 时时 k 1 k 1 3 3 k 2 k 2 3 3 k 3 k 3 3 3为了能用上面的归纳假设证明为了能用上面的归纳假设证明 只需将只需将 k 3 k 3 3 3展开展开 让其出现让其出现 k k3 3即可即可 故应选故应选 A A 答案答案 A A 4 4 凸凸 n n 多边形有多边形有 f n f n 条对角线条对角线 则凸则凸 n 1 n 1 边形的对角线的条数边形的对角线的条数 f n 1 f n 1 为为 A f n n 1A f n n 1 B f n nB f n n C f n n 1C f n n 1 D f n n 2D f n n 2 解析解析 边数增加边数增加 1 1 顶点也相应增加顶点也相应增加 1 1 个个 它与它不相邻的它与它不相邻的 n 2n 2 个顶点连接成对角线个顶点连接成对角线 原原 来的一条边也成为对角线来的一条边也成为对角线 因此因此 对角线增加对角线增加 n 1n 1 条条 故选故选 C C 答案答案 C C 5 5 用数学归纳法证明用数学归纳法证明 n 1 n 2 n n 2 n 1 n 2 n n 2n n 1 3 2n 1 1 3 2n 1 从从 k k 到到 k 1 k 1 左端需增乘的代数式为左端需增乘的代数式为 A 2k 1A 2k 1 B 2 2k 1 B 2 2k 1 2123 11 kk CD kk 解析解析 当当 n 1n 1 时时 显然成立显然成立 当当 n kn k 时时 左边左边 k 1 k 2 k k k 1 k 2 k k 当当 n k 1n k 1 时时 左边左边 k 1 1 k 1 2 k 1 k k 1 k 1 k 1 1 k 1 2 k 1 k k 1 k 1 k 2 k 3 k k k 1 k k 1 k 1 k 2 k 3 k k k 1 k k 1 k 1 3 k 1 k 2 k k k 1 k 2 k k 21 22 1 kk k k 1 k 2 k k 2 2k 1 k 1 k 2 k k 2 2k 1 答案答案 B B 6 6 对于不等式对于不等式 n 1 n N n 1 n N 某学生的证明过程如下某学生的证明过程如下 2 nn 1 1 当当 n 1n 1 时时 1 1 1 1 不等式成立不等式成立 2 11 2 2 假设假设 n k k Nn k k N 时时 不等式成立不等式成立 即即 k 1 k 1 则则 2 kk n k 1n k 1 时时 2 22 2 1 1 32 32 2 2 1 1 kk kkkkk kk 当当 n k 1n k 1 时时 不等式成立不等式成立 上述证法上述证法 A A 过程全都正确过程全都正确 B B n 1n 1 验得不正确验得不正确 C C 归纳假设不正确归纳假设不正确 D D 从从 n kn k 到到 n k 1n k 1 的推理不正确的推理不正确 解析解析 n 1 n 1 的验证及归纳假设都正确的验证及归纳假设都正确 但从但从 n kn k 到到 n k 1n k 1 的推理中没有使用归纳假设的推理中没有使用归纳假设 而而 是通过不等式的放缩法直接证明是通过不等式的放缩法直接证明 不符合数学归纳法的证题要求不符合数学归纳法的证题要求 答案答案 D D 4 二二 填空题填空题 本大题共本大题共 4 4 小题小题 每小题每小题 6 6 分分 共共 2424 分分 把正确答案填在题后的横线上把正确答案填在题后的横线上 7 7 设设 S S1 1 1 12 2 S S2 2 1 12 2 2 22 2 1 12 2 S Sn n 1 12 2 2 22 2 3 32 2 n 1 n 1 2 2 n n2 2 n 1 n 1 2 2 2 22 2 1 12 2 用数学归纳法用数学归纳法 证明证明 S Sn n 时时 第二步从第二步从 k k 到到 k 1 k 1 应添加的项为应添加的项为 21 3 n n 解析解析 由由 S S1 1 S S2 2 S Sn n可以发现由可以发现由 n kn k 到到 n k 1n k 1 时时 中间增加了两项中间增加了两项 k 1 k 1 2 2 k k2 2 答案答案 k 1 k 1 2 2 k k2 2 8 8 观察下式观察下式 1 1 1 12 2 2 3 4 3 2 3 4 32 2 3 4 5 6 7 5 3 4 5 6 7 52 2 4 5 6 7 8 9 10 7 4 5 6 7 8 9 10 72 2 则得出结论则得出结论 解析解析 各等式的左边是第各等式的左边是第 n n 个自然数到第个自然数到第 3n 23n 2 个连续自然数的和个连续自然数的和 右边是奇数的平方右边是奇数的平方 故得到结论故得到结论 n n 1 n 2 3n 2 2n 1 n n 1 n 2 3n 2 2n 1 2 2 答案答案 n n 1 n 2 3n 2 2n 1 n n 1 n 2 3n 2 2n 1 2 2 9 9 探索表达式探索表达式 A n 1 n 1 n 2 n 2 2 2 1 1 n 1A n 1 n 1 n 2 n 2 2 2 1 1 n 1 且且 n Nn N 的结果的结果 时时 第一步第一步 n n 时时 A A 解析解析 第一步第一步 n 2n 2 时时 A 2 1 2 1 1 A 2 1 2 1 1 答案答案 2 2 1 1 10 n10 n 为正奇数时为正奇数时 求证求证 x xn n y yn n被被 x yx y 整除整除 当第二步假设当第二步假设 n 2k 1n 2k 1 命题为真时命题为真时 进而需证进而需证 n n 命题也真命题也真 解析解析 n n 为正奇数为正奇数 2k 1 2k 1 的后一项为的后一项为 2k 1 2k 1 答案答案 2k 1 2k 1 三三 解答题解答题 本大题共本大题共 3 3 小题小题 11 11 1212 题题 1313 分分 13 13 题题 1414 分分 写出证明过程或推演步骤写出证明过程或推演步骤 11 11 用数学归纳法证明对于任意正整数用数学归纳法证明对于任意正整数 n nn n2 2 1 2 n 1 2 n2 2 2 22 2 n n n n2 2 n n2 2 5 2 1 1 4 n nn 证明证明 1 1 当当 n 1n 1 时时 左边左边 1 12 2 1 0 1 0 右边右边 0 0 等式成立等式成立 2 1 1 1 1 1 4 2 2 假设当假设当 n k k n k k N 且且 k 1 k 1 时等式成立时等式成立 即即 k k2 2 1 2 k 1 2 k2 2 2 22 2 k k k k2 2 k k2 2 2 1 1 4 kkk 则当则当 n k 1n k 1 时时 k 1 k 1 2 2 1 2 k 1 1 2 k 1 2 2 2 22 2 k k 1 k k 1 2 2 k k2 2 k 1 k 1 k 1 k 1 2 2 k 1 k 1 2 2 k k2 2 1 2 k 1 2 k2 2 2 22 2 k k k k2 2 k k2 2 2k 1 1 2 k 2k 1 1 2 k k k 1 k k 1 2 2k 1 k k 1 k k 1 2 2k 1 2 1 1 1 21 42 kkkk k k 1 4 k k 1 kk k 1 k2 2 3k 2 3k 2 1 4 k 1 k 1 2 2 k 1 1 k 1 1 k 1 1 k 1 1 1 4 当当 n k 1n k 1 时时 等式也成立等式也成立 由由 1 2 1 2 知知 对任意对任意 n n N 等式恒成立等式恒成立 12 12 求证求证 n 2 n 2 且且 n n N 111 234 1 12 22 n n 证明证明 1 1 当当 n 2n 2 时时 0 0 不等式成立不等式成立 1 2 2 2 假设假设 n k k 2n k k 2 且且 k k N 时时 原不等式成立原不等式成立 6 即即则当则当 n k 1n k 1 时时 左边左边 1 111112 234522 k k 111 234 111 111 22122 kkk 1111 1211 2222122 kkkk k 11 12 222 kk k 1 221 1 2 2222 k k kkk 当当 n k 1n k 1 时时 原不等式也成立原不等式也成立 由由 1 2 1 2 知知 原不等式对原不等式对 n 2n 2 的所有的正整数都成立的所有的正整数都成立 即即 111 234 1 12 22 n n n 2 n 2 且且 n n N 成立成立 13 13 设数列设数列 a an n 满足满足 a an 1 n 1 a a2 2n n na nan n 1 n 1 n N 1 1 当当 a a1 1 2 2 时时 求求 a a2 2 a a3 3 a a4 4 并由此猜想出并由此猜想出 a an n的一个通项公式的一个通项公式 2 2 当当 a a1 1 2 2 时时 证明证明 n n N 有有 a an n n 1 n 1 解解 由由 a a1 1 2 2 得得 a a2 2 a a2 21 1 a a1 1 1 3 1 3 由由 a a2 2 3 3 得得 a a3 3 a a2 22 2 2a 2a2 2 1 4 1 4 由由 a a3 3 4 4 得得 a a4 4 a a2 23 3 3a 3a3 3 1 5 1 5 由此猜想由此猜想 a an n的一个通项公式为的一个通项公式为 a an n n 1 n n 1 n N 2 2 证明证明 当当 n 1n