中职数学基础知识汇总

精品文档 1欢迎下载 中职数学基础知识汇总中职数学基础知识汇总 预备知识 预备知识 1 完全平方和 差 公式 a b 2 a2 2ab b2 a b 2 a2 2ab b2 2 平方差公式 a2 b2 a b a b 3 立方和 差 公式 a3 b3 a b a2 ab b2 a3 b3 a b a2 ab b2 第一章第一章 集合集合 1 构成集合的元素必须满足三要素 确定性 互异性 无序性 2 集合的三种表示方法 列举法 描述法 描述法 图像法 文氏图 3 常用数集 N 自然数集 Z 整数集 Q 有理数集 R 实数集 N 正整数集 4 元素与集合 集合与集合之间的关系 1 元素与集合是 与 的关系 2 集合与集合是 的关系 注 注 1 空集是任何集合的子集 任何非空集合的真子集 做题时多考虑 是否满足题意 2 一个集合含有 n 个元素 则它的子集有 2n个 真子集有 2n 1 个 非空真子集有 2n 2 个 5 集合的基本运算 用描述法表示的集合的运算尽量用画数轴的方法 1 与的公共元素组成的集合 ABx xAxB 且AB 2 与的所有元素组成的集合 相同元素只写一次 ABx xAxB 或AB 3 中元素去掉中元素剩下的元素组成的集合 ACUUA 注 注 UUU CABC AC B UUU CABC AC B 6 会用文氏图表示相应的集合 会将相应的集合画在文氏图上 7 充分必要条件 是的 条件 是条件 是结论pqpq 如果 pq 那么 p 是 q 的充分条件 q 是 p 的必要条件 如果 pq 那么 p 是 q 的充要条件 第二章第二章 不等式不等式 1 不等式的基本性质 略 注 注 1 比较两个实数的大小一般用比较差的方法 另外还可以用平方法 倒数法 2 不等式两边同时乘以负数要变号 3 同向同向的不等式可以相加加 不能相减 同正的同向同正的同向不等式可以相乘 2 重要重要的不等式 1 当且仅当时 等号成立 abba2 22 ba 2 当且仅当时 等号成立 3 2 Rbaabbaba 注 算术平均数 几何平均数 2 ba ab 3 一元一次不等式的解法 略 4 一元二次不等式的解法 1 保证二次项系数为正 2 分解因式 十字相乘法 提取公因式 求根公式法 目的是求根 精品文档 2欢迎下载 3 定解 口诀 大于取两边 小于取中间 5 绝对值不等式的解法 若 则0 a axaxax axaax 或 分式不等式的解法 与二次不等式的解法相同 注 分母不能为 0 第三章第三章 函数函数 1 函数 1 定义 设 A B 是两个非空数集 如果按照某种对应法则 对 A 内任一个元素 x 在 B 中总有一个且只f 有一个值 y 与它对应 则称是集合 A 到 B 的函数函数 可记为 A B 或 x y 其中 A 叫做函数的定义域 函ffff 数在的函数值 记作 函数值的全体构成的集合 C C B 叫做函数的值域 fax af 2 函数的表示方法 列表法 图像法 解析法图像法 解析法 注 注 在解函数题时可以画出图像 运用数形结合的方法可以使大部分题目变得更简单 2 函数的三要素 定义域 值域 对应法则三要素 定义域 值域 对应法则 1 定义域的求法 使函数 的解析式 有意义的的取值范围x 主要依据 分母不能为 0 偶次根式的被开方式0 特殊函数定义域 0 0 xxyRxaaay x 10 且 0 10 log xaaxy a 且 2 值域的求法 的取值范围y 正比例函数 和 一次函数 的值域为kxy bkxy R 二次函数 的值域求法 配方法 如果的取值范围不是则还需画图像cbxaxy 2 xR 反比例函数 的值域为 x y 1 0 yy 另求值域的方法 换元法换元法 不等式法 数形结合法 函数的单调性等等 3 解析式求法 在求函数解析式时可用换元法换元法 构造法 待定系数法等 3 函数图像的变换 1 平移 axfy a xfy 个单位 向左平移 axfy a xfy 个单位 向右平移 axfy a xfy 个单位 向上平移 axfy a xfy 个单位 向下平移 2 翻折 xfy x xfy 上 下对折 轴沿 xfy x xfy 下方翻折到上方 轴上方图像保留 精品文档 3欢迎下载 4 函数的奇偶性 1 定义域关于原点对称 2 若奇 若偶 xfxf xfxf 注 若奇函数在处有意义 则0 x0 0 f 常值函数 为偶函数axf 0 a 既是奇函数又是偶函数0 xf 5 函数的单调性 对于且 若 21 baxx 21 xx 上为减函数在称 上为增函数在称 21 21 baxfxfxf baxfxfxf 增函数 值越大 函数值越大 值越小 函数值越小 xx 减函数 值越大 函数值反而越小 值越小 函数值反而越大 xx 6 二次函数 1 二次函数的三种解析式 一般式 cbxaxxf 2 0 a 顶点式 其中为顶点hkxaxf 2 0 a hk 两根式 其中是的两根 21 xxxxaxf 0 a 21 xx 0 xf 2 图像与性质 二次函数的图像是一条抛物线 有如下特征与性质 开口 开口向上 开口向下 0a 0a 对称轴 顶点坐标 a b x 2 4 4 2 2 a bac a b 与轴的交点 根与系数的关系 韦达定理 x 无交点 交点有 有两交点 0 10 0 a c xx a b xx 21 21 为偶函数的充要条件为cbxaxxf 2 0 b 二次函数 二次函数恒大 小 于 0 0 xf 轴上方图像位于x a 0 0 轴下方图像位于x a xf 0 0 0 若二次函数对任意都有 则其对称轴是 x xtfxtf tx 第四章第四章 指数函数与对数函数指数函数与对数函数 1 指数幂的性质与运算 1 根式的性质 精品文档 4欢迎下载 为任意正整数 当为奇数时 当当为偶数时 为偶数时 n nn a a naa nn n aa nn 零的任何正整数次方根为零 负数没有偶次方根 2 零次幂 1 0 a 0 a 3 负数指数幂 n n a a 1 0 Nna 4 分数指数幂 nm n m aa 1 0 nNnma且 5 实数指数幂的运算法则 0 Rnma nmnm aaa mnnm aa nnn baba 2 幂运算时 注意将小数指数 根式都统一化为分数指数 一般将每个数都化为最小的一个数的次方 n 3 幂函数 上单调递减 在 时 当 上单调递增 在 时 当 00 00 a a a xya xya xy 4 指数与对数的互化 bNNa a b log 10 aa且 0 N 5 对数基本性质 1log a a 01log a Na N a log Na N a log 互为倒数与ab ba loglog a bab b aba log 1 log1loglog b m n b a n am loglog 6 对数的基本运算 NMNM aaa loglog log NM N M aaa logloglog 7 换底公式 a N N b b a log log log 10 bb且 8 指数函数 对数函数的图像和性质 指数函数对数函数 定 义 1 0 的常数 aaay x 1 0 log的常数 aaxy a 图 像 精品文档 5欢迎下载 性 质 1 0 yRx 2 图像经过点 1 0 3 上为减函数 在 上为增函数 在 Raya Raya x x 10 1 1 Ryx 0 2 图像经过点 0 1 3 上为减函数在 上为增函数 在 0 log 10 0 log 1 xya xya a a 9 利用幂函数 指数函数 对数函数的单调性比较两个数的大小 将其变为同底 同幂 次 或用换底公式或是利 用中间值 0 1 来过渡 10 指数方程和对数方程 指数式和对数式互化 同底法 换元法 取对数法 注 解完方程要记得验证根是否是增根 是否失根 第五章第五章 数列数列 等差数列等比数列 每一项与前一项之差为同一个常数每一项与前一项之比为同一个常数 12 aadaaaa nn 123 q a a a a a a n n 12 3 1 2 0 q 定 义 注 当公差时 数列为常数列0 d注 等比数列各项及公比均不能为 0 当公比为 1 时 数列为常数列 通项 公式 dnaan 1 1 1 1 n n qaa 推 论 1 mn aa d mn 2 dmnaa mn 3 若 则qpnm qpnm aaaa 1 m nmn a a q 2 mn mn qaa 3 若 则qpnm qpnm aaaa 中项 公式 三个数成等差数列 则有cba 2 2 ca bcab 三个数成等比数列 则有cba acb 2 前 项n 和公 式 d nn na aan S n n 2 1 2 1 1 q qaa q qa S n n n 11 1 11 1 q 1 已知前项和的解析式 求通项n n S n a 1 1 nn n SS S a 2 1 n n 2 弄懂等差 等比数通项公式和前项和公式的证明方法 见教材 n 第六章第六章 三角函数三角函数 1 弧度和角度的互换 精品文档 6欢迎下载 弧度 弧度弧度 弧度 o 180 180 1 o 01745 0 1 1857 180 oo 2 扇形弧长公式和面积公式 记忆法 与类似 r 扇 L 2 2 1 2 1 rLrS 扇 ahS ABC 2 1 3 任意三角函数的定义 斜边 对边 sin r y 斜边 邻边 cos r x 邻边 对边 tan x y 4 特殊三角函数值 0 00 0 30 6 0 45 4 0 60 3 0 90 2 sin 2 0 2 1 2 2 2 3 2 4 cos 2 4 2 3 2 2 2 1 2 0 tan0 3 3 13不存在 5 三角函数的符号判定 1 口诀 一全二正弦 三切四余弦 三角函数中为正的 其余的为负 2 图像记忆法 6 三角函数基本公式 可用于化简 证明等 cos sin tan 可用于已知求 或者反过来运用 1cossin 22 sin cos 7 诱导公式 口诀 奇变偶不变 符号看象限 解释 指 若为奇数 则函数名要改变 若为偶数函数名不变 2 Zkk kk 7 已知三角函数值求角 1 确定角所在的象限 2 求出函数值的绝对值对应的锐角 3 写出满足条件的的角 4 加上周 2 0 期 同终边的角的集合 8 和角 倍角公式 和角公式 注意正负号相同 sincoscossin sin 注意正负号相反 sinsincoscos cos tantan1 tantan tan 二倍角公式 cossin22sin 2222 sin211cos2sincos2cos 精品文档 7欢迎下载 2 tan1 tan2 2tan 半角公式 2 cos1 2 sin 2 cos1 2 cos 9 三角函数的图像与性质 性 质 函数图像 定义域值域同期奇偶性单调性 xysin Rx 1 1 2 T 奇 2 2 2 2 kk 2 3 2 2 2 kk xycos Rx 1 1 2 T 偶 2 2 kk 2 2 kk 9 正弦型函数 sin xAy 0 0 A 1 定义域 值域R AA 2 周期 2 T 3 注意平移的问题 一要注意函数名称是否相同 二要注意将的系数提出来 再看是怎样平移的 x 4 xbxaycossin sin 22 xba 10 正弦定理 为的外接圆半径 R C c B b A a 2 sinsinsin RABC 其他形式 1 注意理解记忆 可只记一个 ARasin2 BRbsin2 CRcsin2 2 CBAcbasin sin sin 11 余弦定理 注意理解记忆 可只记一个 Abccbacos2 222 bc acb A 2 cos 222 12 三角形面积公式 注意理解记忆 可只记一个 BacAbcCabS ABC sin 2 1 sin 2 1 sin 2 1 精品文档 8欢迎下载 13 海伦公式 其中为的半周长 cPbPaPPS ABC PABC 2 cba P 第七章第七章 平面向量平面向量 1 向量的概念 1 定义 既有大小又有方向大小又有方向的量 2 向量的表示 书写时一定要加箭头 书写时一定要加箭头 另起点为 A 终点为 B 的向量表示为 AB 3 向量的模 长度 aAB 或 4 零向量 长度为 0 方向任意 单位向量 长度为 1 的向量 向量相等 大小相等 方向相同的两个向量 反 负 向量 大小相等 方向相反的两个向量 2 向量的运算 1 图形法则 三角形法则 平形四边形法则 2 计算法则 加法 减法 ACBCAB CAACAB 3 运算律 加法交换律 结合律 注 乘法 内积 不具有结合律 3 数乘向量 1 模为 2 方向 为正与相同 为负与相反 a a a a 4 的坐标 终点 B 的坐标减去起点 A 的坐标 AB ABAB yyxxAB 5 向量共线 平行 唯一实数 使得 可证平行 三点共线问题等 ba 6 平面向量分解定理 如果是同一平面上的两个不共线的向量 那么对该平面上的任一向量 都存在唯一 21 e ea 的一对实数 使得 21 x x 2211 exexa 7 注意中 重心 三条中线交点 外心 外接圆圆心 三边垂直平分线交点 内心 内切圆圆心 三角平ABC 分线交点 垂心 三高线的交点 8 向量的内积 数量积 1 向量之间的夹角 图像上起点在同一位置 范围 0 2 内积公式 bababa cos 9 向量内积的性质 精品文档 9欢迎下载 1 夹角公式 2 cos ba ba ba ab0 ba 3 长度公式 aaaaaa 2 或 10 向量的直角坐标运算 1 ABAB yyxxAB 2 设 则 2211 yxbyxa 2121 yyxxba 11 yxa 2121 yyxxba 11 中点坐标公式 若 A B 点 M x y 是线段 AB 的中点 则 11 x y 22 xy 1212 22 xxyy xy 12 向量平行 垂直的充要条件 设 则 2211 yxbyxa 相对应坐标比值相等 ab 2 1 2 1 y y x x 两个向量垂直则它们的内积为 0 ab 0ba0 2121 yyxx 11 长度公式 1 向量长度公式 设 则 yxa 22 yxa 2 两点间距离公式 设点 则 2211 yxByxA 2 12 2 12 yyxxAB 12 向量平移 1 平移公式 点平移向量 则 记忆法 新 旧 向量 yxP 21 yxPaaa到 2 1 ayy axx 2 图像平移 的图像平移向量后得到的函数解析式为 xfy 21 aaa 12 axfay 第八章第八章 平面解析几何平面解析几何 1 曲线上的点与方程之间的关系 C0 yxF 1 曲线上点的坐标都是方程的解 C0 yxF 2 以方程的解为坐标的点都在曲线上 0 yxF yxC 则曲线叫做方程的曲线 方程叫做曲线的方程 C0 yxF0 yxFC 2 求曲线方程的方法及步骤 1 设动点的坐标为 x y 2 写出动点在曲线上的充要条件 3 用的关yx 系式表示这个条件列出的方程 4 化简方程 不需要的全部约掉 5 证明化简后的方程是所求曲线的方 程 如果方程化简过程是同解变形的话第五步可省略 3 两曲线的交点 联立方程组求解即可 4 直线 精品文档 10欢迎下载 1 倾斜角 一条直线 向上的方向与轴的正方向所成的最小正角叫这条直线的倾斜角 其范围是范围是 lx 0 2 斜率 倾斜角为的直线没有斜率 倾斜角的正切 0 90 tan k 经过两点的直线的斜率 222111 yxPyxP 12 12 xx yy K 21 xx 3 直线的方程 两点式 斜截式 12 1 12 1 xx xx yy yy bkxy 点斜式 一般式 00 xxkyy 0 CByAx 注 1 若直线 方程为 3x 4y 5 0 则与 平行平行的直线可设为 3x 4y C 0 与 垂直垂直的直线可设为 4X 3Y C 0lll 2 求直线的方程最后要化成一般式 4 两条直线的位置关系 111 bxkyl 222 bxkyl 0 1111 CxBxAl0 2222 CxBxAl 与平行 1 l 2 l 2121 bbkk 且 2 2 2 1 2 1 C C B B A A 与重合 1 l 2 l 2121 bbkk 且 2 2 2 1 2 1 C C B B A A 与相交 1 l 2 l 21 kk 2 1 2 1 B B A A 1 l 2 l1 21 kk0 2121 BBAA 注 系数为 0 的情况可画图像来判定 5 点到直线的距离 点到直线的距离 00 yxP0 CByAx 22 00 BA CByAx d 5 圆的方程 1 标准方程 其中圆心 半径 222 rbyax 0 r bar 2 一般方程 0 22 FEyDxyx04 22 FED 圆心 半径 2 2 ED 2 4 22 FED r 4 直线和圆的位置关系 主要用几何法 利用圆心到直线的距离和半径比较 dr 相交 rd相切 rd相离 rd 6 椭圆 几何定义动点与两定点 焦点 的距离之和等于常数a2 精品文档 11欢迎下载 aPFPF2 21 标准方程 焦点在轴上 1 2 2 2 2 b y a x x 焦点在轴上 1 2 2 2 2 a y b x y 图像 的关系cba 注意 通常题目会隐藏这个条件 222 cba 对称轴与对称中心轴 长轴长 轴 短轴长 xa2yb2 0 0 O 顶点坐标 0 a 0 b 焦点坐标 焦距 注 要特别注意焦点在哪个轴上 0 c c2 离心率 11 2 2 a b a c e 7 双曲线 动点与两定点 焦点 的距离之差的绝对值等于常数a2 几何定义 aPFPF2 21 标准方程 焦点在轴上 1 2 2 2 2 b y a x x 焦点在轴上 1 2 2 2 2 b x a y y 图像 的关系cba 注意 通常题目会隐藏这个条件 222 bac 对称轴与对称中心轴 实轴长 轴 虚轴长 xa2yb2 0 0 O 顶点坐标 0 a 精品文档 12欢迎下载 焦点坐标 焦距 注 要特别注意焦点在哪个轴上 0 c c2 离心率 11 2 2 a b a c e 渐近线 焦点在轴上 x a b y x 焦点在轴上 x b a y y 注 等轴双曲线 1 实轴长和虚轴长相等 2 离心率 3 渐近线 ba 2 exy 8 抛物线 到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹 几何 定义 为抛物线上一点到准线的距离 dMF dM 焦点 位置 轴正半轴x轴负半轴x 轴正半轴y轴负半轴y 图像 标准 方程 pxy2 2 0 ppxy2 2 0 ppyx2 2 0 ppyx2 2 0 p 焦点 坐标 0 2 p F 0 2 p F 2 0 p F 2 0 p F 准线 方程 2 p x 2 p x 2 p y 2 p y 顶点 0 0 O 对称 轴 轴x 轴y 离心 率 1 e 注 1 的几何意义表示焦点到准线的距离 p 2 掌握焦点在哪个轴上的判断方法 3 圆锥曲线中凡涉及到弦长 都可用联立直线和曲线的方程求解再用弦长公式弦长公式 21 2 21 2 4 1 xxxxkAB 4 圆锥曲线中最重要的是它本身的定义定义 做题时应注意圆锥曲线上的点是满足圆锥曲线的定义的 第九章第九章 立体几何立体几何 1 空间的基本要素 点 线 面 注 用集合符号表示空间中点 元素 线 集合 面 集合 的关系 精品文档 13欢迎下载 2 平面的基本性质 1 三个公理 如果一条直线上的两点在一个平面内 那么这条直线上的所有的点都在这个平面内 如果两个不重合的平面有一个公共点 那么它们的所有公共点组成的集合是过该点的一条直线 经过不在同一条直线上的三点 有且只有一个平面 2 三个推论 经过一条直线和这条直线外的一点 有且只有一个平面 经过两条相交直线 有且只有一个平面 经过两条平行直线 有且只有一个平面 3 两条直线的位置关系 1 相交 有且只有一个公共点 记作 Aba 2 平行 过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行 a 平行于同一条直线的两条直线平行 b 3 异面 定义 不同在任何一个平面内的两条直线 异面直线的夹角 对于两条异面直线 平移一条与另一条相交所成的不大于的角 注意在找异面直线之间的夹 2 角时可作其中一条的平行线 让它们相交 4 直线和平面的位置关系 1 直线在平面内 l 2 直线与平面相交 Al 3 直线与平面平行 定义 没有公共点 记作 l 判定 如果平面外一条直线与平面内一条直线平行 则该直线与平面平行 性质 如果一条直线与一平面平行 且过直线的另一平面与该平面相交 则该直线与交线平行 5 两个平面的位置关系 1 相交 l 2 平行 定义 没有公共点 记作 判定 如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面都平行 则两平面平行 性质 两个平行平面与第三个平面都相交 则交线互相平行 a 平行于同一平面的两个平面平行 b 夹在两平行平面间的平行线段相等 c 两条直线被三个平行平面所截得的对应线段成比例 d 6 直线与平面所成的角 1 定义 直线与它在平面内的射影所成的角 2 范围 2 0 7 直线与平面垂直 1 判定 如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线 则该直线与平面垂直 2 性质 如果一条直线垂直于一平面 则它垂直于该平面内任何直线 垂直于同一平面的两直线平行 精品文档 14欢迎下载 垂直于同一直线的两平面平行 8 两个平面垂直 1 判定定理 如果一个平面经过另一个平面的垂线 则两个平面互相垂直 2 性质定理 如果两个平面垂直 则一个平面内垂直于它们的交线的直线与另一个平面垂直 9 二面角 1 定义 过二面角的棱上一点 分别在两半平面内引棱 的垂线 则为二面角的 lOlOBOA AOB 平面角 2 范围 0 3 二面角的平面角构造 按定义 在棱上取一点 分别在两半平面内引棱的垂线 则即是OOBOA AOB 作一平面与二面角的棱垂直 与两半平面分别交于 即是OBOA AOB 第十章第十章 排列 组合与二项式定理排列 组合与二项式定理 1 分类用加法 分步用乘法 n mmmN 21n mmmN 21 2 有序为排列 1 2 1 mn n mnnnnP m n 无序为组合 1 2 1 mnm n m mnnnn P P C m m m nm n 阶乘 123 2 1 nnnnP n n 规定 1 0 1 0 n C 注 1 做排列组合题的原则 先特殊 后一般 2 在一起 用捆绑法 不在一起 用插空法 另外的思考方法 一般法 排除法 分类讨论法 机会均等法等等 3 组合数的两个性质 1 2 mn n m n CC 1 1 m n m n m n CCC 4 二项式定理 nn n nn n rrnr n n n n n n baCbaCbaCbaCbaCba 011111100 通项 其中叫做第项的二项式系数 rrnr nr baCT 1 r n C1 r 注 1 二项展开式中第项的系数系数与第项的二项式系数二项式系数是两个不同的概念 1 r1 r r n C 2 杨辉三角 1 二项式系数的性质 1 除每行两端的 1 以外 每个数字都等于它肩上两数之和 即 1 1 r n r n r n CCC 2 与首末两端等距离的两项的二项式系数相等 即 rn n r n CC 3 为偶数 展开式有奇数项 中间项的二项式系数最大 第项 n1 2 n 精品文档 15欢迎下载 为奇数 展开式有偶数项 中间两项的二项式系数最大 第项和后一项 n 2 1 n 7 nn nnn CCC2Cm n 10 1531420 2 n nnnnnn CCCCCC 第十一章第十一章 概率与统计概率与统计 一 概率一 概率 1 概率 随机事件 A 的概率是频率的稳定值 反之 频率是概率的近似值 2 等可能事件的概率 如果一次试验中可能出现的结果有年 n 个 且所有结果出现的可能性都相等 那么 每一个基本事件的概率都是 如果某个事件 A 包含的结果有 m 个 那么事件 A 的概率 n 1 n m P A 3 互斥事件 不可能同时发生的两个事件叫互斥事件 如果事件 A B 互斥 那么事件 A B 发生 即 A B 中 有一个发生 的概率 等于事件 A B 分别发生的概率和 即 P A B P A P B 对立事件 两个事件必有一个发生的互斥事件叫对立事件 注意 i 对立事件的概率和等于 1 1 AP A AP P A ii 互为对立的两个事件一定互斥 但互斥不一定是对立事件 相互独立事件 事件 A 或 B 是否发生对事件 B 或 A 发生的概率没有影响 这样的两个事件叫做相互独立事 件 如果两个相互独立事件同时发生的概率 等于每个事件发生的概率的积 即 P A B P A P B 由此 当两个事 件同时发生的概率 P AB 等于这两个事件发生概率之积 这时我们也可称这两个事件为独立事件 独立重复试验 若 n 次重复试验中 每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果 则称这 n 次试验 是独立的 如果在一次试验中某事件发生的概率为 P 那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次的概率 knkk nn P 1PC k P 二 随机变量二 随机变量 1 随机试验的结果应该是不确定的 试验如果满足下述条件 试验可以在相同的情形下重复进行 试验的所有可能结果是明确可知的 并且不止一个 每次试验总 是恰好出现这些结果中的一个 但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果 它就被称为一个随机试验 2 离散型随机变量 如果对于随机变量可能取的值 可以按一定次序一一列出 这样的随机变量叫做离散型 随机变量 设离散型随机变量 可能取的值为 21i xxx 取每一个值的概率 则表称为随机变量 的概率分布 简称 的分布列 2 1 1 ix ii pxP 1 x 2 x i x P1 p 2 p i p 有性质 2 1 0 1 ip1 21 i ppp 注意 若随机变量可以取某一区间内的一切值 这样的变量叫做连续型随机变量 例如 即可以取 5 0 0 5 之间的一切数 包括整数 小数 无理数 3 离散型随机变量的二项分布 在一次随机试验中 某事件可能发生也可能不发生 在n次独立重复 试验中这个事件发生的次数 是一个随机变量 如果在一次试验中某事件发生的概率是P 那么在n次独立重复试验 中这个事件恰好发生k次的概率是 k 0 1 2 n knkk nn qpCkP pq 1 精品文档 16欢迎下载 于是得到随机变量 的概率分布如下 01kn P n n qpC 00111 n n qpC knkk n qpC 0 qpC nn n 由于恰好是二项展开式 knkk n qpC 011100 qpCqpCqpCqpCpq nn n knkk n n n n n n 中的各项的值 所以称这样的随机变量 服从二项分布 记作 B n p 其中n p为参数 并记 b k n p knkk n qpC 二项分布的判断与应用 二项分布 实际是对 n 次独立重复试验 关键是看某一事件是否是进行 n 次独立重复 且每次试验只有两种 结果 如果不满足此两条件 随机变量就不服从二项分布 当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小 而每次抽取时又只有两种试验结果 此 时可以把它看作独立重复试验 利用二项分布求其分布列 三 数学期望与方差三 数学期望与方差 1 期望的含义 一般地 若离散型随机变量 的概率分布为 1 x 2 x i x P1 p 2 p i p 则称为 的数学期望或平均数 均值 数学期望又简称期望 数学期望反映了离散 nnp xpxpxE 2211 型随机变量取值的平均水平 2 二项分布的数学期望 其分布列为 P 为发生的概率 npE pnB 3