AHP——模糊综合评价方法的理论基础

AHP 模糊综合评价方法的理论基础 1 层次分析法理论基础 1970 1980 年期间 著名学者 Saaty 最先开创性地建立了层次分析法 英文 缩写为 AHP 该模型可以较好地处理复杂的决策问题 迅速受到学界的高度重 视 后被广泛应用到经济计划和管理 教育与行为科学等领域 AHP 建立层次 结构模型 充分分析少量的有用的信息 将一个具体的问题进行数理化分析 从而有利于求解现实社会中存在的许多难以解决的复杂问题 一些定性或定性 与定量相结合的决策分析特别适合使用 AHP 被广泛应用到城市产业规划 企 业管理和企业信用评级等等方面 是一个有效的科学决策方法 Diego Falsini Federico Fondi 和 Massimiliano M Schiraldi 2012 运用 AHP 与 DEA 的结合研究了物流供应商的选择 Radivojevi Gordana 和 Gajovi Vladimir 2014 研究了供应链的风险因素分析 K D Maniya 和 M G Bhatt 2011 研究了多属性的车辆自动引导机制 朱春生 2013 利用 AHP 分析了高校后勤 HR 配置的风险管理 蔡文飞 2013 运用 AHP 分析了煤炭管 理中的风险应急处理 徐广业 2011 研究了 AHP 与 DEA 的交互式应用 林 正奎 2012 研究了城市保险业的社会责任 第一 递阶层次结构的建立 一般来说 可以将层次分为三种类型 1 最高层 总目标层 只包含一个元素 表示决策分析的总目标 因此也 称为总目标层 2 中间层 准则层和子准则层 包含若干层元素 表示实现总目标所涉及 的各子目标 包含各种准则 约束 策略等 因此也称为目标层 3 最低层 方案层 表示实现各决策目标的可行方案 措施等 也称为方 案层 典型的递阶层次结构如下图 1 总目标 准则1准则2准则3 方案1方案2 子准则层1子准则层2子准则层3 一个好的递阶层次结构对解决问题极为重要 因此 在建立递阶层次结构 时 应注意到 1 从上到下顺序地存在支配关系 用直线段 作用线 表示上一层次因素与 下一层次因素之间的关系 同一层次及不相邻元素之间不存在支配关系 2 整个结构不受层次限制 3 最高层只有一个因素 每个因素所支配元素一般不超过 9 个 元素过多 可进一步分层 4 对某些具有子层次结构可引入虚元素 使之成为典型递阶层次结构 第二 构造比较判断矩阵 设有 m 个目标 方案或元素 根据某一准则 将这 m 个目标两两进行比 较 把第 i 个目标 i 1 2 m 对第 j 个目标的相对重要性记为 这样构造 ij a 的 m 阶矩阵用于求解各个目标关于某准则的优先权重 成为权重解析判断矩阵 简称判断矩阵 记作 ijm m A a Satty 于 1980 年根据一般人的认知习惯和判断能力给出了属性间相对重要 性等级表 见表 1 利用该表取的值 称为 1 9 标度方法 ij a 表 1 目标重要性判断矩阵 A 中元素的取值 相对重要性定义说明 1同等重要两个目标同样重要 3略微重要由经验或判断 认为一个目标比另一个略微 重要 5相当重要由经验或判断 认为一个目标比另一个重要 7明显重要深感一个目标比另一个重要 且这种重要性 已有实践证明 9绝对重要强烈地感到一个目标比另一个重要得多 2 4 6 8两个相邻判断的 中间值 需要折中时采用 若决策者能够准确估计 则有 其基本的定 ij a 1 1 ijijikkjii ji aaaa a a 理如下 第一 设 A aij m m A 0 即 aij 0 i j 1 2 m 如果满足条件 1 aii 1 i 1 2 m 2 aij 1 aji i j 1 2 m 则称矩阵 A 为互反正矩阵 第二 设 A aij m m A 0 如果满足条件 aij aik akj i j k 1 2 m 则称 矩阵 A 为一致性矩阵 第三 对于任何一个 m 阶互反正矩阵 A 均有 m 其中是矩阵 A max max 的最大特征值 第三 m 阶互反正矩阵 A 为一致性矩阵的充分必要条件是 A 的最大特征根 为 m 第三 单准则下的排序 层次分析法的信息基础是比较判断矩阵 由于每个准则都支配下一层若干 因素 这样对于每一个准则及它所支配的因素都可以得到一个比较判断矩阵 因此根据比较判断矩阵如何求得各因素 w1 w2 wm对于准则 A 的相对排序权 重的过程称为单准则下的排序 这里设 A aij m m A 0 方法一 本征向量法 利用 AW W 求出所有的值 其中为的最大值 求出对应的 max max 特征向量 W 然后把特征向量 W 规一化为向量 W 则 W w1 w2 wm T为各 个目标的权重 求需要解 m 次方程 当 m 3 时 计算比较麻烦 可以利用 matlab 来求解 2 判断矩阵的近似解法 判断矩阵是决策者主观判断的定量描述 求解判断矩阵不要求过高的精度 这里 介绍三种近似计算方法 根法 和法及幂法 幂法适于在计算机上运算 第一 根法 A 中每行元素连乘并开 m 次方 得到向量其中 T m wwwW 2 1 m m j iji aw 1 对 W 作归一化处理 得到权重向量 W w1 w2 wm T 其中 m i iii www 1 对 A 中每列元素求和 得到向量 S s1 s2 sm 其中 sj m i ij a 1 计算的值 max SWws i m i i 1 max m i i i w AW m 1 1 方法二 和法 将 A 的元素按列作归一化处理 得矩阵 Q qij m m 其中 m k kjijij aaq 1 将 Q 的元素按行相加 得向量 其中 T m 21 m j iji q 1 对向量作归一化处理 得权重向量 W w1 w2 wm T 其中 m k kii w 1 求出最大特征值 m i i i w AW m 1 max 1 方法三 幂法 幂法是一种逐步迭代的方法 经过若干次迭代计算 按照规定的精度 求 出判断矩阵 A 的最大特征值及其对应的特征向量 设矩阵 A aij m m A 0 则 其中 W 是 A 的最大特征值对应的的特征向量 C 为常数 CW eAe eA kT k k lim 向量 e 1 1 1 T 幂法的计算步骤是 任取初始正向量 X 0 x1 0 x2 0 xm 0 T 计算 0 0 0 0 0 0 max mXYxXm i i 迭代计算 对于 k 0 1 2 计算 1 1 1 1 1 1 1 max k kkk i i k k kk mXYxXmAYX 精度检查 当时 转入步骤 否则 令 k k 1 转入步骤 kk mm 1 求最大特征值和对应的特征向量 将 Y k 1 归一化 即 1max 1 1 1 k m i k i k myYW 第四 单准则下的一致性检验 由于客观事物的复杂性 会使我们的判断带有主观性和片面性 完全要求 每次比较判断的思维标准一致是不太可能的 因此在我们构造比较判断矩阵时 我们并不要求 n n 1 2 次比较全部一致 但这可能出现甲与乙相比明显重要 乙与丙相比极端重要 丙与甲相比明显重要 这种比较判断会出现严重不一致 的情况 我们虽然不要求判断具有一致性 但一个混乱的 经不起推敲的比较 判断矩阵有可能导致决策的失误 所以我们希望在判断时应大体一致 而上述 计算权重的方法 当判断矩阵过于偏离一致性时 其可靠程度也就值得怀疑了 因此 对于每一层次作单准则排序时 均需要作一致性的检验 一致性指标 Consistency Index CI 1 max m m CI 随机指标 Random Index RI 一致性比率 Consistency Rate CR CR CI RI 当 CR 取 0 1 时 最大特征值 CI m 1 m 0 1 RI m 1 m max 表 2 随机指标 RI 取值表 max m123456789 RI000 580 901 121 241 321 411 45 max 3 1164 275 456 627 798 9910 16 表中当 n 1 2 时 RI 0 这是因为 1 2 阶判断矩阵总是一致的 当 n 3 时 若 CR 0 1 即 认为比较判断矩阵的一致性可以接受 max max 否则应对判断矩阵作适当的修正 直到小于通过一致性检验时 求得 max max 的 W 才有效 第五 层次总排序 计算同一层次中所有元素对最高层 总目标 的相对重要性标度 又称权 重向量 称为层次总排序 1 层次总排序的步骤为 第一 计算同一层次所有因素对最高层相对重要性的权重向量 这一过程 是自上而下逐层进行 第二 设已计算出第 k 1 层上有 nk 1个元素相对总目标的权重向量为 w k 1 w1 k 1 w2 k 1 wn k 1 k 1 T 第三 第 k 层有个 nk个元素 他们对于上一层次 第 k 1 层 的某个元素 j 的单准则权重向量为 pj k w1j k w2j k wnkj k T 对于与 k 1 层第 j 个元素无 支配关系的对应 wij取值为 0 第四 第 k 层相对总目标的权重向量为 wk p1 k p2 k pk 1 k w k 1 2 层次总排序的一致性检验 人们在对各层元素作比较时 尽管每一层中所用的比较尺度基本一致 但 各层之间仍可能有所差异 而这种差异将随着层次总排序的逐渐计算而累加起 来 因此需要从模型的总体上来检验这种差异尺度的累积是否显著 检验的过 程称为层次总排序的一致性检验 第 k 层的一致性检验指标 CIk CI1 k 1 CI2 k 1 CInK k 1 w k 1 RIk RI1 k 1 RI2 k 1 RInK k 1 w k 1 CRk CRk 1 CIk RIk 3 k n 当 CRk 0 1 可认为评价模型在第 k 层水平上整个达到局部满意一致性 第六 递阶层次结构权重解析过程 1 树状结构目标体系 目标可分为多个层次 每个下层目标都隶属于一个而且只隶属一个上层目 标 下层目标是对上层目标的具体说明 对于树状结构的目标体系 需由上而 下逐步确定权重 即由树干向树梢 求树杈各枝相对于树杈的权重 2 网状结构目标体系 网状结构的目标也分为多个层次 每个下层目标隶属于某几个上层目标 至少有一个下层目标隶属于不止一个上层目标 AHP 方法的基本步骤 层次分析法大体分为以下六个步骤 1 明确问题 2 建立层次结构 3 两两比较 建立判断矩阵 4 层次单排序及其一致性检验 5 层次 总排序及其一致性检验 6 根据分析计算结果 考虑相应的决策 2 模糊综合评价方法理论基础 模糊综合评价是以模糊数学为基础 应用模糊关系合成的原理 将一些边 界不清 不易定量的因素定量化 进行综合评价的一种方法 在校园环境质量 综合评价中 涉及到大量的复杂现象和多种因素的相互作用 而且 评价中存 在大量的模糊现象和模糊概念 因此 在综合评价时 常用到模糊综合评价的 方法进行定量化处理 评价出校园环境的质量等级 取得了良好的效果 但权 重的确定需要专家的知识和经验 具有一定的缺陷 为此 本文采用层次分析 法来确定各指标的权系数 使其更有合理性 更符合客观实际并易于定量表示 从而提高模糊综合评判结果的准确性 此外 模糊综合评价中常取的取大取小 算法 信息丢失很多 常常出现结果不易分辨 即模型失效 的情况 模糊综合评价方法和步骤的流程如下图2 评价等级 建立隶属 度函数 原始数据 计算隶属 度 权重因子 因子归一 化权重 模糊矩阵 R 权重系数 矩阵W 模糊矩阵 复合 求出隶属 度向量 模糊综合 评价分析 模糊综合评价是通过构造等级模糊子集把反映被评事物的模糊指标进行量 化 即确定隶属度 然后利用模糊变换原理对各指标综合 流程如下 1 确定评价对象的因素论域 个评价指标 P 12 p uu uu 2 确定评语等级论域 即等级集合 每一个等级可对应一个模糊子集 12 p vv vv 3 建立模糊关系矩阵R 在构造了等级模糊子集后 要逐个对被评事物从每个因素 上进行量化 即确定从单因素来看被评事物对等级模糊子集 1 2 i u ip 的隶属度 进而得到模糊关系矩阵 i R u 111121 221222 12 m m pppmp p m Rurrr Rurrr R rrrRu 矩阵中第 行第列元素 表示某个被评事物从因素来看对等级模糊子Rij ij r i u j v 集的隶属度 一个被评事物在某个因素方面的表现 是通过模糊向量 i u 来刻画的 而在其他评价方法中多是由一个指标实际值 12 iiiim R ur rr 来刻画的 因此 从这个角度讲模糊综合评价要求更多的信息 10 4 确定评价因素的权向量 在模糊综合评价中 确定评价因素的权向量 权向量 12 p Aa aa 中的元素本质上是因素对模糊子的隶属度 本文A i a i u 对被评事物重要的因素 使用层次分析法来确定评价指标间的相对重要性次序 从而确定权系数 并且 在合成之前归一化 即 1 1 p i i a 0 i a 1 2 in 5 合成模糊综合评价结果向量 利用合适的算子将与各被评事物的进行合成 得到各被评事物的模糊AR 综合评价结果向量 即 B 11121 21222 1212 12 m m pm pppm rrr rrr A Ra aab bbB rrr 其中是由与的第列运算得到的 它表示被评事物从整体上看对等级 1 bARj j v 模糊子集的隶属程度 6 对模糊综合评价结果向量进行分析 实际中最常用的方法是最大隶属度原则 但在某