中考翻折问题答案解析

精品文档 1欢迎下载 翻折问题翻折问题 解答题综合解答题综合 1 AOB 在平面直角坐标系中的位置如图所示 其中 A 0 3 B 2 0 O 是坐标原点 1 将 AOB 先作其关于 x 轴的对称图形 再把新图形向右平移 3 个单位 在图中画出两次变换后所得的图形 AO1B1 2 若点 M x y 在 AOB 上 则它随上述两次变换后得到点 M1 则点 M1的坐标是 2 1 数学课上 老师出了一道题 如图 Rt ABC 中 C 90 求证 B 30 请你完成证明过 程 2 如图 四边形 ABCD 是一张边长为 2 的正方形纸片 E F 分别为 AB CD 的中点 沿过点 D 的折痕将纸片 翻折 使点 A 落在 EF 上的点 A 处 折痕交 AE 于点 G 请运用 1 中的结论求 ADG 的度数和 AG 的长 3 若矩形纸片 ABCD 按如图 所示的方式折叠 B D 两点恰好重合于一点 O 如图 当 AB 6 求 EF 的长 3 如图 矩形 ABCD 中 AB 6 BC 8 点 E 是射线 CB 上的一个动点 把 DCE 沿 DE 折叠 点 C 的对应点为 C 1 若点 C 刚好落在对角线 BD 上时 BC 2 若点 C 刚好落在线段 AB 的垂直平分线上时 求 CE 的长 3 若点 C 刚好落在线段 AD 的垂直平分线上时 求 CE 的长 4 如图 矩形纸片 ABCD 将 AMP 和 BPQ 分别沿 PM 和 PQ 折叠 AP AM 点 A 和点 B 都与点 E 重合 再将 CQD 沿 DQ 折叠 点 C 落在线段 EQ 上点 F 处 1 判断 AMP BPQ CQD 和 FDM 中有哪几对相似三角形 不需说明理由 2 如果 AM 1 sin DMF 求 AB 的长 精品文档 2欢迎下载 5 如图 在矩形 ABCD 中 点 E 在边 CD 上 将该矩形沿 AE 折叠 使点 D 落在边 BC 上的点 F 处 过点 F 作分 FG CD 交 AE 于点 G 连接 DG 1 求证 四边形 DEFG 为菱形 2 若 CD 8 CF 4 求的值 6 如图 1 一张菱形纸片 EHGF 点 A D C B 分别是 EF EH HG GF 边上的点 连接 AD DC CB AB DB 且 AD AB 如图 2 若将 FAB AED DHC CGB 分别沿 AB AD DC CB 对折 点 E F 都落在 DB 上的 点 P 处 点 H G 都落在 DB 上的点 Q 处 1 求证 四边形 ADCB 是矩形 2 求菱形纸片 EHGF 的面积和边长 7 1 操作发现 如图 在 Rt ABC 中 C 2 B 90 点 D 是 BC 上一点 沿 AD 折叠 ADC 使得点 C 恰好落在 AB 上的点 E 处 请写出 AB AC CD 之间的关系 2 问题解决 如图 若 1 中 C 90 其他条件不变 请猜想 AB AC CD 之间的关系 并证明你的结论 3 类比探究 如图 在四边形 ABCD 中 B 120 D 90 AB BC AD DC 连接 AC 点 E 是 CD 上一点 沿 AE 折叠 使得点 D 正好落在 AC 上的 F 处 若 BC 直接写出 DE 的长 精品文档 3欢迎下载 8 如图 现有一张边长为 4 的正方形纸片 ABCD 点 P 为 AD 边上的一点 不与点 A 点 D 重合 将正方形纸片折 叠 使点 B 落在 P 处 点 C 落在 G 处 PG 交 DC 于 H 折痕为 EF 联结 BP BH 1 求证 APB BPH 2 求证 AP HC PH 3 当 AP 1 时 求 PH 的长 9 如图 折叠矩形纸片 ABCD 使点 B 落在 AD 边上一点 E 处 折痕的两端点分别在边 AB BC 上 含端点 且 AB 6 BC 10 设 AE x 1 当 BF 的最小值等于 时 才能使点 B 落在 AD 上一点 E 处 2 当点 F 与点 C 重合时 求 AE 的长 3 当 AE 3 时 点 F 离点 B 有多远 10 如图 三角形纸片中 AB 8cm BC 6cm AC 5cm 沿过点 B 的直线折叠这个三角形 使点 C 落在 AB 边上的点 E 处 折痕为 BD 求 ADE 的周长 11 问题提出 如果我们身边没有量角器和三角板 如何作 15 大小的角呢 实践操作 如图 第一步 对折矩形纸片 ABCD 使 AD 与 BC 重合 得到折痕 EF 把纸片展开 得到 AD EF BC 第二步 再一次折叠纸片 使点 A 落在 EF 上的点 N 处 并使折痕经过点 B 得到折痕 BM 折痕 BM 与折痕 EF 相交 于点 P 连接线段 BN PA 得到 PA PB PN 问题解决 1 求 NBC 的度数 2 通过以上折纸操作 还得到了哪些不同角度的角 请你至少再写出两个 除 NBC 的度数以外 3 你能继续折出 15 大小的角了吗 说说你是怎么做的 12 已知矩形 ABCD 中 AB 3cm AD 4cm 点 E F 分别在边 AD BC 上 连接 B E D F 分别把 Rt BAE 和 Rt DCF 沿 BE DF 折叠成如图所示位置 精品文档 4欢迎下载 1 若得到四边形 BFDE 是菱形 求 AE 的长 2 若折叠后点 A 和点 C 恰好落在对角线 BD 上 求 AE 的长 13 如图 1 矩形纸片 ABCD 的边长 AB 4cm AD 2cm 同学小明现将该矩形纸片沿 EF 折痕 使点 A 与点 C 重合 折痕后在其一面着色 如图 2 观察图形对比前后变化 回答下列问题 1 GF FD 直接填写 2 判断 CEF 的形状 并说明理由 3 小明通过此操作有以下两个结论 四边形 EBCF 的面积为 4cm2 整个着色部分的面积为 5 5cm2 运用所学知识 请论证小明的结论是否正确 14 操作 准备一张长方形纸 按下图操作 1 把矩形 ABCD 对折 得折痕 MN 2 把 A 折向 MN 得 Rt AEB 3 沿线段 EA 折叠 得到另一条折痕 EF 展开后可得到 EBF 探究 EBF 的形状 并说明理由 15 1 如图 1 将 ABC 纸片沿 DE 折叠 使点 A 落在四边形 BCDE 内点 A 的位置 若 A 40 求 1 2 的度数 2 通过 1 的计算你发现 1 2 与 A 有什么数量关系 请写出这个数量关系 并说明这个数量关系的正确性 3 将图 1 中 ABC 纸片的三个内角都进行同样的折叠 如果折叠后三个顶点 A B C 重合于一点 O 时 如图 2 则图中 1 2 3 4 5 6 如果折叠后三个顶点 A B C 不重合 如图 3 则 中的关于 1 2 3 4 5 6 的结论是否仍然成立 请说明你的理由 精品文档 5欢迎下载 16 如图 长方形纸片 ABCD 点 E F 分别在边 AB CD 上 连接 EF 将 BEF 对折 点 B 落在直线 EF 上的 B 处 得到折痕 EC 将点 A 落在直线 EF 上的点 A 处 得到折痕 EN 1 若 BEB 110 则 BEC AEN BEC AEN 2 若 BEB m 则 1 中 BEC AEN 的值是否改变 请说明你的理由 3 将 ECF 对折 点 E 刚好落在 F 处 且折痕与 B C 重合 求 DNA 17 如图 ABC 中 B 60 C 78 点 D 在 AB 边上 点 E 在 AC 边上 且 DE BC 将 ADE 沿 DE 折叠 点 A 对应 点为 F 点 1 若点 A 落在 BC 边上 如图 1 求证 BDF 是等边三角形 2 若点 A 落在三角形外 如图 2 且 CF AB 求 CEF 各内角的度数 18 如图 1 四边形 OABC 中 OA a OC 3 BC 2 AOC BCO 90 经过点 O 的直线 l 将四边形分成两部分 直 线 l 与 OC 所成的角设为 将四边形 OABC 的直角 OCB 沿直线 l 折叠 点 C 落在点 D 处 如图 1 1 若折叠后点 D 恰为 AB 的中点 如图 2 则 2 若 45 四边形 OABC 的直角 OCB 沿直线 l 折叠后 点 B 落在点四边形 OABC 的边 AB 上的 E 处 如图 3 求 a 的值 19 在 ABC 中 C 90 AC 6 BC 8 D E 分别是斜边 AB 和直角边 CB 上的点 把 ABC 沿着直线 DE 折叠 顶点 B 的对应点是 B 1 如图 1 如果点 B 和顶点 A 重合 求 CE 的长 2 如图 2 如果点 B 和落在 AC 的中点上 求 CE 的长 精品文档 6欢迎下载 20 把一张矩形纸片 ABCD 按如图方式折叠 使顶点 B 和 D 重合 折痕为 EF 1 连接 BE 求证 四边形 BFDE 是菱形 2 若 AB 8cm BC 16cm 求线段 DF 和 EF 的长 21 如图 矩形 ABCD 中 AB 8cm BC 6cm 动点 P 从点 A 出发 以每秒 1cm 的速度沿线段 AB 向点 B 运动 连接 DP 把 A 沿 DP 折叠 使点 A 落在点 A 处 求出当 BPA 为直角三角形时 点 P 运动的时间 22 在矩形 ABCD 中 a 点 G H 分别在边 AB DC 上 且 HA HG 点 E 为 AB 边上的一个动点 连接 HE 把 AHE 沿直线 HE 翻折得到 FHE 如图 1 当 DH DA 时 1 填空 HGA 度 2 若 EF HG 求 AHE 的度数 并求此时 a 的最小值 23 如图 1 ABC 中 沿 BAC 的平分线 AB1折叠 点 B 落在 A1处 剪掉重叠部分 将余下部分沿 B1A1C 的平分 线 A1B2折叠 点 B1落在 A2处 剪掉重叠部分 将余下部分沿 BnAnC 的平分线 AnBn 1折叠 点 Bn与点 C 重合 无论折叠多少次 只要最后一次恰好重合 BAC 是 ABC 的好角 精品文档 7欢迎下载 小丽展示了确定 BAC 是 ABC 的好角的两种情形 情形一 如图 2 沿等腰三角形 ABC 顶角 BAC 的平分线 AB1折 叠 点 B 与点 C 重合 情形二 如图 3 沿 BAC 的平分线 AB1折叠 剪掉重叠部分 将余下部分沿 B1A1C 的平分 线 A1B2折叠 此时点 B1与点 C 重合 1 情形二中 B 与 C 的等量关系 2 若经过 n 次折叠 BAC 是 ABC 的好角 则 B 与 C 的等量关系 3 如果一个三角形的最小角是 4 直接写出三角形另外两个角的度数 使该三角形的三个角均是此三角形的好 角 答 24 在矩形纸片 ABCD 中 AB 6 BC 8 将矩形纸片折叠 使点 B 与点 D 重合 如图 1 求证 四边形 BEDF 是 菱形 2 求折痕 EF 的长 25 如图 1 ABCD 是一张矩形纸片 AD BC 1 AB CD 5 在矩形 ABCD 的边 AB 上取一点 M 在 CD 上取一点 N 将 纸片沿 MN 折叠 使 MB 与 DN 交于点 K 得到 MNK KB 交 MN 于 O 1 若 1 80 求 MKN 的度数 2 当 B 与 D 重合时 画出图形 并求出 KON 的度数 3 MNK 的面积能否小于 2 若能 求出此时 1 的度数 若不能 试说明理由 精品文档 8欢迎下载 26 七年级科技兴趣小组在 快乐星期四 举行折纸比赛 折叠过程是这样的 阴影部分表示纸条的反面 如果由信纸折成的长方形纸条 图 长为 26 厘米 回答下列问题 1 如果长方形纸条的宽为 2 厘米 并且开始折叠时起点 M 与点 A 的距离为 3 厘米 那么在图 中 BM 厘米 在图 中 BM 厘米 2 如果信纸折成的长方形纸条宽为 2cm 为了保证能折成图 形状 即纸条两端均刚好到达点 P 纸条长至少 多少厘米 纸条长最小时 长方形纸条面积是多少 3 如果不但要折成图 的形状 而且为了美观 希望纸条两端超出点 P 的长度相等 即最终图形是对称图形 假设长方形纸条的宽为 x 厘米 试求在开始折叠时 图 起点 M 与点 A 的距离 用含 x 的代数式表示 温馨 提示 别忘了用草稿纸来折一折哦 27 将四张形状 大小相同的长方形纸片分别折叠成如图所示的图形 请仔细观察重叠部分的图形特征 并解决 下列问题 1 观察图 1 和 2 有怎样的关系 并说明你的依据 2 猜想图 中重叠部分图形 MBD 的形状 按边 验证你的猜想 3 若图 中 1 60 猜想重叠部分图形 MEF 的形状 按边 验证你的猜想 28 如图 长方形纸片 ABCD 中 AB 10 将纸片折叠 使顶点 B 落在边 AD 上的 E 点处 折痕的一端 G 点在边 BC 上 1 如图 1 当折痕的另一端 F 在 AB 边上且 AE 5 时 求 AF 的长 2 如图 2 当折痕的另一端 F 在 AD 边上且 BG 13 时 求 AF 的长 29 矩形 ABCD 沿 EF 折叠 使点 B 落在 AD 边上的 B 处 再沿 B G 折叠四边形 使 B D 边与 B F 重合 且 B D 过点 F 已知 AB 4 AD 1 1 试探索 EF 与 B G 的位置关系 并说明理由 精品文档 9欢迎下载 2 若四边形 EFGB 是菱形 求 BFE 的度数 3 若点 D 与点 F 重合 求此时图形重叠部分的面积 30 1 操作发现 如图 在 Rt ABC 中 C 2 B 90 点 D 是 BC 上一点 沿 AD 折叠 ADC 使得点 C 恰好落在 AB 上的点 E 处 请写出 AB AC CD 之间的关系 2 问题解决 如图 若 1 中 C 90 其他条件不变 请猜想 AB AC CD 之间的关系 并证明你的结论 3 类比探究 如图 在四边形 ABCD 中 B 120 D 90 AB BC AD DC 连接 AC 点 E 是 CD 上一点 沿 AE 折叠 使得点 D 正好落在 AC 上的点 F 处 若 BC 3 直接写出 DE 的长 精品文档 10欢迎下载 翻折问题翻折问题 解答题综合解答题综合 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 解答题 共一 解答题 共 3030 小题 小题 1 2016 安徽模拟 AOB 在平面直角坐标系中的位置如图所示 其中 A 0 3 B 2 0 O 是坐标原点 1 将 AOB 先作其关于 x 轴的对称图形 再把新图形向右平移 3 个单位 在图中画出两次变换后所得的图形 AO1B1 2 若点 M x y 在 AOB 上 则它随上述两次变换后得到点 M1 则点 M1的坐标是 x 3 y 分析 1 首先确定 A B C 三点关于 x 轴的对称点位置 再向右平移 3 个单位找到对应点位置 然后再连接 即可 2 根据关于 x 轴对称的点的坐标特点 横坐标不变 纵坐标相反可得点 M x y 关于 x 轴的对称图形上的点 的坐标为 x y 再向右平移 3 个单位 点的横坐标 3 纵坐标不变 解答 解 1 如图所示 2 点 M x y 关于 x 轴的对称图形上的点的坐标为 x y 再向右平移 3 个单位得到点 M1的坐标是 x 3 y 故答案为 x 3 y 点评 此题主要考查了作图 平移变换和轴对称变换 关键是掌握点的坐标的变化规律 精品文档 11欢迎下载 2 2016 贵阳模拟 1 数学课上 老师出了一道题 如图 Rt ABC 中 C 90 求证 B 30 请你完成证明过程 2 如图 四边形 ABCD 是一张边长为 2 的正方形纸片 E F 分别为 AB CD 的中点 沿过点 D 的折痕将纸片 翻折 使点 A 落在 EF 上的点 A 处 折痕交 AE 于点 G 请运用 1 中的结论求 ADG 的度数和 AG 的长 3 若矩形纸片 ABCD 按如图 所示的方式折叠 B D 两点恰好重合于一点 O 如图 当 AB 6 求 EF 的长 分析 1 Rt ABC 中 根据 sinB 即可证明 B 30 2 求出 FA D 的度数 利用翻折变换的性质可求出 ADG 的度数 在 Rt A FD 中求出 A F 得出 A E 在 Rt A EG 中可求出 A G 利用翻折变换的性质可得出 AG 的长度 3 先判断出 AD AC 得出 ACD 30 DAC 60 从而求出 AD 的长度 根据翻折变换的性质可得出 DAF FAO 30 在 Rt ADF 中求出 DF 继而得出 FO 同理可求出 EO 再由 EF EO FO 即可得出答案 解答 1 证明 Rt ABC 中 C 90 sinB B 30 2 解 正方形边长为 2 E F 为 AB CD 的中点 EA FD 边长 1 沿过点 D 的抓痕将纸片翻折 使点 A 落在 EF 上的点 A 处 A D AD 2 FA D 30 可得 FDA 90 30 60 A 沿 GD 折叠落在 A 处 ADG A DG AG A G ADG 15 A D 2 FD 1 A F EA EF A F 2 EA G DA F 180 GA D 90 精品文档 12欢迎下载 EA G 90 DA F 90 30 60 EGA 90 EA G 90 60 30 则 A G AG 2EA 2 2 3 解 折叠后 B D 两点恰好重合于一点 O AO AD CB CO DA D 90 DCA 30 AB CD 6 在 Rt ACD 中 tan30 则 AD DC tan30 6 2 DAF FAO DAO 30 tan30 DF AD 2 DF FO 2 同理 EO 2 EF EO FO 4 点评 本题考查了翻折变换的知识 涉及了含 30 角的直角三角形的性质 平行四边形的性质 综合考察的知识 点较多 注意将所学知识融会贯通 3 2016 贵阳模拟 如图 矩形 ABCD 中 AB 6 BC 8 点 E 是射线 CB 上的一个动点 把 DCE 沿 DE 折叠 点 C 的对应点为 C 1 若点 C 刚好落在对角线 BD 上时 BC 4 2 若点 C 刚好落在线段 AB 的垂直平分线上时 求 CE 的长 3 若点 C 刚好落在线段 AD 的垂直平分线上时 求 CE 的长 分析 1 根据点 B C D 在同一直线上得出 BC BD DC BD DC 求出即可 2 利用垂直平分线的性质得出 CC DC DC 则 DC C 是等边三角形 进而利用勾股定理得出答案 3 利用 当点 C 在矩形内部时 当点 C 在矩形外部时 分别求出即可 解答 解 1 如图 1 点 B C D 在同一直线上 精品文档 13欢迎下载 BC BD DC BD DC 10 6 4 故答案为 4 2 如图 2 连接 CC 点 C 在 AB 的垂直平分线上 点 C 在 DC 的垂直平分线上 CC DC DC 则 DC C 是等边三角形 设 CE x 易得 DE 2x 由勾股定理得 2x 2 x2 62 解得 x 2 即 CE 的长为 2 3 作 AD 的垂直平分线 交 AD 于点 M 交 BC 于点 N 分两种情况讨论 当点 C 在矩形内部时 如图 3 点 C 在 AD 的垂直平分线上 DM 4 DC 6 由勾股定理得 MC 2 NC 6 2 设 EC y 则 C E y NE 4 y 故 NC 2 NE2 C E2 即 6 2 2 4 y 2 y2 解得 y 9 3 即 CE 9 3 当点 C 在矩形外部时 如图 4 点 C 在 AD 的垂直平分线上 DM 4 DC 6 由勾股定理得 MC 2 NC 6 2 设 EC z 则 C E a NE z 4 故 NC 2 NE2 C E2 即 6 2 2 z 4 2 z2 解得 z 9 3 即 CE 9 3 综上所述 CE 的长为 9 3 精品文档 14欢迎下载 点评 此题主要考查了矩形的性质 翻折变换的性质 勾股定理等知识 利用数形结合以及分类讨论得出是解 题关键 4 2015 南充 如图 矩形纸片 ABCD 将 AMP 和 BPQ 分别沿 PM 和 PQ 折叠 AP AM 点 A 和点 B 都与点 E 重 合 再将 CQD 沿 DQ 折叠 点 C 落在线段 EQ 上点 F 处 1 判断 AMP BPQ CQD 和 FDM 中有哪几对相似三角形 不需说明理由 2 如果 AM 1 sin DMF 求 AB 的长 分析 1 由矩形的性质得 A B C 90 由折叠的性质和等角的余角相等 可得 BPQ AMP DQC 所以 AMP BPQ CQD 精品文档 15欢迎下载 2 先证明 MD MQ 然后根据 sin DMF 设 DF 3x MD 5x 表示出 AP BP BQ 再根据 AMP BPQ 列 出比例式解方程求解即可 解答 解 1 AMP BPQ CQD 四边形 ABCD 是矩形 A B C 90 根据折叠的性质可知 APM EPM EPQ BPQ APM BPQ EPM EPQ 90 APM AMP 90 BPQ AMP AMP BPQ 同理 BPQ CQD 根据相似的传递性 AMP CQD 2 AD BC DQC MDQ 根据折叠的性质可知 DQC DQM MDQ DQM MD MQ AM ME BQ EQ BQ MQ ME MD AM sin DMF 设 DF 3x MD 5x BP PA PE BQ 5x 1 AMP BPQ 解得 x 舍 或 x 2 AB 6 点评 本题主要考查了相似三角形的判定与性质 矩形的性质 翻折的性质以及锐角三角函数的综合运用 在 求 AB 长的问题中 关键是恰当的设出未知数表示出一对相似三角形的对应边列比例式 精品文档 16欢迎下载 5 2015 漳州 如图 在矩形 ABCD 中 点 E 在边 CD 上 将该矩形沿 AE 折叠 使点 D 落在边 BC 上的点 F 处 过 点 F 作分 FG CD 交 AE 于点 G 连接 DG 1 求证 四边形 DEFG 为菱形 2 若 CD 8 CF 4 求的值 分析 1 根据折叠的性质 易知 DG FG ED EF 1 2 由 FG CD 可得 1 3 易证 FG FE 故由四边相等 证明四边形 DEFG 为菱形 2 在 Rt EFC 中 用勾股定理列方程即可 CD CE 从而求出的值 解答 1 证明 由折叠的性质可知 DG FG ED EF 1 2 FG CD 2 3 FG FE DG GF EF DE 四边形 DEFG 为菱形 2 解 设 DE x 根据折叠的性质 EF DE x EC 8 x 在 Rt EFC 中 FC2 EC2 EF2 即 42 8 x 2 x2 解得 x 5 CE 8 x 3 点评 本题主要考查了折叠的性质 菱形的判定以及勾股定理 熟知折叠的性质和菱形的判定方法是解答此题 的关键 6 2015 江西校级模拟 如图 1 一张菱形纸片 EHGF 点 A D C B 分别是 EF EH HG GF 边上的点 连接 AD DC CB AB DB 且 AD AB 如图 2 若将 FAB AED DHC CGB 分别沿 AB AD DC CB 对折 点 E F 都落在 DB 上的点 P 处 点 H G 都落在 DB 上的点 Q 处 1 求证 四边形 ADCB 是矩形 2 求菱形纸片 EHGF 的面积和边长 精品文档 17欢迎下载 分析 1 由对折可知 EAB PAB FAD PAD 利用等角关系可求出 BAD 90 同理可求出 ADC ABC 90 即可得出四边形 ADCB 是矩形 2 由对折可知 S菱形 EHGF 2S矩形 ADCB即可求出 EHGF 的面积 由对折可得出点 A C 为中点 连接 AC 得 FG AC BD 利用勾股定理就可得出边长 解答 1 证明 由对折可知 EAB PAB FAD PAD 2 PAB PAD 180 即 BAD PAB PAD 90 同理可得 ADC ABC 90 四边形 ADCB 是矩形 2 解 由对折可知 AEB APB AFD APD CGD CQD CHB CQB S菱形 EHGF 2S矩形 ADCB 又 AE AP AF A 为 EF 的中点 同理有 C 为 GH 的中点 即 AF CG 且 AF CG 如图 2 连接 AC 四边形 ACGF 为平行四边形 得 FG AC BD 点评 本题主要考查了翻折变换 勾股定理 菱形的性质及矩形的判定 解题的关键是折叠前后图形的形状和 大小不变 位置变化 对应边和对应角相等 7 2015 平顶山二模 1 操作发现 如图 在 Rt ABC 中 C 2 B 90 点 D 是 BC 上一点 沿 AD 折叠 ADC 使得点 C 恰好落在 AB 上的点 E 处 请写出 AB AC CD 之间的关系 AB AC CD 2 问题解决 如图 若 1 中 C 90 其他条件不变 请猜想 AB AC CD 之间的关系 并证明你的结论 3 类比探究 如图 在四边形 ABCD 中 B 120 D 90 AB BC AD DC 连接 AC 点 E 是 CD 上一点 沿 AE 折叠 使得点 D 正好落在 AC 上的 F 处 若 BC 直接写出 DE 的长 精品文档 18欢迎下载 分析 1 如图 设 CD t 由 C 2 B 90 易得 ABC 为等腰直角三角形 则 AC BC AB AC 再根据折叠的 性质得 DC DE AED C 90 又可判断 BDE 为等腰直角三角形 所以 BD DE 则 BD t AC BC t t 1 t AB 1 t 2 t 从而得到 AB AC CD 2 如图 根据折叠的性质得 DC DE AED C AE AC 而 C 2 B 则 AED 2 B 根据三角形外角性质得 AED B BDE 所以 B BDE 则 EB ED 所以 ED CD 于是得到 AB AE BE AC CD 3 作 BH AC 于 H 如图 设 DE x 利用 1 的结论得 AC 2 x 根据等腰三角形的性质由 BA BC CBA 120 得到 BCA BAC 30 且 CH AH AC x 在 Rt BCH 中 利用 30 度的余弦得 cos30 即x 2 2 然后解方程求出 x 即可 解答 解 1 如图 设 CD t C 2 B 90 B 45 BAC 45 ABC 为等腰直角三角形 AC BC AB AC AD 折叠 ADC 使得点 C 恰好落在 AB 上的点 E 处 DC DE AED C 90 BDE 为等腰直角三角形 BD DE BD t AC BC t t 1 t AB 1 t 2 t AB AC CD 故答案为 AB AC CD 2 AB AC CD 理由如下 如图 AD 折叠 ADC 使得点 C 恰好落在 AB 上的点 E 处 DC DE AED C AE AC C 2 B AED 2 B 而 AED B BDE B BDE EB ED ED CD AB AE BE AC CD 3 作 BH AC 于 H 如图 设 DE x 由 1 的结论得 AC 2 x BA BC CBA 120 BCA BAC 30 BH AC CH AH AC x 精品文档 19欢迎下载 在 Rt BCH 中 cos30 x 2 2 解得 x 即 DE 的长为 点评 本题考查了折叠的性质 折叠是一种对称变换 它属于轴对称 折叠前后图形的形状和大小不变 位置 变化 对应边和对应角相等 也考查了等腰三角形的性质和解直角三角形 8 2015 潍坊校级一模 如图 现有一张边长为 4 的正方形纸片 ABCD 点 P 为 AD 边上的一点 不与点 A 点 D 重合 将正方形纸片折叠 使点 B 落在 P 处 点 C 落在 G 处 PG 交 DC 于 H 折痕为 EF 联结 BP BH 1 求证 APB BPH 2 求证 AP HC PH 3 当 AP 1 时 求 PH 的长 分析 1 根据翻折变换的性质得出 PBC BPH 进而利用平行线的性质得出 APB PBC 即可得出答案 2 首先证明 ABP QBP 进而得出 BCH BQH 即可得出 AP HC PH 3 设 QH HC x 则 DH 4 x 在 Rt PDH 中 根据勾股定理列出关于 x 的方程求解即可 解答 1 证明 PE BE EPB EBP 又 EPH EBC 90 EPH EPB EBC EBP 即 BPH PBC 又 四边形 ABCD 为正方形 AD BC APB PBC APB BPH 2 证明 过 B 作 BQ PH 垂足为 Q 由 1 知 APB BPH 在 ABP 与 QBP 中 精品文档 20欢迎下载 ABP QBP AAS AP QP BA BQ 又 AB BC BC BQ 又 C BQH 90 BCH 和 BQH 是直角三角形 在 Rt BCH 与 Rt BQH 中 Rt BCH Rt BQH HL CH QH AP HC PH 3 解 由 2 知 AP PQ 1 PD 3 设 QH HC x 则 DH 4 x 在 Rt PDH 中 PD2 DH2 PH2 即 32 4 x 2 x 1 2 解得 x 2 4 PH 3 4 点评 此题主要考查了翻折变换的性质以及全等三角形的判定与性质和勾股定理等知识 熟练利用全等三角形 的判定得出对应相等关系是解题关键 9 2015 江西样卷 如图 折叠矩形纸片 ABCD 使点 B 落在 AD 边上一点 E 处 折痕的两端点分别在边 AB BC 上 含端点 且 AB 6 BC 10 设 AE x 1 当 BF 的最小值等于 6 时 才能使点 B 落在 AD 上一点 E 处 2 当点 F 与点 C 重合时 求 AE 的长 3 当 AE 3 时 点 F 离点 B 有多远 精品文档 21欢迎下载 分析 1 当点 G 与点 A 重合时 BF 的值最小 即可求出 BF 的最小值等于 6 2 在 RT CDE 中运用勾股定理求出 DE 再利用 AE AD DE 即可求出答案 3 作 FH AD 于点 H 设 AG x 利用勾股定理可先求出 AG 可得 EG 利用 AEG HFE 由 可求出 EF 即 得出 BF 的值 解答 解 1 点 G 与点 A 重合时 如图 1 所示 四边形 ABFE 是正方形 此时 BF 的值最小 即 BF AB 6 当 BF 的最小值等于 6 时 才能使 B 点落在 AD 上一点 E 处 故答案为 6 2 如图 2 所示 在 Rt CDE 中 CE BC 10 CD 6 DE 8 AE AD DE 10 8 2 3 如图 3 所示 作 FH AD 于点 H AE 3 设 AG y 则 BG EG 6 y 根据勾股定理得 6 y 2 y2 9 解得 y EG BG 又 AEG HFE EF BF EF 精品文档 22欢迎下载 点评 本题主要考查了翻折变换 解题的关键是折叠前后图形的形状和大小不变 位置变化 对应边和对应角 相等 10 2015 秋 苍溪县期末 如图 三角形纸片中 AB 8cm BC 6cm AC 5cm 沿过点 B 的直线折叠这个三角形 使点 C 落在 AB 边上的点 E 处 折痕为 BD 求 ADE 的周长 分析 根据翻折变换的性质可得 DE CD BE BC 然后求出 AE 再根据三角形的周长列式求解即可 解答 解 BC 沿 BD 折叠点 C 落在 AB 边上的点 E 处 DE CD BE BC AB 8cm BC 6cm AE AB BE AB BC 8 6 2cm ADE 的周长 AD DE AE AD CD AE AC AE 5 2 7cm 点评 本题考查了翻折变换的性质 熟记翻折前后两个图形能够完全重合得到相等的线段是解题的关键 11 2015 春 无棣县期末 问题提出 如果我们身边没有量角器和三角板 如何作 15 大小的角呢 实践操作 如图 第一步 对折矩形纸片 ABCD 使 AD 与 BC 重合 得到折痕 EF 把纸片展开 得到 AD EF BC 第二步 再一次折叠纸片 使点 A 落在 EF 上的点 N 处 并使折痕经过点 B 得到折痕 BM 折痕 BM 与折痕 EF 相交 于点 P 连接线段 BN PA 得到 PA PB PN 问题解决 1 求 NBC 的度数 2 通过以上折纸操作 还得到了哪些不同角度的角 请你至少再写出两个 除 NBC 的度数以外 3 你能继续折出 15 大小的角了吗 说说你是怎么做的 精品文档 23欢迎下载 分析 1 根据折叠性质由对折矩形纸片 ABCD 使 AD 与 BC 重合得到点 P 为 BM 的中点 即 BP PM 再根据矩形 性质得 BAM 90 ABC 90 则根据直角三角形斜边上的中线性质得 PA PB PM 再根据折叠性质由折叠纸片 使 点 A 落在 EF 上的点 N 处 并使折痕经过点 B 得到折痕 BM 折痕 BM 得到 PA PB PM PN 1 2 BNM BAM 90 利用等要三角形的性质得 2 4 利用平行线的性质由 EF BC 得到 4 3 则 2 3 易得 1 2 3 ABC 30 2 利用互余得到 BMN 60 根据折叠性质易得 AMN 120 3 把 30 度的角对折即可 解答 解 1 对折矩形纸片 ABCD 使 AD 与 BC 重合 点 P 为 BM 的中点 即 BP PM 四边形 ABCD 为矩形 BAM 90 ABC 90 PA PB PM 折叠纸片 使点 A 落在 EF 上的点 N 处 并使折痕经过点 B 得到折痕 BM 折痕 BM PA PB PM PN 1 2 BNM BAM 90 2 4 EF BC 4 3 2 3 1 2 3 ABC 30 即 NBC 30 2 通过以上折纸操作 还得到了 BMN 60 AMN 120 等 3 折叠纸片 使点 A 落在 BM 上 则可得到 15 的角 点评 本题考查了折叠的性质 折叠是一种对称变换 它属于轴对称 折叠前后图形的形状和大小不变 位置 变化 对应边和对应角相等 也考查了矩形的性质和直角三角形斜边上的中线性质 12 2015 春 大同期末 已知矩形 ABCD 中 AB 3cm AD 4cm 点 E F 分别在边 AD BC 上 连接 B E D F 分别把 Rt BAE 和 Rt DCF 沿 BE DF 折叠成如图所示位置 1 若得到四边形 BFDE 是菱形 求 AE 的长 2 若折叠后点 A 和点 C 恰好落在对角线 BD 上 求 AE 的长 精品文档 24欢迎下载 分析 1 由矩形的性质得出 A 90 设 AE xcm 则 ED 4 x cm 由菱形的性质得出 EB ED 4 x 由勾股定理 得出方程 解方程即可 2 由勾股定理求出 BD 由折叠的性质得出 A E AE EA B A 90 A B AB 3cm 求出 A D 设 AE A E x 则 ED 4 x cm 在 Rt EA D 中 由勾股定理得出方程 解方程即可 解答 解 1 四边形 ABCD 是矩形 A 90 设 AE xcm 则 ED 4 x cm 四边形 EBFD 是菱形 EB ED 4 x 由勾股定理得 AB2 AE2 BE2 即 32 x2 4 x 2 解得 x AE cm 2 根据勾股定理得 BD 5cm 由折叠的性质得 A E AE EA B A 90 A B AB 3cm EA D 90 A D 5 3 2 cm 设 AE A E x 则 ED 4 x cm 在 Rt EA D 中 A E2 A D2 ED2 即 x2 22 4 x 2 解得 x AE cm 点评 本题考查了翻折变换的性质 矩形的性质 勾股定理 菱形的性质 熟练掌握翻折变换和矩形 菱形的 性质 并能进行推理计算是解决问题的关键 13 2015 春 廊坊期末 如图 1 矩形纸片 ABCD 的边长 AB 4cm AD 2cm 同学小明现将该矩形纸片沿 EF 折痕 使点 A 与点 C 重合 折痕后在其一面着色 如图 2 观察图形对比前后变化 回答下列问题 1 GF FD 直接填写 2 判断 CEF 的形状 并说明理由 3 小明通过此操作有以下两个结论 四边形 EBCF 的面积为 4cm2 整个着色部分的面积为 5 5cm2 运用所学知识 请论证小明的结论是否正确 精品文档 25欢迎下载 分析 1 根据翻折的性质解答 2 根据两直线平行 内错角相等可得 AEF CFE 再根据翻折的性质可得 AEF FEC 从而得到 CFE FEC 根据等角对等边可得 CE CF 从而得解 3 根据翻折的性质可得 AE EC 然后求出 AE CF 再根据图形的面积公式列式计算即可得解 设 GF x 表示出 CF 然后在 Rt CFG 中 利用勾股定理列式求出 GF 根据三角形的面积公式求出 SGFC 然后计 算即可得解 解答 解 1 由翻折的性质 GD FD 2 CEF 是等腰三角形 矩形 ABCD AB CD AEF CFE 由翻折的性质 AEF FEC CFE FEC CF CE 故 CEF 为等腰三角形 3 由翻折的性质 AE EC EC CF AE CF S四边形 EBCF EB CF BC AB BC 4 2 4cm2 设 GF x 则 CF 4 x G 90 x2 22 4 x 2 解得 x 1 5 SGFC 1 5 2 1 5 S着色部分 1 5 4 5 5 综上所述 小明的结论正确 点评 本题考查了翻折变换的性质 矩形的性质 平行线的性质 等腰三角形的判定 以及勾股定理的应用 熟记翻折前后的两个图形能够完全重合是解题的关键 14 2015 春 娄底期末 操作 准备一张长方形纸 按下图操作 1 把矩形 ABCD 对折 得折痕 MN 2 把 A 折向 MN 得 Rt AEB 3 沿线段 EA 折叠 得到另一条折痕 EF 展开后可得到 EBF 探究 EBF 的形状 并说明理由 精品文档 26欢迎下载 分析 由 1 得出 M N 分别是 AB DC 的中点 由 2 得出 BE 2AP 再由 3 得出 BF 2AP 证出 BE BF 因 此 1 2 由角的关系求出 1 60 即可证出 EBF 为等边三角形 解答 解 EBF 是等边三角形 理由如下 如图所示 由操作 1 得 M N 分别是 AB DC 的中点 在 Rt ABE 中 P 为 BE 的中点 AP 是斜边上的中线 AP BP BE 即 BE 2AP 在 EBF 中 A 是 EF 的中点 AP BF 即 BF 2AP BE BF 1 2 又 2 3 2 1 3 180 3 1 180 1 60 EBF 为等边三角形 点评 本题考查了矩形的性质 翻折变换的性质 直角三角形斜边上的中线性质 等边三角形的判定 熟练掌 握翻折变换和矩形的性质 并能进行推理论证是解决问题的关键 15 2015 秋 兴化市校级期末 1 如图 1 将 ABC 纸片沿 DE 折叠 使点 A 落在四边形 BCDE 内点 A 的位置 若 A 40 求 1 2 的度数 2 通过 1 的计算你发现 1 2 与 A 有什么数量关系 请写出这个数量关系 并说明这个数量关系的正确性 3 将图 1 中 ABC 纸片的三个内角都进行同样的折叠 如果折叠后三个顶点 A B C 重合于一点 O 时 如图 2 则图中 180 1 2 3 4 5 6 360 如果折叠后三个顶点 A B C 不重合 如图 3 则 中的关于 1 2 3 4 5 6 的结论是否仍然成立 请说明你的理由 精品文档 27欢迎下载 分析 1 根据将 ABC 纸片沿 DE 折叠 使点 A 落在四边形 BCDE 内点 A 的位置 若 A 40 可以求得 AED ADE A ED A DE 进而可以求得 1 2 的度数 2 先写出数量关系 然后说明理由 将 ABC 纸片沿 DE 折叠 使点 A 落在四边形 BCDE 内点 A 的位置 可以得 到折叠后的各个角的关系 从而可以解答本题 3 根据第二问的推导 可以进行这一问结论的推导 从而可以解答本题 解答 解 1 A 40 AED ADE A ED A DE 140 1 2 360 AED ADE A ED A DE 80 即 1 2 的度数是 80 2 1 2 2 A 理由 将 ABC 纸片沿 DE 折叠 使点 A 落在四边形 BCDE 内点 A 的位置 AED ADE A ED A DE A A 1 2 360 AED ADE A ED A DE 360 180 A 180 A 360 180 A 180 A 2 A 即 1 2 2 A 3 由题意可得 360 180 180 1 2 3 4 5 6 2 A 2 B 2 C 2 A B C 2 180 360 故答案为 180 360 如果折叠后三个顶点 A B C 不重合 如图 3 则 中的关于 1 2 3 4 5 6 的结论仍然成立 理由 1 2 2 A 3 4 2 B 5 6 2 C 1 2 3 4 5 6 2 A 2 B 2 C 2 A B C 360 即如果折叠后三个顶点 A B C 不重合 如图 3 则 中的关于 1 2 3 4 5 6 的结论仍然成立 点评 本题考查翻折问题 角的计算 解题的关键是明确题意 找出所求问题需要的条件 16 2015 秋 海珠区期末 如图 长方形纸片 ABCD 点 E F 分别在边 AB CD 上 连接 EF 将 BEF 对折 点 B 落在直线 EF 上的 B 处 得到折痕 EC 将点 A 落在直线 EF 上的点 A 处 得到折痕 EN 1 若 BEB 110 则 BEC 55 AEN 35 BEC AEN 90 2 若 BEB m 则 1 中 BEC AEN 的值是否改变 请说明你的理由 3 将 ECF 对折 点 E 刚好落在 F 处 且折痕与 B C 重合 求 DNA 精品文档 28欢迎下载 分析 1 根据折叠的性质可求出 BEC 和 AEN 的度数 然后求出两角之和 2 不变 根据折叠的性质可得 BEC B EC 根据 BEB m 可得 BEC B EC BEB m 然后求出 AEN 最 后求和进行判断 3 根据折叠的性质可得 B CF B CE B CE BCE 进而得出 B CF B CE BCE 求出其度数 在 Rt BCE 中 可知 BEC 与 BCE 互余 然后求出 BEC 的度数 最后根据平角的性质和折叠的性质求解 解答 解 1 由折叠的性质可得 BEC B EC AEN A EN BEB 110 AEA 180 110 70 BEC B EC BEB 55 AEN A EN AEA 35 BEC AEN 55 35 90 2 不变 由折叠的性质可得 BEC B EC AEN A EN BEB m AEA 180 m 可得 BEC B EC BEB m AEN A EN AEA 180 m BEC AEN m 180 m 90 故 BEC AEN 的值不变 3 由折叠的性质可得 B CF B CE B CE BCE B CF B CE BCE 90 30 在 Rt BCE 中 BEC 与 BCE 互余 BEC 90 BCE 90 30 60 B EC BEC 60 AEA 180 BEC B EC 180 60 60 60 AEN AEA 30 ANE 90 AEN 90 30 60 ANE A NE 60 DNA 180 ANE A NE 180 60 60 60 故答案为 55 35 90 点评 本题考查了翻折变换 涉及了折叠的性质 余角和补角的知识 根据条件求出各角的度数是