2.1.2空间直线与直线之间的位置关系教案

1 第二课时 空间中直线与直线之间的位置关系 一 教学目标 1 知识与技能 1 了解空间中两条直线的位置关系 2 理解异面直线的概念 画法 培养学生的空间想象能力 3 理解并掌握公理 4 4 理解并掌握等角公理 5 异面直线所成角的定义 范围及应用 2 过程与方法 让学生在学习过程中不断归纳整理所学知识 3 情感 态度与价值 让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性 提高学生的学习兴趣 二 教学重点 难点 重点 1 异面直线的概念 2 公理 4 及等角定理 难点 异面直线所成角的计算 三 教学方法 师生的共同讨论与讲授法相结合 教学过程教学内容师生互动设计意图 新课导入 问题 在同一平面内 两 条直线有几种位置关系 空间 的两条直线还有没有其他位置 关系 师投影问题 学生讨论回答 生1 在同一平面内 两 条直线的位置关系有 平行与 相交 生2 空间的两条直线除 平行与相交外还有其他位置关 系 如教室里的电灯线与墙角 线 师 肯定 这种位置关 系我们把它称为异面直线 这 节课我们要讨论的是空间中直 线与直线的位置关系 以旧导新 培养学生 知识的系 统性和学 生学习的 积极性 1 空间的两条直线位置关 系 共面直线 异面直线 不同在任何一个平 面内 没有公共点 师 根据刚才的分析 空 间的两条直线的位置关系有以 下三种 相交直线 有且仅 有一个公共点 平行直线 在同一平面 内 没有公共点 异面直线 不同在任何 一个平面内 没有公共点 探索新知 随堂练习 现在大家思考一下这三种位置 关系可不可以进行分类 生 按两条直线是否共面 可以将三种位置关系分成两类 一类是平行直线和相交直线 培养学生 分类的能 力 加深 学生对空 间的一条 相交直线 同一平面内 有且只有一个公共点 平行直线 同一平面内 没有公共点 2 如图所示 P50 16 是一个正 方体的展开图 如果将它还原 为正方体 那么 AB CD EF GH 这四条线段 所在直线是异面直线的有 对 答案 4 对 分别是 HG 与 EF AB 与 CD AB 与 EF AB 与 HG 它们是共面直线 一类是异面直 线 它们不同在任何一个平面 内 师 肯定 所以异面直线 的特征可说成 既不平行 也 不相交 那么 不同在任何一 个平面内 是否可改为 不在 一个平面内呢 学生讨论发现不能去掉 任何 师 不同在任何一个平 面内 可以理解为 不存在一 个平面 使两异面直线在该平 面内 直线位置 关系的理 解 1 公理 4 平行于同一 条直线的两条直线互相平行 2 定理 空间中如果 两个角的两边分别对应平行 那么这两个角相等或互补 例 2 如图所示 空间四边 形 ABCD 中 E F G H 分别是 AB BC C D DA 的中 点 求证 四边形 EFGH 是平行 四边形 证明 连接 BD 因为 EH 是 ABD 的中位 线 所以 EH BD 且 1 2 EHBD 同理 FG BD 且 1 2 FGBD 因为 EH FG 且 EH FG 所以 四边形 EFGH 为平行四 边形 师 现在请大家看一看我 们的教室 找一下有无不在同 一平面内的三条直线两两平行 的 师 我们把上述规律作为 本章的第 4 个公理 公理 4 平行于同一条直 线的两条直线互相平行 师 现在请大家思考公理 4 是否可以推广 它有什么作 用 生 推广空间平行于一条 直线的所有直线都互相平行 它 可以用来 证明两条 直线平行 师 肯定 下面我们来看一个例 子 观察图 在长方体 ABCD A B C D 中 ADC 与 A D C ADC 与 A B C 的两边分别对应 平行 这两组角的大小关系如 何 生 从图中可以看出 ADC A D C ADC A B C 180 师 一般地 有以下定理 培养 学生观察 能力语言 表达能力 和探索创 新的意识 通过分析 和引导 培养学生 解题能力 3 这个定理可以用公理 4 证 明 是公理 4 的一个推广 我 们把它称为等角定理 师打出投影片让学生尝试 作图 在作图的基础上猜想平 行的直线并试图证明 师 在图中 EH FG 有怎样的 特点 它们有直接的联系吗 引导学生找出证明思路 探索新知 3 异面直线所成的角 1 异面直线所成角的 概念 已知两条异面直线 a b 经过空间任一点 O 作直线 a a b b 我们把 a 与 b 所成的锐角 或直角 叫做 异面直线 a 与 b 所成的角 或夹 角 2 异面直线互相垂直 如果两条异面直线所成的 角是直角 那么我们就说这两 条直线互相垂直 两条互相垂直 的异面直线 a b 记作 a b 例 3 如 图 已知正方 体 ABCD A B C D 1 哪些棱所在直线与直 线 BA 是异面直线 2 直线 BA 和 CC 的 夹角是多少 3 哪此棱所在的直线与 直线 AA 垂直 解 1 由异面直线的定义 可知 棱 AD DC CC DD D C B C 所在直线分别与直线 BA 是异面直线 2 由 BB CC 可知 B BA 为异面直线 B A 与 CC 的 夹角 B BA 45 3 直线 AB BC CD DA A B B C 师讲述异面直线所成的角 的定义 然后学生共同对定义 进行分析 得出如下结论 两条异面直线所成角的 大小 是由这两条异面直线的 相互位置决定的 与点 O 的位 置选取无关 两条异面直线所成的角 0 2 因为点 O 可以任意选取 这就给我们找出两条异面直线 所成的角带来了方便 具体运 用时 为了简便 我们可以把 点 O 选在两条异面直线的某一 条上 找出两条异面直线所成 的角 要作平行移动 作平行 线 把两条异面直线所成的 角转化为两条相交直线所成的 角 当两条异面直线所成的 角是直线时 我们就说这两条 异面直线互相垂直 异面直线 a 和 b 互相垂直 也记作 a b 以后我们说两条直线互 相垂直 这两条直线可能是相 交的 也可能是不相交的 即 有共面垂直 也有异面垂直这 样两种情形 然后师生共同分析例题 加深 对平面直 线所成角 的理解 培养空间 想象能图 力和转化 化归以能 力 4 C D D A 分别与直线 AA 垂 直 随堂练习 1 填空题 1 如图 AA 是长方体 的一条棱 长方体中与 AA 平 行的棱共有 条 2 如果 OA O A OB O B 那么 AOB 和 A O B 答案 1 3 条 分别是 BB CC DD 2 相等或 互补 2 如图 已知长方体 ABCD A B C D 中 AB 2 3 AD 2 3 AA 2 1 BC 和 A C 所成的角 是多少度 2 AA 和 BC 所成的 角是多少度 学生独立完成 答案 2 1 因为 BC B C 所以 B C A 是异面直线 A C 与 BC 所成的角 在 Rt A B C 中 A B 2 3 B C 2 3 所以 B C A 45 2 因为 AA BB 所 以 B BC 是异面直线 AA 和 BB 所成的角 在 Rt BB C 中 B C AD 2 3 BB AA 2 所以 BC 4 B BC 60 因此 异面直线 AA 与 BC 所成的角为 60 归纳总结 1 空间中两条直线的位置 关系 2 平行公理及等角定理 3 异面直线所成的角 学生归纳 教师点评并完善 培养 学生归纳 总结能力 加深学生 对知识的 掌握 完 善学生知 识结构 作业2 1 第二课时 习案学生独立完成 固化知识 提升能力 附加例题 例 1 a b 为异面直线 是指 a b 且 a b a 面 b 面 且 a b a 面 b 面 且 5 a 面 b 面 不存在面 使 a 面 b 面 成立 上述结论中 正确的是 A 正确B 正确 C 仅 正确D 仅 正确 解析 等价于 a 和 b 既不相交 又不平行 故 a b 是异面直线 等价于 a b 不同在同一平面内 故 a b 是异面直线 故选 D 例 2 如果异面直线 a 与 b 所成角为 50 P 为空间一定点 则过点 P 与 a b 所成 的角都是 30 的直线有且仅有 条 解析 如图所示 过定点 P 作 a b 的平行线 a b 因 a b 成 50 角 a 与 b 也成 50 角 过 P 作 A PB 的平分线 取较小的角有 A PO B PO 25 APA A PO 过 P 作直线 l 与 a b 成 30 角的直线有 2 条 例 3 空间四边形 ABCD 已知 AD 1 BD 3 且 AD BC 对 角线 BD 13 2 AC 3 2 求 AC 和 BD 所成的角 解析 取 AB AD DC BD 中点为 E F G M 连 EF FG GM ME EG 则 MG 1 2 BC EM 1 2 AD AD