第五章：频率响应法

第五章 系统的频率特性分析 本章目录本章目录 5 15 1 频率特性频率特性 5 25 2 对数坐标图对数坐标图 5 35 3 极坐标图极坐标图 5 45 4 乃奎斯特稳定判据乃奎斯特稳定判据 5 55 5 相对稳定性分析相对稳定性分析 5 65 6 频域性能指标和时域性能指标的关系频域性能指标和时域性能指标的关系 小结小结 本章简介本章简介 在经典的控制系统分析方法中 有两种基本方法是可以不需解微分方程而可对控制系统的性 能进行分析和校正的 其一是上一章的根轨迹法 其二即本章介绍的频率特性分析法 频率 响应法是一种工程方法 是以传递函数为基础的一种控制系统分析方法 这种方法不仅能根 据系统的开环频率特性图形直观地分析系统的闭环响应 而且还能判别某些环节或参数对系 统性能的影响 提示改善系统性能的信息 控制系统的频域分析方法不仅可以对基于机理模 型的系统性能进行分析 也可以对来自于实验数据的系统进行有效分析 它同根轨迹法一样 是又一种图解法 研究的主要手段有极坐标图 Nyquist 图 和伯德图 Bode 图 法 与其它方法相比较 频率响应法还具有如下的特点 1 频率特性除可以由前述传递函数确定外 也可以用实验的方法来确定 这对于难以 列写微分方程式的元部件或系统来说 特别便于工程上的应用 2 由于频率响应法主要是通过开环频率特性的图形对系统进行分析 因而具有形象直 观和计算量较少的特点 3 频率响应法不仅适用于线性定常系统 而且还适用于传递函数不是有理数的纯滞后 系统和部分非线性系统的分析 由于上述的特点 频率响应法不仅至今仍为控制理论中的一个重要内容 而且它的有 关理论和分析方法已经广泛应用于鲁棒多变量系统和参数不确定系统等复杂系统的研究中 本章我们将在介绍控制系统频率特性的基本概念后 着重于开环控制系统的频率特性 分析 极坐标图 Nyquist 图 和半对数坐标图 Bode 图 同时将应用 Matlab 工具分析控制 系统的频率特性 最后简要分析开环控制系统的频率特性与闭环控制系统的频率特性的关系 并研究它们与控制系统性能指标的关系 5 15 1 频率特性频率特性 频率特性又称频率响应 它是指系统或元件对不同频率的正弦输入信号的响应特性 系统的频率特性可由两个方法直接得到 1 机理模型 传递函数法 2 实验方法 5 1 15 1 1 由传递函数求系统的频率响应由传递函数求系统的频率响应 设系统的开环传递函数 5 1 对应的频率特性为 5 2 如果在 S 平面的虚轴上任取一点 把该点与 的所有零 极点连接成向量 并 将这些向量分别以极坐标的形式表示 则式 5 3 可改写为 5 3 由上式得到其对应的幅值和相角 5 4 5 5 同理 可求得对应于 的 和 如此继续下去 就能得到一系列幅值和相位 与频率 的关系 其中幅值随频率变化而变化的特性称为系统的幅频特性 相角随频率变 化而变化的特性称为系统的相频特性 5 1 25 1 2 由实验方法求频率特性由实验方法求频率特性 系统的频率特性也可用实验方法得到 图 5 3 给出了一种求取系统频率特性的实验接 线方法 它由一台正弦信号发生器 系统或元件装置和双踪示波器组成 信号发生器的频率 范围由被测试的实验装置决定 双踪示波器的一路用于测量输出 输入信号的比值 即系统 的幅频特性 另一路用于测量输出信号与输入信号的相位差 即系统的相频 特性 通过不断改变输入信号的频率 值 应可以得到系统的频率特性 5 1 35 1 3 频率特性的基本概念频率特性的基本概念 线性定常系统的频率特性和时域响应是一致的 在频率特性已知的情况下 可通过数 值或解析的方法得到系统的时间响应 如果一个系统的频率特性已知 则可根据反富里叶级数示取系统的时间响应 令 为控制系统输出的频率特性 则由 5 7 可得到系统输出的时间响应 上面的积分式可通过解析法或根据频特性图由数值法求得 反过来 若已知系统的时间响应 也可求出系统的频率特性 为了方便理解 下面先 以 R C 电路为例 并说明频率特性的物理意义 同样 对于一般的线性定常系统 设输入为一频率为 的正弦信号 在稳态时 系统 的输出具有和输入同频率的正弦函数 但其幅值和相位一般均不同于输入量 且随着输入信 号频率的变化而变化 设线性系统的传递函数具有式 5 2 的形式 已知输入信号 其拉 氏变换 A为常量 则系统的输出为 5 12 式中 为 的极点 对于稳定系统 这些极点都位于 s 的左平面 即它们的实部 均为负值 为简单起见 令 的极点均为相异的实数极点 则式 5 12 改写为 5 13 其中 和 i 1 2 n 均为待定系数 对上式取拉氏反变换 求得 5 14 当 时 系统响应的瞬态分量 趋向零 其稳态分量为 5 15 其中 和 由下列两式确定 5 16 5 17 由于 是一个复数向量 因而可表示为 5 18 其中 注意到式中 是 的偶 函数 是 的奇函数 因而 与 互为共轭复数 这样 可改写为 5 19 把式 5 16 5 19 代入式 5 15 可得 5 20 以上证明了线性定常系统的稳态输出是和输入具有相同频率的正弦信号 其输出与输入 的幅值比为 输出与输入的相位差 比较频率特性与传递函数的形式可以发现 只要把传递函数中的 用 代之 就可 得到系统的频率特性 即有 可见 频率特性只是传递函数的一种特殊形 式 因而它和传递函数一样能表征系统的运动规律 成为描述系统的又一种数学模型 5 25 2 对数坐标图 如前所述 频率特性法是一种工程方法 主要采用的是一种图解法 常用的频率特性图 示 方法分两种 极坐标图示法 对数坐标图示法 本节介绍极坐标图示法 由于频率特性 是一个复数 因而可在复平面上用直角坐标形式表示 5 21 同样也可用极坐标形式写成 22 式中 这样 可用幅值为 相角为 的向量来表示 当输入信号的频率 由 变化时 向量 的幅值和相位也随之作相应的变化 其端点在复平面上移动而形成的轨迹曲线 称为极坐标图 又称为 的幅相特性或奈 奎斯特 Nyquist 曲线 简称奈氏图 5 2 15 2 1 典型环节的奈氏曲线典型环节的奈氏曲线 为了便于对频率特性作图 本章中的开环传递函数均以时间常数形式表示 具有这种形 式的开环频率特性 一般由下列五种典型环节组成 1 比例环节 K 2 一阶环节 3 积分和微分环节 4 二阶环节 5 延迟环节 1 比例环节 比例环节的频率特性为 5 23 由于K是一个与 无关的常数 它的相角为零度 因而它的奈氏图为 复平面实轴上 的一个定点 如图 5 5 所示 图 5 5 比例环节频率特性极坐标图 2 积分和微分环节 积分环节的频率特性为 5 24 由上式可见 积分环节的幅值与 成反比 相角恒为 其奈氏图如图 5 6a 所示 显然积分环节是一个相位滞后环节 每当信号经过一个积分环节后 其相位滞后 对于微分环节 其频率特性为 5 25 它的奈氏图应如图 5 6b 所示 由图可见 微分环节是一个相位超前环节 每当系统增加一 个微分环节 将使相位增加 比较积分环节和微分环节可以发现 它们的幅值特性和相位特性均刚刚相反 3 一阶惯性环节 一阶惯性环节的频率特性为 5 26 式中 若将上式写成实频特性和虚频特性的形式 式中 于是得 也即 显然上式是一个圆的方程 其圆心为 半径为 如图 5 7a 所示 可见 一阶惯 性环节是一个相位滞后环节 其最大滞后角为 此时频率为无穷大 一阶微分环节的频率特性为 5 27 式中 当 时 其幅值从 相角 因此它是一个 相位超前环节 图 5 7b 为它的奈氏图 4 二阶振荡环节和二阶微分环节 根据第三章内容 典型二阶振荡环节的频率特性可写为 5 28 式中 5 29 由式 5 28 可知 振荡环节奈氏图的低频段和高频段分别为 当 时 其相角为 当 值已知 则由式 5 28 可求得对应于不同 值时的 和 值 图 5 8 为式 5 28 在不同 值下用 Matlab 绘制的奈氏曲线 当 时 在奈氏曲线上距原 点最远的点所对应的频率就是振荡环节的谐振频率 其谐振峰值 用 与 之比来表示 图 5 8 二阶振荡环节不同 的奈氏曲线图 5 9 二阶微分环节不同 的奈氏曲线 由第三章的讨论可知 当 时 振荡环节不产生谐振 向量的长度将随着 的增加而单调地减小 当 时 有两个相异的实数极点 如果 值足够大 则其 中一个极点靠近 s 平面的坐标原点 另一个极点远离虚轴 显然 远离虚轴的这个极点对瞬 态响应的影响很小 此时式 5 28 的特性与一阶惯性环节相类同 它的奈氏图近似于一 个半圆 二阶微分环节的频率特性为 5 30 式中 5 31 图 5 9 为二阶微分环节的奈氏图 5 时滞环节 时滞环节的频率特性为 5 31 由于时滞环节的幅频值恒为 1 而其相位与 成比例变化 因而它的奈氏图是一个单位圆 如图 5 10 所示 在低频区 时滞环节 和惯性环节 的频率特性很接近 如 图 5 11 所示 因为 当 时 上式可近似为 5 32 因此当 时 时滞环节通常近似地可用惯性环节表示 5 2 25 2 2 开环系统的奈奎斯特图开环系统的奈奎斯特图 在采用频率特性法对控制系统进行分析时 一般采用两种方法 一种是直接采用开环频 率特性分析闭环系统的性能 另外一种是根据开环频率特性曲线绘制闭环频率特性 然后用 闭环频率特性分析闭环系统的性能 但不论采用哪一种方法 在用极坐标图进行分析时 首 先应作出极坐标形式的开环幅值特性和开环相位特性曲线 对于如图 5 12 的闭环控制系统 其开环传递函数为 把开环频率特性写作 如下的极坐标形式或直角坐标形式 5 33 当 由 变化时 逐点计算相应的 和 的值 可画出开环系统的奈 氏图 在控制工程中 一般只需画出奈氏曲线的大致形状和几个关键点的位置 如与实轴相 交点 与虑轴相交点及曲线的旋转方向等 即可对控制系统进行分析 在实际的控制系统中 开环传递函数常常由若干典型环节串联而成 因此通过对典型系 统的奈氏图的绘制将有助于用奈氏图分析和设计控制系统 下面通过对不同类型系统的奈氏 图在 和 时特征的分析 简要研究控制系统的静态和动态性能 1 0 型系统 设 0 型系统的开环频率特性为 5 34 当 时 即为实轴上的一点 K 0 它是 0 型系统奈氏图 的始点 当 时 当 时 奈氏曲线的具 体形状由开环传递函数所含的具体环节和参数所确定 2 I 型系统 设 I 型系统的开环频率特性为 5 35 由上式不难看出 当 时 当 时 图 5 14a 0 型 1 型和 II 型系统的奈氏图图 5 14b 开环系统高频段的奈氏图 3 型系统 设 型系统的开环频率特性为 5 36 由式 5 36 可知 当 时 当 时 综上所述综上所述 开环系统极坐标图的低频部分是由因式 确定的 对于 0 型系统 而对于 I 型和 I 型以上的 型系统 如果 当 时 曲线以顺时针方向按 的角度趋向于坐标 原点 如果 n m 是偶数 则曲线与横轴相切 反之 若是奇数 则曲线与虚轴相切 图 5 14a 为 0 型 I 型和 型系统的奈氏图 图 5 14b 为高频段的奈氏图 5 35 3 极坐标图极坐标图 如果要比较精确地计算和绘制极坐标图 一般来说是比较麻烦的 为此可用频率特性的另一 种图示法 对数坐标图 对数坐标图法不但计算简单 绘图容易 而且能直观地表现开环增 益 时间常数等参数变化对系统性能的影响 一般对数坐标图由两部分组成 一张是对数幅频特性图 它的纵坐标为 单位是分贝 用符号 dB 表示 通常为了书写方便 把 用符号 表示 另一 张是相频图 两张图的纵坐标都是按线性分度 单位分别为 dB 和 横坐标是角频率 为了更好地体现开环系统各频段的特性 可对横坐标采用 的对数坐标分度 从而形 成了半对数坐标系 这对于扩展频率特性的低频段 压缩高频段十分有效 在以 分度 的横坐标上 1 到 10 的距离等于 10 到 100 的距离 这个距离表示十倍频程 用符号 dec 表 示 对数幅频特性的 斜率 一般用分贝 十倍频 dB dec 表示 对数坐标图又称伯德图 Bode 图 用伯德图表示的频率特性有如下的优点 1 把幅频特性的乘除运算转变为加减运算 2 在对系统作近似分析时 一般只需要画出对数幅频特性曲线的渐近线 从而大大简化 了图形的绘制 3 用实验方法 将测得系统 或环节 频率响应的数据画在半对数坐标纸上 根据所作出的 曲线 容易估计被测系统 或环节 的传递函数 在 Matlab 控制工具箱中 亦有专门的函数用于绘制 Bode 图 Bode 函数 同时为绘制开 环系统的幅频特性的渐近线 我们编制了画渐近线的作图函数 Bode asymp 有关它们的使 用方法将结合例题进行说明 5 3 15 3 1 典型环节的伯德图典型环节的伯德图 1 比例环节 比例环节K的对数幅频特性是一高度为 dB 的水平线 它的相角为零度 如图 5 18 所示 改变开环频率特性表达式中K的大小 会使对数幅频特性升高或降低一个常量 但不 影响相角的大小 5 37 图 5 18 比例环节 K 的对数幅频特性 显然 当 时 位于横轴上方 当 时 位于横轴上 当 时 位于横轴下方 2 一阶环节 一阶环节 的对数幅频和相频表达式分别为 5 38 5 39 其中 当 时 略去式 5 38 中的 项 则得 这表示 的低频渐近线是高度为 0dB 的一条水平线 当 时 略去式 5 38 中的 1 则得 表示 高频部分的渐 近线是一条斜率为 20dB dec 的直线 当输入信号的频率每增加十倍频程时 对应输出信 号的幅值便下降 20dB 图 5 19 所示的是精确对数幅频特性及其渐近线和精确的相频曲线 其中T 1 Matlab 命令如下 G tf 1 1 1 x0 y0 w bode g x y bode asymp g w subplot 211 semilogx w 20 log10 x0 x y subplot 212 semilogx w y0 不难看出 两条渐近线相交点的频率 这个频率称为转折频率 又名转角频率 如 果 环节的对数幅频特性能用其两条渐近线似表示 则使作图大为简化 问题是 这种近似表示所产生的误差有多大 图 5 19 一阶惯性环节频率特性 由图 5 19 可见 最大的幅值误差产生在转折频率 处 它近似等于 3dB 这是因为 用同样的方法 可计算其它频率点上的幅值误差 图 5 20 为 环节精确的对数幅 频曲线与其渐近线在不同 值时的误差曲线 由于渐近线易于绘制 且与精确曲线之间的误差较小 所以在初步设计时 环节 的对数幅频曲线可用其渐近线表示 如果需要绘制其精确的对数幅频曲线 可按照图 5 20 修正 图 5 19 所示的对数幅频特性表明该环节具有低通滤波器的特性 如果系统的输入信号中含 有多种频率的谐波分量 那么在稳态时 系统的输出只能复现输入信号中的低频分量 其它 高频分量的幅值将受到不同程度的衰减 频率越高的信号 其幅值的衰减量也越大 由于 与 互为倒数 因而它们的对数幅频和相频特性只相差一个符号 即有 与获取一阶惯性环节频率特性相似 同样方法可绘制 环节的对数幅频和相频曲线 如图 5 21 3 积分 微分环节 的对数幅频和相频特性的表达式分别为 由于 5 40 因而 是一条斜率为 20 dB dec 的直线 同理 的对数幅值表达式为 图 5 22a 一阶积分环节频率特性图 5 22b 一阶微分环节频率特性 显然 它是一条斜率为 20 dB dec 的直线 环节的相角恒为 图 5 22a 和 5 22b 分别为 和 的对数幅频和相频曲线 在 Matlab 中 它们的绘制方法与一阶惯 性环节完成相似 仅需修改传递函数即可 由图 5 22 可见 和 伯德图的差异是两者幅频特性的斜率和相角都相差一个符号 在 时 它们的对数幅值都为 0dB 如果传递函数中含有 个积分环节 即 则它的对数幅频和相频表达式可分别写成 5 41 5 42 式 5 41 所示的是一簇斜率为 的直线 且在 处 如图 5 23 所示 由式 5 41 求得 这些不同斜率的直线通过 0dB 直线的频率为 图 5 23 给 出了 1 2 和 3 时的对数幅频特性 曲线 其中 K 1000 4 二阶环节 当系统的开环传递函数中含有一对共轭极 点时 就有下列形式的二阶环节存在 即 5 43 其中 它的对数幅频特性为 5 44 当 时 略去上式中的 和 项 则得 这表示 的低频渐近线为一条 0dB 的水平线 当 时 略去式 5 44 中的 1 和 项 则得 上式表示 的高频渐近线为一斜率 的直线 不难看出 两条渐近线相交于 称为振荡环节的转折频率 基于实际的对数幅频特性既与频率 和 有关 又与阻尼比 有关 因而这种环节的对数幅频特性曲线一般不能用其渐近线近似表示 不然 会引起较大的误差 图 5 24 为不同 值情况下的对数幅频曲线及其渐近线和相角曲线 它 们之间的误差曲线如图 5 25 所示 由图可见 值越小 对数幅频曲线的峰值就越大 它 与渐近线之间的误差也就越大 图 5 24 二阶振荡环节的对数幅频特 渐近线和相角曲线 将式 5 43 的幅值表达式写为 5 45 令 5 46 显然 如在某一频率时 有最小值 则 便有最大值 把式 5 46 改写为 5 47 下面针对不同的 值范围 讨论在什么条件下 式 5 44 会有峰值出现 这个峰值和相 应的频率应如何计算 1 时 从式 5 47 中看出 当 时 有最小值 即 有最大值 这个 最大值称为谐振峰值 用 表示之 基于 值为 由式 5 45 求得 的峰值 为 5 48 与 间的关系曲线如图 5 26 所示 产生谐振峰值时 的频率叫谐振频率 用 表示 它的值为 由上式可见 当 趋于零时 就趋向于 当 时 总小于有阻尼自然频率 2 时 此时可将式 5 46 改写为 5 49 不难看出 由于 随着 的增大而增大 因而 随着 的增大而单调地减小 这 意味着 当 时 幅值曲线不可能有峰值出现 即不会产生谐振 当 时 有最小值 其值为期 1 即 同样由式 5 43 可得到系统的相频特性表达式为 相角 是 和 的函数 当 时 相角等于 而 不管 值的大小 相角 总是等于 当 时 相角等于 可以证明 相角曲线对 的弯曲 点而言是斜对称的 图 5 26 Mr 与 的关系 由于环节 与上述振荡环节的频率特性互为倒数关系 即以 轴为对称 轴 因此它们的对数幅值和相角与上述的都只相差一个符号 参见图 5 24 这时不再赘述 5 时滞环节 时滞环节的幅频和相频表达式分别为 5 50 5 51 由此可知 它的对数幅频特性为一条 0 dB 的水平线 其相角 与频率 呈线性关系 图 27 为时滞环节的相频特性曲线 图 5 27 时滞系统的相频特性 5 3 25 3 2 开环系统的伯德图开环系统的伯德图 设系统的开环传递函数为 则其对应的对数幅频和相频特性分别为 因此 只要作出 所含各环节的对数幅频和相频特性曲线 然后对它们分别进行代数 相加 就能求得开环系统的伯德图 一般绘制开环系统伯德图的步骤如下一般绘制开环系统伯德图的步骤如下 1 写出开环频率特性的表达式 将其写成典型环节相乘的形式 2 将所含各环节的转折频率由小到大依次标准在频率轴上 注意 由于比例环节和积分 环节没有转折频率 因此可以排在最左边 3 绘制开环对数幅频曲线的渐近线 渐近线由若干条分段直线所组成 其低频段的斜率 为 其中 为积分环节数 在 处 以低频段作为分段 直线的起始段 从它开始 沿着频率增大的方向 每遇到一个转折频率就改变一次分段直线 的斜率 如遇到 环节的转折频率 当 时 分段直线斜率的变化量为 如遇到 环节的转折频率 当 时 分段直线斜率的变化 量为 其它环节用类似的方法处理 分段直线最后一段是开环对数幅频曲线的 高频渐近线 其斜率为 其中 n 为 的极点数 m 为 的零点数 4 作出以分段直线表示的渐近线后 如果需要 再按照前述的各典型环节的误差曲线对 相应的分段直线进行修正 就可得到实际的对数幅频特性曲线 5 作相频特性曲线 根据开环相频特性的表达式 在低频 中频及高频区域中各选择若 干个频率进行计算 然后连成曲线 5 3 35 3 3 最小相位系统与非最小相位系统最小相位系统与非最小相位系统 如果系统的开环传递函数在右半 s 平面上没有极点或零点 则称为最小相位传递函数 具有 最小相位传递函数的系统 称为最小相位系统 如果开环传递函数在右半平面上有一个或多 个零点 称为非最小相位传递函数 如果开环传递函数在右半平面上有一个或多个极点 则 开环系统是不稳定的 一般也称为非最小相位传递函数 具有非最小相位传递函数的系统 称为非最小相位系统 设有 a 和 b 两个系统 它们的传递函数分别为 其中 这两个系统的极点完全相同 且位于 s 平面的左方 以保证系统能稳定 它们的零点一个在平面的左方 一个在 s 平面的右方 由于系统 的零 极点都位于 s 的 左半平面 因而它是最小相位系统 而系统 b 零点位于 s 的右半平面 因而它是非最小相位 系统 它们对应的频率特性分别为 由于 所以两个系统的幅频特性完全相同 而它们的相频特性表达式分 别为 当 则 时 系统 a 的相位变化量为 系统 b 的相位变化量为 由此可见 最小相位系统的相位变化量总小于非最小相位系统的相位变化量 令 两系 图 5 29 最小相位 非最小相位系统频率 特性比较 图 5 30 最小相位 非最小相位系统单位阶跃比较 统的对数幅频和相频特性曲线如图 5 29 所示 相应的单位阶跃响应如图 5 30 由图可见 最小相位系统的对数幅频特性和相频特性曲线的变化趋势基本相一致 这表明它们之间有着 一定的内在关系 可以证明 如果确定了最小相位系统的对数幅频特性 则其对应的相频特 性也就被唯一地确定了 反之 亦然 因此对于最小相位系统 只要知道它的对数幅频特性 曲线 就能估计出系统的传递函数 对于非最小相位系统 它的对数幅频和相频特性曲线的 变化趋势并不完全相一致 两者之间不存在着唯一的对应关系 因此对于非最小相位系统 只有同时知道了它的对数幅频和相频特性曲线后 才能正确地估计出系统的传递函数 当 时 虽然最小相位系统和非最小相位系统对数幅频特性的斜率均为 但前者的相位 而后者的相位 这个特征可用于判别被测试的系统是否是最小相位系统 控制系统中的时滞环节是典型的非最小相位系统 关于此点无论从它的近似展开式或其 完整形式均可证明 同时从图 5 30 可以明显看出 最小相位系统的稳态误差为零 而非最 小相位系统则是发散的 因此 对于控制系统而言 相位滞后越大 系统的稳定性越差 因 此应尽可能减小或避免时滞环节对控制系统的影响 5 3 45 3 4 系统开环对数幅频特性与闭环稳态误差的关系系统开环对数幅频特性与闭环稳态误差的关系 对于一定的输入信号 控制系统的稳态误差与系统的类型和开环放大倍数有关 在给定了系 统的开环幅频特性曲线后 即可根据其低频段的位置或斜率确定其稳态位置误差系数 速度误差系数 和加速度误差系数 对数幅频特性的低频段是由因式 来表征的 对于实际的控制系统 通常为 0 1 或 2 下面分析系统的类型与对数幅频特性曲线低频 渐近线斜率的对应关系及 和 值的确定 1 0 型系统 设 0 型系统的开环频率特性为 则其对数幅频特性的表达式为 图 5 31 0 型系统的对数幅频特性 据此作出对数幅频特性曲线的渐近线如图 5 31 所示 由图可见 0 型系统的对数幅频特性 低频段具有如下特点 1 低频段的渐近线斜率为 0 dB dec 高度为 2 如果已知幅频特性低频段的高度 即可根据式 求出位置误差系数 的值 进而计算系统的稳态误差 型系统 设 型系统的频率特性为 其对数幅频特性的表达式为 由上式作出的对数幅频特性曲线的渐近线如图 5 32 所示 不难看出 I 型系统的对数幅频特性有如下的特点 低频渐近线的斜率为 低频段渐近线 或其延长线 在 处的纵坐标值为 由此可求出稳态速度 误差系数 开环增益即稳态速度误差系数 在数值上也等于低频渐近线 或其延长线 与 0dB 线 相交点的频率值 型系统 设 型系统的频率特性 其对数幅频特性的表达式为 由上式作出对数幅频特性曲线的渐近线如图 33 所示 易知 型系统的对数幅频特性 有如下的特点 1 低频渐近线的斜率为 2 和 型系统一样 低频渐近线 或其延长线 在 处的纵坐标值为 由此可求 出稳态加速度误差系数 3 系统的开环增益即加速度误差系数 在数值上也等于低频段渐近线 或其延长线 与 0dB 线相交点的频率值和平方 5 45 4 奈奎斯特稳定判据奈奎斯特稳定判据 前面我们从代数角度出发讨论了控制系统稳定性的定义和劳斯 赫尔维茨稳定判据 本 节介绍判别系统稳定性的另一种判据 奈奎斯特稳定判据 该判据是根据开环频率特性来 判定闭环系统的稳定性 同时 它还能反映系统的相对稳定的程度 对于不稳定的系统 判 据与劳斯稳定判据一样 还能确切回答闭环系统有多少个不稳定的特征根 对于图 5 34 所示的反馈控制系统 闭环传递函数为 5 38 其特征方程式为 5 39 令 5 40 将式 5 40 代入式 5 39 得 5 41 式中 是 的零点 也是闭环特征方程式的根 是 的极点 也是开环传递函数的极点 因此根据前述闭环系统稳定的 充分必要条件 要使闭环系统稳定 特征函数 的全部零点都必须位于 s 平面的左半平 面上 下面我们应用复变函数理论中的辐角原理辐角原理 柯西定理来研究特征函数 的特征根 情况 5 4 15 4 1 辐角原理辐角原理 由于 是 s 的有理分式 则由复变函数的理论知道 除了在 s 平面上的有限个 奇点外 它总是解析的 即为单值 连续的正则函数 因而对于 s 平面上的每一点 在 平面上必有唯一的一个映射点与之相对应 同理 对 s 平面上任意一条不通过 的 极点和零点的闭合曲线 在 平面上必有唯一的一条闭合曲线 与之相对应 如图 5 35 所示 若 s 平面上的闭合曲线 按顺时针方向运动 则其在 平面上的映射曲线 的运动方向可能是顺时针 也可能是逆时针 它完全取决于复变函数 本身的特性 在此我们感兴趣的不是映射曲线 的具体形状 而是它是否包围 平面的坐标原点以 及围绕原点的方向和圈数 因为它与系统的稳定性有着密切的关系 图 5 35 s 平面上封闭曲线及其在 F s 平面上的映射线 由式 5 41 可知 复变函数 的相角为 5 42 假设 s 平面上的闭合曲线 以顺时针方向围绕 的一个零点 的其余 零点和极点均位于闭合曲线 之外 当点 s 沿着闭合曲线 走了一周时 向量 的 相角变化了 其余各向量的相角变化都为 这表示在 平面上的映射曲线按顺 时针方向围绕着坐标原点旋转一周 如图 5 36 所示 由此推论 若 s 平面上的闭合曲线 以顺时针方向包围 的 z 个零点 则在 平面上的映射曲线 将按顺时针方向围 绕着坐标原点旋转 z 周 如果 s 平面上的闭合曲线 按顺时针方向围绕着 的一个极点 旋转一周 则向 量 的相角变化了 由式 5 42 可知 的相角变化了 这表示 平面上的映射曲线 按逆时针方向围绕其坐标原点一周 由此推广到一般 若 s 平面 上的闭合曲线 按顺时针方向围绕着 的 p 个极点旋转一周 则其在 平面上的映 射曲线 按逆时针方向围绕着坐标原点旋转 p 周 综上所述 可得到如下的辐角原理 辐角原理辐角原理 设除了有限个奇点外 是一个解析函数 如果 s 平面上的闭合曲线 以顺时针方向包围了 的 Z 个零点和 P 个极点 且此曲线不通过 的任何极点和 零点 则其在 平面上的映射曲线 将围绕着坐标原点旋转 N 周 其中 若 表示曲线 以顺时针方向围绕 若 则表示曲线 以逆时针方向围绕 5 4 25 4 2 奈奎斯特稳定判据奈奎斯特稳定判据 如果闭环系统是稳定的 则其特征方程式的根 即 所有的零点均位于 s 的左半平 面 为了判别系统的稳定性 检验 是否有零点在 s 的右半平面上即可 为此 在 s 平面上所取的闭合曲线 应包含 s 的整个右半平面 如图 5 37 所示 这样 如 果 有零点或极点在 s 的右半平面上 则它们必被此 曲线所包围 这一闭合曲线称为奈奎斯特轨线 它是由 轴表示的 部分和半径为无穷大的半圆 部分组成 即 s 按顺时针方向沿着 由 运动到 尔后沿 图 5 37 右半平面的封闭曲线 着半径为无穷大的半圆 由 运动到 其中 由于 中的 当 s 沿着奈氏轨线 运动时 有 常数 这说明当 s 沿着半径为无穷大的半圆变化时 函数 始终是一常数 由此 平面上 的映射曲线 是否包围坐标原点 只取决于奈氏轨线中 部分的映射 即由 轴的映 射曲线来表征 设在 轴上不存在 的极点和零点 则当 s 沿着 轴由 运动到 时 在 平面上的映射曲线 为 5 43 设闭合曲线 以顺时针方向包围了 的 z 个零点和 p 个极点 由辐角原理可知 在 平面上的映射曲线 将按顺时针方向围绕着坐标原点旋转 N 周 其中 5 44 由于 因而映射曲线 对其坐标原点的围绕相当于开环频率特征曲线 对 GH 平面 上的 1 j0 点的围绕 图 5 38 示出了奈氏曲线映射在这两个平面上的位置 通过上述分析可知 闭环系统的稳定性可通过其开环频率响应 曲线对 1 j0 点的包围与否来判别 这就是下述的奈奎斯特稳定判据 奈奎斯特稳定判据 奈奎斯特稳定判据 1 如果开环系统是稳定的 即 P 0 则闭环系统稳定的充要条件是 曲线不 包围 1 j0 点 2 如果开环系统不稳定 且已知有 P 个开环极点在 s 的右半平面 则闭环系统稳定的充要 条件是 曲线按逆时针方向围绕 1 j0 点旋转 P 周 综上 应用奈氏判据判别闭环系统的稳定性的具体步骤为 1 首先要确定开环系统是否稳定 若不稳定 则 P 为多少 2 作出奈氏曲线 具体作图时可先画出 从 0 到 的一段曲线 然后以 实轴为对称轴 画出 从 0 到 的另一段曲线 从而得到完整的奈氏曲线 3 计算奈氏曲线 对点 1 j0 按顺时针方向的包围圈数 N 4 根据辐角原理确定 Z 是否为零 如果 Z 0 表示 闭环系统稳定 反之 表示 该闭环系统不稳定 Z 的数值反映了闭环特征方程式的根在 s 右半平面上的个数 5 4 35 4 3 奈奎斯特稳定性判据的进一步说明奈奎斯特稳定性判据的进一步说明 1 开环极点位于虚轴的情况 如果 在虚轴上存在极点 那么就不能直接用图 5 37 所示的奈氏轨线 因 为辐角原理只适用于奈氏轨线 不通过 的奇点 为此 可对图 5 37 所示的奈氏轨线 作些修改 使其沿着半径为 的半圆绕过虚轴上的所有极点 假设开环系统在坐标原点 处有其极点 则对应的奈氏途径要修改为如图 5 40 所示 比较图 5 40 与图 5 37 可以发 现 它们的区别在于图 5 40 中多了一个半径为无穷小的半圆 部分 其余两者完全相同 因此 只需要研究图 5 40 中的 部分在 GH 平面上的映射 设系统的开环传递函数 5 45 在 部分上 令 其中 代入上式得 5 46 当 s 按逆时针方向沿着 由点 a 移动到 c 时 由式 5 46 可求得其在 GH 平面上的 映射曲线 对于 的 I 型系统 部分在 GH 平面上的映射曲线为一个半径为无穷大的半圆 如图 5 41a 所示 图中点 和 分别为 半圆上点 a b 和 c 的映射点 对于 的 型系统 部分在 GH 平面上的映射曲线是一个半径为无穷大的半圆 如图 5 41b 所示 把上述 部分在 GH 平面上的映射曲线和 的奈氏曲线在 和 处相连接 就组成了一条封闭曲线 此时 又可应用奈奎斯特稳定判据了 2 利用奈氏判据确定系统的参数稳定范围 如果系统中的某个参数或若干个参数是可以变化的 为使系统稳定 可利用奈氏判据来 确定系统的参数稳定范围 即根据奈氏曲线是否通过 1 j0 点的条件来选定参数 下 面以例说明之 3 具有时滞环节的稳定性分析 由于时滞系统的开环传递函数中有着 的环节 其闭环特征方程为一超越方程 因而 劳斯稳定判据就不适用了 但是 奈氏稳定判据却能较方便地用于对这类系统稳定性的判别 设含有时滞环节的开环系统的传递如下 5 47 式中 为时滞时间常数 将上式改写成 5 48 其中 5 49 不含时滞环节的传递函数 相应地 开环系统的幅频特性和相频特性为 5 50 上式表明 当 时 相对于 的幅值没有变化 而相 角则在每个 上顺时针多转动了 由于实际的控制系统中 因此当 时 的模趋于零 因而 随 以螺旋形趋于原点 并且与GH平面的负半轴相交无穷点 如图 5 45 因此为使系统稳定 奈氏曲线与负实轴相交点必须位于 1 j0 的左边 5 4 45 4 4 奈氏稳定判据在对数坐标图上的应用奈氏稳定判据在对数坐标图上的应用 与奈氏图的绘制相比 开环对数频率特性的绘 制更为简单 方便 因而研究开环对数频率特性 形式的奈氏稳定判据是有实际意义的 注意到开 环系统的奈氏图与相应的对数坐标图之间有着下 列的对应关系 1 GH 平面上单位圆的圆周与对数坐标图上的 0dB 线相对应 单位圆的外部对应于 单位圆的内部对应于 2 GH 平面上的负实轴与对数坐标图上的 线相对应 图 5 48a 奈氏图上正 负穿越图 5 48b 伯德图上正 负穿越示 如果 曲线以逆时针方向包围 1 j0 点一周 则此曲线必然由上向下 穿越负实轴的 线段一次 由于这种穿越使相角增大 故称为正穿越 其次数用 表示 反这 若 曲线按顺时针方向包围 1 j0 点一周 则此曲线将由 下向上穿越负实轴的 线段一次 由于这种穿越使相角减小 故称为负穿越 其次数 用 表示 图 5 48a 所示的为正负穿越数各一次的图形 显然 对应于图 5 48a 上的正 图 5 45 负穿越在伯德图上表现为 在 的频域内 当 增加时 相频曲线 由下而 上 负穿越 和由上而下 正穿越 穿过 线各一次 如图 5 48b 所示 不难看出 在极坐标图上 曲线对于 1 j0 点的包围圈数 N 与其相频 特性曲线 在对数坐标图上的负 正穿越数之差相等 即有 5 52 式中 为在 频率范围内 的负穿越数 为在 频率范围内 的正穿越数 这样 式 5 44 便可改写为 5 53 应用上式 就可得到对数频率特性形式的奈奎斯特判据 闭环系统稳定的充要条件是 当 变化时 在 频率范围内 相率特性 穿越 线的次数 正 负穿越数之差 为 在使用对数频率特性的奈氏稳定判据时 应注意如下两点 1 判据中的频率范围是 而非如前述的 2 若P为奇数 则意味着开环系统并未产生真正的穿越 即相频特性的起点 在负半轴 5 55 5 相对稳定性分析相对稳定性分析 为了使控制系统能可靠地工作 不但要求它能稳定 而且还希望有足够的稳定裕量 使 系统在环境发生变化或存在干扰的情况下仍能工作 这即为相对稳定性的概念 在讨论系统的稳定裕量时 首先要假定开环系统是稳定的 是最小相位系统 即开环系 统的零 极点均仅位于 s 的左半平面 否则讨论系统的稳定裕量是无意义的 图 5 49 I 型系统奈氏图 为了说明相对稳定性的概念 图 5 49 为一典型的 I 型系统 曲线 其开环 系统的传递函数为 根据奈氏判据可知 当 时 系统不稳定 奈氏曲线包围 1 j0 点 当 时 系统产生等幅振荡 奈氏曲 线经过 1 j0 点 当 时 系统稳定 奈氏曲线不包围 1 j0 点 因 此直观地看 对于开环稳定的系统 要求闭环系统有一定的稳定性 不仅要求 的幅频特性不包围 1 j0 点 而且应与该点有一定的距离 即有一定的 稳定裕量 衡量闭环系统相对稳定性的具体指标有幅值裕量 和相位裕量 在 Matlab 中 相 应地有专门的函数来求取上述指标 Margin 具体用法参见下面的例子 5 5 15 5 1 用奈氏图表示相位裕量和幅值裕量用奈氏图表示相位裕量和幅值裕量 1 相位裕量 设一开环稳定的系统的奈氏曲线 负实轴相交于 G 点 与单位圆相交于 C 点 如 图 5 50 对应于 时的频率 交点 C 称为增益穿越频率 又称剪切 频率或交界频率 在剪切频率 处 使系统达到临界稳定状态时所能接受的附加相位迟后 角 定义为相位裕量 用 表示之 对于任何系统 相位裕量 的算式为 5 54 式中 是开环频率特性在剪切频率 处的相位 图 5 50 稳定系统的奈氏曲线 不难理解 对于开环稳定的系统 若 表示 曲线包围 1 j0 点 相应的闭环系统是不稳定的 反之 若 则相应的闭环系统是稳定的 一般 越大 系统的相对稳定性也就越好 因为系统的参数并非绝对不变 如果 太小 就有可能因参数 的变化而使奈奎斯特曲线包围 1 j0 点 即导致系统不稳定 2 幅值裕量 幅值裕量是系统相对稳定性的另一度量指标 如图 5 50 所示 开环频率特性的相角 时的频率 交点 G 处 称为相位穿越频率 又称为相位交界频率 开环幅值 的倒数称为增益裕量 用 表示 即 5 55 上式表示系统在变到临界稳定时 系统的增益能增大多少 由奈奎斯特稳定判据可知 对于最小相位系统 其闭环稳定的充要条件是 曲线 不包围 1 j0 点 即 曲线与其负实轴交点处的模小于 1 此时对应的 反之 对于不稳定的系统 其 如图 5 51 所示 闭环系统是不稳定的 图 5 51 不稳定系统的奈氏曲线 5 5 25 5 2 用伯德图表示相位裕量和幅值裕量用伯德图表示相位裕量和幅值裕量 上述的相位裕量和幅值裕量也可在对数幅相图 Bode 图 上表示 对应于图 5 50 其 Bode 图如图 5 52 所示 图 5 50 中的增益穿越频率 对应于图 5 52 的零分贝线上的点 即开环对数幅频特性曲线与 轴的交点 图 5 50 中相位穿越频率 的点在 Bode 图上是 对应相角 的点 即相频曲线与 水平线的交点 从图 5 50 可见 相频特性曲 线上对应于增益穿越频率 的点位于 水平线的上方 图 5 52 稳定系统的 Bode 图图 5 53 不稳定系统的 Bode 图 在 Bode 图上 增益裕量常用分贝数表示 即 5 56 上式表示系统在到达临界稳定前 允许系统增益增大的倍数 对于稳定的系统 由于 1 即 为负 由式 5 56 可知 增益裕量为正 这时对数幅频特性曲线上对应 的点在 轴下方 如图 5 52 当系统不稳定时 相应地 可将图 5 51 绘制在 Bode 图上 如图 5 53 这时相位裕量和幅值裕量均是负的 增益裕量和相位裕量通常作为设计控制系统的频域性能指标 大的增益裕量和相位裕量表明 控制系统是非常稳定的 但此时控制系统的响应速度将是非常慢的 而当增益裕量接近 1 或 相位裕量接近零时 则对应一个高度振荡的系统 因此从工程的角度出发 一般控制系统设 计时采用如下的裕量范围是比较合适的 在 到 之间 增益裕量大于 6dB 同时需要指出 单独使用增益裕量或相位裕量作性能分析 都不足以说明系统的相对稳定性 必须同时给出这两个稳定裕量 对于大多数控制系统来说 这两个指标是统一的 但有时情 况并非如此 图 5 54a 图 5 54b 分别表示了这两种情况下的频率特性 图 5 54 开环控制系统的奈氏图 a 好的幅值裕量和差的相角裕量 b 好的相角裕量和差的幅值裕量 试求 1 K 1 时系统的相位裕量和增益裕量 2 要求通过增益 K 的调整 使系统的 增益裕量 相位裕量 5 5 35 5 3 对数幅频特性中频段与系统动态性能的关系对数幅频特性中频段与系统动态性能的关系 在分析控制系统的开环对数幅相频率特性时 习惯上将频率范围分为三个频段 低频段 中 频段和高频段 其中低频段反映了控制系统的静态特性 关于此点在 5 3 4 中我们作了分析 中频段则反映了系统的动态特性 这是控制设计中一个非常关心的问题 这将在下面作介绍 高频段则主要反映了系统的抗干扰能力 对动态性能影响不大 将不作介绍 图 5 56 对数幅频特性三个频段划分 中频段的主要参数有 剪切频率 相位裕量 和中频宽度h 对于图 5 56 所示系统 其中频宽度一般定义在斜率等于 靠近 处 5 57 一般要求最小相位系统的开环对数幅频特性在 处的斜率等于 如果在该处 的斜率等于或小于为 则对应的系统可能不稳定 或者系统即使稳定 但因相 位裕量较小 系统的稳定性也较差 下面通过二阶系统和三阶系统对上述结论进行说明 下面通过二阶系统和三阶系统对上述结论进行说明 设一标准二阶系统的开环传递函数为 5 58 式中 自然振荡频率 阻尼比 其中 为转角频率 则 1 当 时 如图 5 57a 示 阶跃响应是衰减较慢的振荡过程 2 当 时 如图 5 57b 示 阶跃响应是衰减较快的振荡过程 3 当 时 如图 5 57c 示 阶跃响应是接近无振荡的非周期过程 可见 对于二阶系统而言 尽管系统总是稳定的 但为使系统的阶跃响应无超调量或超调量 很小 应使开环系统的剪切频率位于 上 图 5 57 二阶系统幅频特性和单位阶跃响应 再设一个三阶系统的开环传函数为 5 59 取 K 0 1 1 10 100 得到如图 5 58 的幅频曲线 a b c d 由图可见 当 时 式 5 59 的对数幅频特性曲线如图 5 58 所示的曲线 剪切频率 在斜率为 的区段内 对照图 5 58 下部的相频特性曲线可知 相位裕量为 因 此闭环系统是稳定的 若开环放大系数K值减小 则对数幅频特性曲线向下垂直移动 这时 剪切频率 向左移动 注意 K 变化时 系统的相频特性曲线 不变 由图 5 58 可知 相位裕量 将增大 当剪切频率 移至斜率为 的区段内时 相位裕量 将更大 如图 5 58 的曲线 b 所示 反之 增大开环放大系数 K 剪切频率 将向右移 动 相位裕量 将减小 当 移至 时 为相位穿越频率 闭环系 统处于临界稳定 当 时 这时对数幅频特性曲线的中频段斜率仍为 如图 5 58 曲线 c 所示 因这时 为负值 所以闭环系统已不稳定了 如果 开环放大系数 K 继续加大 使剪切频率 落在对数幅频特性曲线斜率为 的区 段内 如图 5 58 曲线 b 所示 这时相位裕量 负 得更历害 系统将更加不稳定 图 5 58 二阶系统幅频特性和单位阶跃响应 根据上述分析 可得到如下结论 为使闭环系统稳定且系统的阶跃响应无超调量或或超 调很小 应使剪切频率 位于斜率为 的线段上 同时要有一定的中频宽度 中频段越宽 则阶跃响应越接近非周期过程 5 65 6 频域性能指标和时域性能指标的关系频域性能指标和时域性能指标的关系 频率响应法是通过系统的开环频率特性和闭环频率特性的一些特征量间接地表征系统瞬 态响应的性能 因而这些特征量又被称为频域性能指标 常用的频域性能指标包括 开环频 率特中的相位裕量 增益裕量 闭环频率特中的谐振峰值 频带宽度和谐振频率等 在时域 分析中 控制系统包括静态性能指标和动态性能指标 虽然这些频域性能指标没有时域性能 指标那样直观 但对于二阶系统而言 它们与时域性能指标间有着确定的对应关系 在高阶 系统中 只要存在一对闭环主导极点 则它们也有着近似的对应关系 5 6 15 6 1 开环频率特性中相位裕量与时域性能指标的关系开环频率特性中相位裕量与时域性能指标的关系 关于开环频率特性低频段与闭环系统静态性能的关系我们在 5 3 4 中已作了分析 此处 我们着重研究二阶系统的相位裕量 剪切频率 与阻尼比 间的关系 当