2019届福建省宁德市高三第一学期期末质量检测数学(文)试题(解析版)

2019届福建省宁德市高三第一学期期末质量检测数学（文）科试题一、单选题1已知集合，则（ ）A B C D【答案】A【解析】本道题计算集合B,然后结合交集运算性质,即可.【详解】,所以,故选A.【点睛】本道题考查了集合交集运算方法,较容易.2若，则的值为（ ）A-2 B2 C-4 D4【答案】D【解析】本道题结合复数四则运算,运用待定系数法,计算的值,即可.【详解】,解得,故选D.【点睛】本道题考查了复数的四则运算和待定系数法,难度较小.3已知是等差数列的前项和，且，则等于（ ）A50 B42 C38 D36【答案】B【解析】本道题结合等差数列性质可知也成等差数列,代入数据,即可.【详解】结合等差数列的性质可知也成等差数列,代入数据,可得,解得,故选B.【点睛】本道题考查了等差数列的性质,难度中等.4某校高一学段开设了四门不同的数学类选修课，甲、乙两位同学各自选择其中一门，每位同学选择每门数学类选修课的可能性相同，则这两位同学所选的课不同的概率为（ ）A B C D【答案】D【解析】本道题先计算总体种数,然后计算满足条件的选法,结合古典概型计算公式,即可.【详解】一共有,甲先选有4种,乙再选有3种,一共有12种,故概率为,故选D.【点睛】本道题考查了排列组合问题和概率计算方法,难度中等.5执行如图所示的程序框图，如果输入的，则输出的的值是（ ）A B C D【答案】B【解析】本道题不断代换x，直到，退出循环，计算y，即可。【详解】x=8，不满足条件，继续循环，x=6,x=4,退出循环，则，故选B。【点睛】本道题考查了程序框图意义，难度中等。6函数的图象（ ）A关于直线对称 B关于直线对称C关于点对称 D关于点对称【答案】A【解析】本道题化简，结合正弦函数的基本性质，计算对称轴和对称中心，即可。【详解】，则对称轴满足解得，故关于直线对称，对称中心满足，满足，故对称中心坐标为,，故选A。【点睛】本道题考查了正弦函数的基本性质，难度中等。7已知点，点为不等式组所表示平面区域上的任意一点，则的最小值为（ ）A B C1 D2【答案】B【解析】本道题结合不等式，绘制可行域，计算最小值，即可。【详解】结合不等式，绘制可行域，可得计算A点到该区域最小值，即计算点A到的最小值，故选B。【点睛】本道题考查了线性规划问题，难度中等。8已知，则（ ）A B C D【答案】C【解析】本道题结合1,2进行比较,即可得出大小关系.【详解】,故,故选C.【点睛】本题主要考查了对数、指数比较大小，难度中等。9某几何体三视图如图所示，则该几何体中的棱与面相互平行的有（ ）A2对 B3对 C4对 D5对【答案】C【解析】本道题结合三视图，还原直观图，结合直线与平面判定，即可。【详解】结合三视图，还原直观图，得到AB平行平面OCD,DC平行平面OBA，BC平行平面ODA，DA平行平面OBC，故有4对。故选C。【点睛】本道题考查了三视图还原直观图，难度中等。10已知函数，若函数有3个零点，则实数的取值范围是（ ）A B C D【答案】A【解析】本道题先绘制图像，然后将零点问题转化为交点问题，数形结合，计算a的范围，即可。【详解】绘制出的图像，有3个零点，令与有三个交点，则介于1号和2号之间，2号过原点，则，1号与相切，则，代入中，计算出，所以a的范围为，故选A。【点睛】本道题考查了数形结合思想和函数与函数交点个数问题，难度中等。11某市利用第十六届省运会的契机，鼓励全民健身，从2018年7月起向全市投放，两种型号的健身器材.已知7月投放型健身器材300台，型健身器材64台，计划8月起，型健身器材每月的投放量均为台，型健身器材每月的投放量比上一月多，若12月底该市，两种健身器材投放总量不少于2000台，则的最小值为（ ）A243 B172 C122 D74【答案】D【解析】本道题列表，然后求和，建立不等式，计算a的范围，即可。【详解】将每个月投放量列表，如下：89101112AaaaaaB计算出a的最小值为74，故选D.【点睛】本道题考查了等比数列求和问题，难度较小。12已知离心率为的椭圆：的左、右焦点分别为，过点且斜率为1的直线与椭圆在第一象限内的交点为，则到直线，轴的距离之比为（ ）A B C D【答案】A【解析】结合椭圆性质，得到a,b,c的关系，设，用x表示,结合余弦定理，用c表示x，结合三角形面积公式，即可。【详解】结合，所以，设，对三角形运用余弦定理得到，代入，得到，即，运用三角形面积相等设到直线距离为d，则，代入，得到，所以到直线，轴的距离之比为【点睛】本道题考查了余弦定理和三角形面积计算公式，难度较大。二、填空题13已知是双曲线：的一个焦点，则的渐近线方程为_【答案】【解析】本道题结合焦点坐标,计算出m，即可。【详解】,解得,所以双曲线方程为,所以渐近线方程为【点睛】本道题考查了双曲线的基本性质，难度较小。 14若函数是奇函数，则实数的值为_【答案】2【解析】由题意结合奇函数的性质求解实数a的值即可.【详解】设，则，由函数的解析式可得：，由奇函数的定义可知：，则：，故，结合题意可得：.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，分段函数的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15边长为6的正三角形中，点满足，则的值为_【答案】30【解析】本道题利用向量表示,结合向量运算,即可.【详解】,所以【点睛】本道题考查了向量的线性运算,难度较小.16现有编号为1，2，3，100的100把锁，利用中国剩余定理的原理设置开锁密码，规则为：将锁的编号依次除以3，5，7所得的三个余数作为该锁的开锁密码，这样，每把锁都有一个三位数字的开锁密码.例如，编号为52的锁所对应的开锁密码是123，开锁密码为232所对应的锁的编号是23.若一把锁的开锁密码为203，则这把锁的编号是_【答案】80【解析】本道题一一列举，把满足条件的编号一一排除，即可。【详解】该数可以表示为，故该数一定是5的倍数，所以5的倍数有5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,55,60,65,70,75,80,85,90,95,100，该数满足减去3能够被7整除，只有10,45,80，而同时要满足减去2被3整除，所以只有80.【点睛】本道题考查了列举法计算锁编号问题，难度一般。三、解答题17的内角，所对的边分别为，已知.（）求；（）若，且的面积为，求的周长.【答案】（）（）【解析】解法一：（I）运用正弦定理和正弦两角和公式，处理式子，计算B的大小，即可。（II）结合三角形面积计算公式，得到的大小，运用余弦定理，计算b，即可。解法二：（I）运用余弦定理，处理原式，计算角B的大小，即可（II）结合三角形面积计算公式，计算ac的值，结合已知条件，计算a,c的大小，结合余弦定理，得到b的大小，计算周长，即可。【详解】解法一：（）在中，得，即，.（）依题意得，得.又，得，的周长为.解法二：（）在中，化简得，.（）依题意得，得.又，解得或.，得，的周长为.【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理、面积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想等.18如图，在三棱锥中，平面平面，为的中点.（）证明：平面；（）若线段上的点满足，求棱锥的体积.【答案】（）详见解析（）【解析】解法一：（I）证明BC分别垂直平面PAC的两条直线，结合直线与平面垂直的判定，即可。（II）结合直线与平面垂直判定，计算得到MG垂直平面ABC，进而计算面积，利用，即可。解法二：（I）同解法一（II）结合直线与平面垂直判定，得到平面，利用【详解】解法一：（）在中，.连接为的中点，.又平面平面，平面平面，平面.平面，.又，平面.（）在中，.过作于，则.平面，平面.，.由（）得平面， .解法二：（）同解法一（）由（）得平面，平面.又为的中点，三棱锥的高.，. .【点睛】本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系、平面与平面位置关系，几何体的体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等.19为打赢脱贫攻坚战，解决脱贫问题，政府重点扶持扶贫工厂.当地对某扶贫工厂进行设备改造，为分析设备改造前后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取100件产品作为样本，检测质量指标值.该产品为次品、合格品、优等品所对应的指标值范围分别为，.设备改造前的样本的频率分布直方图如图所示，设备改造后的样本的频数分布表如下所示.质量指标值频数14473810（）根据以上数据，完成以下列联表，并判断是否有的把握认为设备改造与产品为次品有关？次品非次品合计改造前改造后合计（）若工人的月工资是由基本工资1000元与效益工资两部分组成.效益工资实施细则如下：每生产一件产品是合格品的奖50元，是优等品的奖100元，是次品的扣20元.将频率视为概率，估计设备改造后，一个月生产60件产品的工人月工资为多少元？附：0.1500.1000.0500.0250.0102.0722.7063.8415.0246.635【答案】（）有把握（）4090【解析】（I）根据题意，完善表格，结合卡方计算公式，即可。（II）分别计算出三种品格的产品对应的工资，相加，即可。【详解】解：（）根据图表得到列联表：次品非次品合计设备改造前1585100设备改造后595100合计20180200将列联表中的数据代入公式计算得：.有的把握认为设备改造与产品为次品有关.（）优等品效益工资：（元），合格品效益工资：（元），次品效益工资：（元），工人的月工资约为（元），设备改造后，一个月生产60件产品的工人月工资大约为4090元.【点睛】本小题主要考查了频率分布直方图，独立性检验原理，函数等基础知识，考查数据分析能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等.20在平面直角坐标系中，过动点作直线的垂线，垂足为，且满足，其中为坐标原点，动点的轨迹为曲线.（）求曲线的方程；（）过点作与轴不平行的直线，交曲线于，两点，点，记，分别为，的斜率，求证：为定值.【答案】（）（）详见解析【解析】解法一：（I）用x,y分别表示，结合，构造等式，即可。（II）设出直线l的方程，代入抛物线方程，设出M,N的坐标，结合根与系数关系，计算，即可。解法二：（I）设出P,Q坐标，结合，建立方程，即可。（II）设出直线l的方程，代入抛物线方程，设出M,N的坐标，结合根与系数关系，计算，即可。解法三（I）利用向量数量积关系，建立方程，计算结果，即可。（II）与解法一、二相同。【详解】解法一：（）设，则，.，代入整理得，曲线的方程为.（）设直线的方程为，联立，整理得，设，则，为定值.解法二：（）设，则，.整理得，曲线的方程为.（）依题意得，直线的方程为，联立，整理得，设，则，为定值.解法三：（）设，则，.整理得，曲线的方程为.（）同解法一，解法二.【点睛】本小题主要考查直线、抛物线，直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，考查考生分析问题和解决问题的能力.21已知函数，曲线在原点处的切线斜率为-2.（）求实数，的值；（）若，求证：当时，.【答案】（），；（）详见解析【解析】解法一：（1）计算导数，结合原点坐标，建立方程，即可。（2）构造函数，针对a取不同范围，进行讨论，判定与0的关系，即可。解法二：（1）解法一相同（2）构造函数，结合该函数导数，判断单调性，计算范围，即可。【详解】解法一：（）依题意得，又的图象在原点处的切线斜率为-2，即，.（）当时，设，且.当时，在定义域上单调递减，当时，恒成立，即.当，时，.又，恒成立，即.，时，.综上所述，若，当时，.解法二：（）同解法一（）令当时，.令，在单调递减.得，当时，.【点睛】本小题主要考查导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等.22在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数），以该直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（）分别求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；（）设直线交曲线于，两点，交曲线于，两点，求的长.【答案】（）曲线的极坐标方程为：；的直角坐标方程为：；（）【解析】（I）消去参数，即可得到曲线的直角坐标方程，结合，即可得到曲线的极坐标方程。（II）计算直线l的直角坐标方程和极坐标方程，计算长，即可。【详解】解法一：（）曲线：（为参数）可化为直角坐标方程：，即，可得，所以曲线的极坐标方程为：.曲线：，即，则的直角坐标方程为：.（）直线的直角坐标方程为，所以的极坐标方程为.联立，得，联立，得，.解法二：（）同解法一（）直线的直角坐标方程为，联立，解得，联立，解得，所以.【点睛】本小题考查直线和圆的极坐标方程、参数方程等基