2020届高三上学期第一次模拟考试数学（理）试卷（PDF版—后附答案）

数学 理科 注意事项 I 全部答案在答题卡上完成 答在本试题卷上无效 2 考试结束后 只文答题卡 一 选择题 本大题共12小题 每小题5分 共60分 在每小题给出的四个选项中 只有一 项是符合题目要求的 I 己知集合A x I x 2 x 6 l 则A门B A 3 B 1 3 C 1 3 D 3 倒 2 若复数z满足 Z i l i 其中i为虚数单位 则z的虚部为 A 0 B 1 3 设x R 则 lgx 是 2 z 1 0 的右焦点 若圆F x c 2 y2 a2上 a2 b2 恰有三个点到双曲线C的 一条渐近线的距离为主 则双曲线的离心率为 2 J13 A 王 B 亟C 亚 Jo 222 2 11 在正方体ABCD A1BP1D 1中 E F分别为棱BBl DDl的中点 G为侧面ABB Ai内 一 个动点 若D 1GII平面AECIF 则DIG与平面ABBI码所成角的正切值的最大值为 A豆B I C 2 D JS 5 12 对于函数y f x 若存在勺 使f xo i xo 则称点 xo f xo 与点 xo f xo llnx x O 是函数f x 的 一对 隐对称点 若函数f x 斗 的图像恰好有2对 隐 l mx2 mx x 三0 对称点 则实数m的取值范围是 A 吵 B则C 月 e D 1 二 填空题 本大题共4小题 每小题 5分 共20分 12x 1 o 13 己知实数x y满足忖 y三0 则目标函数z 3x y的最小值为 lx y 2s O 14 I xXI x 5的展开式中含x2项的系数为 15 在平面直角坐标系x命中 点A为以0为圆心的单位圆在第一象限上一点 B l O LBOA f 若叫单位阳时针方向旋转角 到点川I 则cosa 5 5 16 己知直线l过抛物线C x 2 2py p 0 的焦点F 交C于A B两点 交C的准线于点 M 若AF FM 则J IBFI 永州市2020年高考第 一次模拟考试试卷 数学 理科 第 2页 共4页 三 解答题 本大题共6小题 共70分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第 17 题 第21题为必考题 每个试题考生都必须作答 第22 23题为选考题 考生根据要求 作答 必做题 60分 17 本题满分 12 分 如图 在6ABC中 角A B C所对的边分别为a b c bcosA asin B 0 1 求 BAC 2 若AB l AD AC 2 fi CD Js 求AD的长 C B D A 18 本题满分12分 在等腰梯形ABCD中 ABI CD ABC 60 AB 2CD 4 点 E为AB的中点 现将今BF 沿线段EC翻折 得四棱锥P AECD 且二面角 P EC D为直二面角 1 求证 EC lPD 2 求二面角P AE C的余弦值 19 本题满分12分 已知椭圆c兰 i l a b O 过点 1 马 短轴一个端点到右焦点 a2 b 2 主 2二 的距离为2 V卢r二 ffi 飞 二 1 求椭圆C的方程 2 设过定点M 0 2 的直线l与椭圆交于不同的两点A LB 若坐标原点 在以线段 AB为直径的圆外 求直线l的斜率k的取值范围 啡 邀 当 肌 案 件 愤 版 自 凡 川 剧 附 刷 刷 方 检 件 的 皇 耐 9 三 就 3 品 塾 质 E 口 8 蓉 第 构 出 产 期 口 阳 铲 概 请 机 测 件 学 童 7 的 邀 测 检 每 数 保 衡 Z 品 检 若 3 确 来 6 阳 等 前 方 L 买 时 最 优 买 三 视 购 和 业标 5 1 为 购 第 检 元 分 企 指 d 品 及 行 到 飞 产 量 L 却 4 产 元 业 品 四 川 v i 晰 丁 M 3 梢 md 叫 附 和 叫 瞅 瞅 2 忡mM忡 娘 叫叫 恻 一 几 场 j l J 川 hmt 出 贝 X 刷 刷阳 刚 mmm 川 却 取 制 叫叫 蛐 飞 的 火 检 立 川 军 制额 1 抽 知 样 随 买 收 仰 自明 当 当 方 指 件 该 概 翩 叫 加 中 购 的 产 睛 三 5 量 产 计 中 口 口 川剧 品 元 业 生 切 们 品 第取 质 5 生 估 高 产 3 日 产 企 自 晶 口 町 等 口 肌 抽的的 业率 内 陆 内 件 以川 祀 口 m 町 等 一 等 机 品取 企 频 有 附 件 创 件 担 叫刘 树 脱 刊 汇 情 附 蛐 协 问 晰 知 m H 叫 树 蝉 丰 口 品 口 阳 随 估 产 购的 议 则 企 分 机 口 口 产 产 产 5 用 况 生 定 买 协 由 2 测 产 该 这 图 本 情 监 决 购 下 品 元 1 检 时 时在 了 形 样 量 企 人 要以 等 盼 方 时 86 构 制 条 为 质 该 某 对 成 优 万 里 三 8 K K 机 绘的作的 从 现 构 达 为 用 同 第 剖 纠 测 Z 品 品 请 Z u L 检 件 标 产 产 率 AU 句 121 82 87 42 5 永州市2020年高考第 一次模拟考试试卷 数学 理科 第3页 共4页 3 商场为推广此款产品 现面向意向客户推出 玩游戏 送大奖 活动 客户可根据 抛硬 币的结果 操控机器人在础上行进 已知硬币出现正 反面的概率都是i 方格图上标有第0格 第1格 第2格 第50格 机器人开始在第0格 客户每掷一次硬币 机器人向前移动一次 若掷出正面 机器人向前移动一格 从 k到k 1 若掷出反面 机器人向前移动两格 从k到k 2 直到机器人移到 第49格 胜利大本营 或第50格 失败大本营 时 游戏结束 若机器人停在 胜 利大本营 则可获得优惠券 设机器人移到第n格的概率为马 0三n 豆 50 n e N 试证明 凡 P l l 三 n三49 n N 是等比数列 并解释此方案能否吸引顾客购买 该款产品 21 本题满分12分 己知函数f x e x a 1n x a 0 l 试求函数f x 的极值点的个数 2 若a N f x 0恒成立 求 的最大值 参考数据 X 1 61 71 74 ex 5 4745 697 lnx I 0 410 0 531 0 554 1 810 6 05022026 0 558 2 303 1 r霄 句 二 选考题 IO分 请考生在第22 23题中任选一题作答 如果多做 则按所做第一题计分 22 本题满分10分 选修牛4 坐标系与参数方程 3 x 一 t m 在平面直角坐标系x句中 直线l的参数方程是 1 2 t 为参数 在以0为极 y 2t 点 x轴正半轴为极轴的极坐标系中 曲线C的极坐标方程 2 2 cos2 0 2sin2 1 求曲线C的直角坐标方程 4 I句 设直线l与X轴交于点p 与曲线C交于A B两点 且IABI 子 求实数m的值 23 C本题满分10分 选修4 5 不等式选讲 己知函数f x lx 1卜lx tl I 求不等式f x 1的解集 2 若不等式f x Sx2 x m恒成立 求实数m的取值范围 永州市 2020 年高考第一次模拟考试试卷 数学 理科 第 4 页 共 4 页 页 1 第 数学 理科 参考答案 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符 合题目要求的 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B A D A B C D C A D B 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 把答案填在答题卡中对应题号后的横线上 13 2 14 5 15 10 433 16 2 3 三 解答题 本大题共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 12 分 解 1 在ABCD中 由正弦定理得sincossinsin0BAAB 2 分 sin0B tan1A 4 分 因为 0 A 所以 4 A 6 分 2 ABAD 且 4 BAC 4 CAD 7 分 在ACDD中 2 2AC 5CD 4 CAD 由余弦定理得 222 2cosCDACADAC ADCAD 鬃 9 分 即 2 2 5822 2 2 ADAD 创 解得 1AD 或3AD 11 分 AD 的长为 1 或 3 12 分 18 本小题满分 12 分 解 1 如图连接DE 易知 DCE CEP 均为正三角形 取CE中点Q 连接PQ DQ 则CEPQ CEDQ 2 分 又QPQDQ DQPQ 平面DPQ EC平面PDQ 4 分 又 PD 平面PDQ 所以PDEC 5 分 2 因为二面角PECD 为直二面角 所以平面 PEC平面AECD 又因为平面 PEC平面ECAECD 且ECPQ 所以 PQ平面AEC 又因为DQEC 故以点Q为坐标原点 QPQDQC 所在直线分别为x轴 y轴 z轴建 立如图所示的空间直角坐标系xyzQ 6 分 则 2 3 0 A 1 0 0 E 0 0 3 P 所以 1 3 AE 0 2 3 3 AP 设平面PAC的法向量为 zyxm 由 0 0 m AE m AP 得 30 2330 xy xyz 取1z 所以 3 m 1 1 9 分 又因为直线PQ 平面AEC 所以 0 0 3 PQ 是平面AEC的一个法向量 页 2 第 所以 35 cos 553 m PQ m PQ mPQ 11 分 又因为二面角PAEC 为锐二面角 所以二面角PAEC 的余弦值 5 5 12 分 19 本小题满分 12 分 解 1 由题意知 22 3 1 4 1 2 ab a 解得 2 1 a b 所以椭圆C的方程为 2 2 1 4 x y 4 分 2 显然直线0 x 不满足题设条件 可设直线 1222 2 l ykxA x yB x y 联立 2 2 2 1 4 ykx x y 消去y 整理得 22 1 430 4 kxkx 1212 22 43 11 44 k xxxx kk 6 分 由 2 22 1 443430 4 kkk 得 3 2 k 或 3 2 k 7 分 因为坐标原点O在以线段AB为直径的圆外 1212 0OA OBx xy y 9 分 又 2 12121212 2224y ykxkxk x xk xx 222 222 381 4 111 444 kkk kkk 2 22 31 0 11 44 k kk 即 2 4k 22k 11 分 故 3 2 2 k 或 3 2 2 k 12 分 20 本小题满分 12 分 解 1 根据条形图可知 优等品的频率为 2 1 500 4287121 用频率估计概率 则任取一件产品为 优等品的概率为 2 1 P 2 分 页 3 第 2 由 1 任取一件产品为优等品的概率为 2 1 由题意47000425080 10001600 X 或 39000425080 10001500 X 3 分 16 5 2 1 2 1 47000 43 4 44 4 CCXP 4 分 16 11 2 1 2 1 2 1 39000 42 4 41 4 40 4 CCCXP 5 分 故X的分布列为 所以数学期望41500 16 11 39000 16 5 47000 EX 6 分 3 机器人在第 0 格为必然事件 1 0 P 第一次掷硬币出现正面 机器人移到第 1 格 其概率 2 1 1 P 机器人移到第 492 nn格的情况只有两种 先到第2 n格 又出现反面 其概率 2 2 1 n P 先到第1 n格 又出现正面 其概率 1 2 1 n P 所以 21 2 1 2 1 nnn PPP 故 2 1 211 nnnn PPPP 8 分 所以149n 时 数列 1 nn PP为首项 2 1 01 PP 公比为 2 1 的等比数列 所以 2 1 01 PP 2 12 2 1 PP 3 23 2 1 PP n nn PP 2 1 1 9 分 以上各式累加 得 n n P 2 1 2 1 2 1 1 21 所 49 1 0 2 1 1 3 2 2 1 2 1 2 1 1 121 nP nn n 10 分 所以获胜概率 2 1 1 3 2 2 1 1 3 2 5050 49 P 失败概率 2 1 1 3 1 2 1 1 3 1 2 1 4949 4850 PP 11 分 X 47000 39000 P 16 5 16 11 页 4 第 0 2 1 1 3 1 2 1 1 3 1 2 1 1 3 2 484950 5049 PP 所以获胜概率更大 故此方案能吸引顾客购买该款产品 12 分 21 本小题满分 12 分 解 1 函数 f x的定义域为 0 ex a fx x 1 分 当0a 时 ex a fx x 在 0 单调递增 e10 a fa 0 x 时 fx 存在唯一正数 0 x 使得 0 0fx 3 分 函数 f x在 0 0 x单调递减 在 0 x 单调递增 函数 f x有唯一极小值点 0 x 没有极大值点 当0a 时 f x有唯一极小值点 没有极大值点 5 分 2 由 1 知 当0a 时 f x有唯一极小值点 0 x 0 00 m eln x in f xf xax 0f x 恒成立 0 0f x 0 0 ex a x 000 00 1 lnln0 a f xaxax xx 0 0 1 ln0 x x 6 分 令 1 lnh xx x 则 h x在 0 单调递减 由于 1 1 74ln1 740 1 74 h 1 1 8ln1 80 1 8 h 存在唯一正数 1 74 1 8m 使得 0h m 从而 0 0 xm 8 分 由于 0 00 eln0 x f xax 恒成立 当 0 0 1x 时 0 00 eln0 x f xa x 成立 当 0 1 xm 时 由于 0 0 eln0 x ax 0 0 e ln x a x 令 e ln x g x x 当 1 xm 时 2 1 eln 0 ln x x x gx x e ln x g x x 在 1 m单调递减 从而 ag m 页 5 第 1 74g mg 且 1 74 e 1 7410 3 ln1 74 g 且a N 10a 10 分 下面证明10a 时 e10ln0 x f xx 10 exfx x 且 fx 在 0 单调递增 由于 1 740f 1 80f 存在唯一 0 1 74 1 8x 使得 0 0 0 10 e0 x fx x 0 0000 min 00 101 e10ln10 ln1010 ln10 x f xf xxxx xx 令 0 0 1 10 ln10 u xx x 1 74 1 8x 易知 u x在 1