2007年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷ⅰ)

第 1 页 共 21 页 2007 年全国统一高考数学试卷 理科 年全国统一高考数学试卷 理科 全国卷 全国卷 一 选择题 共一 选择题 共 12 小题 每小题小题 每小题 4 分 满分分 满分 48 分 分 1 4 分 是第四象限角 则 sin A B C D 2 4 分 设 a 是实数 且是实数 则 a A B 1C D 2 3 4 分 已知向量 则 与 A 垂直B 不垂直也不平行 C 平行且同向 D 平行且反向 4 4 分 已知双曲线的离心率为 2 焦点是 4 0 4 0 则双曲线方程 为 A B C D 5 4 分 设 a b R 集合 1 a b a 0 b 则 b a A 1B 1C 2D 2 6 4 分 下面给出的四个点中 到直线 x y 1 0 的距离为 且位于 表示的平面区域内的点是 A 1 1 B 1 1 C 1 1 D 1 1 7 4 分 如图 正棱柱 ABCD A1B1C1D1中 AA1 2AB 则异面直线 A1B 与 AD1 所成角的余弦值为 第 2 页 共 21 页 A B C D 8 4 分 设 a 1 函数 f x logax 在区间 a 2a 上的最大值与最小值之差 为 则 a A B 2C D 4 9 4 分 f x g x 是定义在 R 上的函数 h x f x g x 则 f x g x 均为偶函数 是 h x 为偶函数 的 A 充要条件B 充分而不必要的条件 C 必要而不充分的条件D 既不充分也不必要的条件 10 4 分 的展开式中 常数项为 15 则 n A 3B 4C 5D 6 11 4 分 抛物线 y2 4x 的焦点为 F 准线为 l 经过 F 且斜率为的直线与抛 物线在 x 轴上方的部分相交于点 A AK l 垂足为 K 则 AKF 的面积是 A 4B C D 8 12 4 分 函数 f x cos2x 2cos2的一个单调增区间是 A B C D 二 填空题 共二 填空题 共 4 小题 每小题小题 每小题 5 分 满分分 满分 20 分 分 13 5 分 从班委会 5 名成员中选出 3 名 分别担任班级学习委员 文娱委员 与体育委员 其中甲 乙二人不能担任文娱委员 则不同的选法共有 种 用数字作答 14 5 分 函数 y f x 的图象与函数 y log3x x 0 的图象关于直线 y x 对 称 则 f x 15 5 分 等比数列 an 的前 n 项和为 Sn 已知 S1 2S2 3S3成等差数列 则 an 的公比为 16 5 分 一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上 已 知正三棱柱的底面边长为 2 则该三角形的斜边长为 第 3 页 共 21 页 三 解答题 共三 解答题 共 6 小题 满分小题 满分 82 分 分 17 12 分 设锐角三角形 ABC 的内角 A B C 的对边分别为 a b c a 2bsinA 求 B 的大小 求 cosA sinC 的取值范围 18 12 分 某商场经销某商品 根据以往资料统计 顾客采用的付款期数 的分布列为 12345 P0 40 20 20 10 1 商场经销一件该商品 采用 1 期付款 其利润为 200 元 分 2 期或 3 期付款 其利润为 250 元 分 4 期或 5 期付款 其利润为 300 元 表示经销一件该商 品的利润 求事件 A 购买该商品的 3 位顾客中 至少有 1 位采用 1 期付款 的概 率 P A 求 的分布列及期望 E 19 14 分 四棱锥 S ABCD 中 底面 ABCD 为平行四边形 侧面 SBC 底面 ABCD 已知 ABC 45 AB 2 BC 2 SA SB 证明 SA BC 求直线 SD 与平面 SBC 所成角的大小 20 14 分 设函数 f x ex e x 证明 f x 的导数 f x 2 若对所有 x 0 都有 f x ax 求 a 的取值范围 21 14 分 已知椭圆的左右焦点分别为 F1 F2 过 F1的直线交椭圆 第 4 页 共 21 页 于 B D 两点 过 F2的直线交椭圆于 A C 两点 且 AC BD 垂足为 P 设 P 点的坐标为 x0 y0 证明 求四边形 ABCD 的面积的最小值 22 16 分 已知数列 an 中 a1 2 n 1 2 3 求 an 的通项公式 若数列 bn 中 b1 2 n 1 2 3 证明 n 1 2 3 第 5 页 共 21 页 2007 年全国统一高考数学试卷 理科 年全国统一高考数学试卷 理科 全国卷 全国卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 选择题 共一 选择题 共 12 小题 每小题小题 每小题 4 分 满分分 满分 48 分 分 1 4 分 2007 全国卷 是第四象限角 则 sin A B C D 分析 根据 tan sin2 cos2 1 即可得答案 解答 解 是第四象限角 sin2 cos2 1 sin 故选 D 2 4 分 2007 全国卷 设 a 是实数 且是实数 则 a A B 1C D 2 分析 复数分母实数化 化简为 a bi a b R 的形式 虚部等于 0 可求 得结果 解答 解 设 a 是实数 是实数 则 a 1 故选 B 3 4 分 2007 全国卷 已知向量 则 与 A 垂直B 不垂直也不平行 C 平行且同向 D 平行且反向 分析 根据向量平行垂直坐标公式运算即得 解答 解 向量 得 第 6 页 共 21 页 故选 A 4 4 分 2007 全国卷 已知双曲线的离心率为 2 焦点是 4 0 4 0 则双曲线方程为 A B C D 分析 根据焦点坐标求得 c 再根据离心率求得 a 最后根据 b 求 得 b 双曲线方程可得 解答 解 已知双曲线的离心率为 2 焦点是 4 0 4 0 则 c 4 a 2 b2 12 双曲线方程为 故选 A 5 4 分 2007 全国卷 设 a b R 集合 1 a b a 0 b 则 b a A 1B 1C 2D 2 分析 根据题意 集合 注意到后面集合中有元素 0 由集合相等的意义 结合集合中元素的特征 可得 a b 0 进而分析可得 a b 的值 计算可得答案 解答 解 根据题意 集合 又 a 0 a b 0 即 a b b 1 故 a 1 b 1 第 7 页 共 21 页 则 b a 2 故选 C 6 4 分 2007 全国卷 下面给出的四个点中 到直线 x y 1 0 的距离为 且位于表示的平面区域内的点是 A 1 1 B 1 1 C 1 1 D 1 1 分析 要找出到直线 x y 1 0 的距离为 且位于表示的平面区 域内的点 我们可以将答案中的四个点逐一代入验证 不难得到结论 解答 解 给出的四个点中 1 1 1 1 1 1 三点到直线 x y 1 0 的距离都为 但 仅有 1 1 点位于表示的平面区域内 故选 C 7 4 分 2007 全国卷 如图 正棱柱 ABCD A1B1C1D1中 AA1 2AB 则异 面直线 A1B 与 AD1所成角的余弦值为 A B C D 分析 先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点 B 得到的锐角 A1BC1 就是异面直线所成的角 在三角形中 A1BC1用余弦定理求解即可 第 8 页 共 21 页 解答 解 如图 连接 BC1 A1C1 A1BC1是异面直线 A1B 与 AD1所成的角 设 AB a AA1 2a A1B C1B a A1C1 a A1BC1的余弦值为 故选 D 8 4 分 2007 全国卷 设 a 1 函数 f x logax 在区间 a 2a 上的最 大值与最小值之差为 则 a A B 2C D 4 分析 因为 a 1 函数 f x logax 是单调递增函数 最大值与最小值之分 别为 loga2a logaa 1 所以 loga2a logaa 即可得答案 解答 解 a 1 函数 f x logax 在区间 a 2a 上的最大值与最小值 之分别为 loga2a logaa loga2a logaa a 4 故选 D 9 4 分 2008 上海 f x g x 是定义在 R 上的函数 h x f x g x 则 f x g x 均为偶函数 是 h x 为偶函数 的 A 充要条件B 充分而不必要的条件 C 必要而不充分的条件D 既不充分也不必要的条件 分析 本题主要是抽象函数奇偶性的判断 只能根据定义 而要否定奇偶性 一般用特值 解答 解 若 f x g x 均为偶函数 则有 f x f x g x 第 9 页 共 21 页 g x h x f x g x f x g x h x h x 为偶函数 而反之取 f x x2 x g x 2 x h x x2 2 是偶函数 而 f x g x 均不是偶函数 故选 B 10 4 分 2007 全国卷 的展开式中 常数项为 15 则 n A 3B 4C 5D 6 分析 利用二项展开式的通项公式求出第 r 1 项 令 x 的指数为 0 求出常数 项 据 n 的特点求出 n 的值 解答 解 的展开式中 常数项为 15 则 所以 n 可以被 3 整除 当 n 3 时 C31 3 15 当 n 6 时 C62 15 故选项为 D 11 4 分 2007 全国卷 抛物线 y2 4x 的焦点为 F 准线为 l 经过 F 且斜 率为的直线与抛物线在 x 轴上方的部分相交于点 A AK l 垂足为 K 则 AKF 的面积是 A 4B C D 8 分析 先根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程 进而可得到过 F 且斜率 为的直线方程然后与抛物线联立可求得 A 的坐标 再由 AK l 垂足为 K 可求得 K 的坐标 根据三角形面积公式可得到答案 解答 解 抛物线 y2 4x 的焦点 F 1 0 准线为 l x 1 经过 F 且斜率为的直线与抛物线在 x 轴上方的部分相交于点 A 3 2 第 10 页 共 21 页 AK l 垂足为 K 1 2 AKF 的面积是 4 故选 C 12 4 分 2007 全国卷 函数 f x cos2x 2cos2的一个单调增区间是 A B C D 分析 化简函数为关于 cosx 的二次函数 然后换元 分别求出单调区间判定选项的正误 解答 解 函数 cos2x cosx 1 原函数看作 g t t2 t 1 t cosx 对于 g t t2 t 1 当时 g t 为减函数 当时 g t 为增函数 当时 t cosx 减函数 且 原函数此时是单调增 故选 A 二 填空题 共二 填空题 共 4 小题 每小题小题 每小题 5 分 满分分 满分 20 分 分 13 5 分 2007 全国卷 从班委会 5 名成员中选出 3 名 分别担任班级学 习委员 文娱委员与体育委员 其中甲 乙二人不能担任文娱委员 则不同的 选法共有 36 种 用数字作答 分析 由题意知本题是一个有约束条件的排列组合问题 先从除甲与乙之外 的其余 3 人中选出 1 人担任文娱委员 再从 4 人中选 2 人担任学习委员和体育 委员 写出即可 解答 解 从班委会 5 名成员中选出 3 名 分别担任班级学习委员 文娱委 员与体育委员 第 11 页 共 21 页 其中甲 乙二人不能担任文娱委员 先从其余 3 人中选出 1 人担任文娱委员 再从 4 人中选 2 人担任学习委员和体育委员 不同的选法共有 C31 A42 3 4 3 36 种 14 5 分 2007 全国卷 函数 y f x 的图象与函数 y log3x x 0 的图 象关于直线 y x 对称 则 f x 3x x R 分析 由题意推出 f x 与函数 y log3x x 0 互为反函数 求解即可 解答 解 函数 y f x 的图象与函数 y log3x x 0 的图象关于直线 y x 对称 则 f x 与函数 y log3x x 0 互为反函数 f x 3x x R 故答案为 3x x R 15 5 分 2007 全国卷 等比数列 an 的前 n 项和为 Sn 已知 S1 2S2 3S3成等差数列 则 an 的公比为 分析 先根据等差中项可知 4S2 S1 3S3 利用等比数列的求和公式用 a1和 q 分别表示出 S1 S2和 S3 代入即可求得 q 解答 解 等比数列 an 的前 n 项和为 Sn 已知 S1 2S2 3S3成等差数列 an a1qn 1 又 4S2 S1 3S3 即 4 a1 a1q a1 3 a1 a1q a1q2 解 故答案为 16 5 分 2007 全国卷 一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱 的三条侧棱上 已知正三棱柱的底面边长为 2 则该三角形的斜边长为 2 分析 由于正三棱柱的底面 ABC 为等边三角形 我们把一个等腰直角三角形 DEF 的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上 结合图形的对称性可得 该三 第 12 页 共 21 页 角形的斜边 EF 上的中线 DG 的长等于底面三角形的高 从而得出等腰直角三角 形 DEF 的中线长 最后得到该三角形的斜边长即可 解答 解 一个等腰直角三角形 DEF 的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱 上 EDF 90 已知正三棱柱的底面边长为 AB 2 则该三角形的斜边 EF 上的中线 DG 斜边 EF 的长为 2 故答案为 2 三 解答题 共三 解答题 共 6 小题 满分小题 满分 82 分 分 17 12 分 2007 全国卷 设锐角三角形 ABC 的内角 A B C 的对边分别 为 a b c a 2bsinA 求 B 的大小 求 cosA sinC 的取值范围 分析 1 先利用正弦定理求得 sinB 的值 进而求得 B 2 把 1 中求得 B 代入 cosA sinC 中利用两角和公式化简整理 进而根据 A 的范围和正弦函数的性质求得 cosA sinC 的取值范围 解答 解 由 a 2bsinA 根据正弦定理得 sinA 2sinBsinA 所以 由 ABC 为锐角三角形得 第 13 页 共 21 页 由 ABC 为锐角三角形知 0 A 0 A A 所以 由此有 所以 cosA sinC 的取值范围为 18 12 分 2007 全国卷 某商场经销某商品 根据以往资料统计 顾客 采用的付款期数 的分布列为 12345 P0 40 20 20 10 1 商场经销一件该商品 采用 1 期付款 其利润为 200 元 分 2 期或 3 期付款 其利润为 250 元 分 4 期或 5 期付款 其利润为 300 元 表示经销一件该商 品的利润 求事件 A 购买该商品的 3 位顾客中 至少有 1 位采用 1 期付款 的概 率 P A 求 的分布列及期望 E 分析 由题意知购买该商品的 3 位顾客中至少有 1 位采用 1 期付款的对 立事件是购买该商品的 3 位顾客中无人采用 1 期付款 根据对立事件的概率公 式得到结果 2 根据顾客采用的付款期数 的分布列对应于 的可能取值为 200 元 250 元 300 元 得到变量对应的事件的概率 写出变量的分布列和期望 解答 解 由题意知购买该商品的 3 位顾客中至少有 1 位采用 1 期付 款的对立事件是购买该商品的 3 位顾客中无人采用 1 期付款 设 A 表示事件 购买该商品的 3 位顾客中至少有 1 位采用 1 期付款 知 表示事件 购买该商品的 3 位顾客中无人采用 1 期付款 第 14 页 共 21 页 根据顾客采用的付款期数 的分布列对应于 的可能取值为 200 元 250 元 300 元 得到变量对应的事件的概率 P 200 P 1 0 4 P 250 P 2 P 3 0 2 0 2 0 4 P 300 1 P 200 P 250 1 0 4 0 4 0 2 的分布列为 200250300 P0 40 40 2 E 200 0 4 250 0 4 300 0 2 240 元 19 14 分 2007 全国卷 四棱锥 S ABCD 中 底面 ABCD 为平行四边形 侧面 SBC 底面 ABCD 已知 ABC 45 AB 2 BC 2 SA SB 证明 SA BC 求直线 SD 与平面 SBC 所成角的大小 分析 解法一 1 作 SO BC 垂足为 O 连接 AO 说明 SO 底面 ABCD 利用三垂线定理 得 SA BC 由 知 SA BC 设 AD BC 连接 SE 说明 ESD 为直线 SD 与平面 SBC 所成的角 通过 求出直线 SD 与平面 SBC 所 成的角为 第 15 页 共 21 页 解法二 作 SO BC 垂足为 O 连接 AO 以 O 为坐标原点 OA 为 x 轴 正向 建立直角坐标系 O xyz 通过证明 推出 SA BC 与的夹角记为 SD 与平面 ABC 所成的角记为 因为为平面 SBC 的法向量 利用 与 互余 通过 推出直线 SD 与平面 SBC 所成的角为 解答 解法一 1 作 SO BC 垂足为 O 连接 AO 由侧面 SBC 底面 ABCD 得 SO 底面 ABCD 因为 SA SB 所以 AO BO 又 ABC 45 故 AOB 为等腰直角三角形 AO BO 由三垂线定理 得 SA BC 由 知 SA BC 依题设 AD BC 故 SA AD 由 又 作 DE BC 垂足为 E 则 DE 平面 SBC 连接 SE ESD 为直线 SD 与平面 SBC 所成的角 所以 直线 SD 与平面 SBC 所成的角为 解法二 作 SO BC 垂足为 O 连接 AO 由侧面 SBC 底面 ABCD 得 SO 平面 ABCD 因为 SA SB 所以 AO BO 又 ABC 45 AOB 为等腰直角三角形 AO OB 如图 以 O 为坐标原点 OA 为 x 轴正向 建立直角坐标系 O xyz 第 16 页 共 21 页 因为 又 所以 S 0 0 1 所以 SA BC 与的 夹角记为 SD 与平面 ABC 所成的角记为 因为为平面 SBC 的法向量 所 以 与 互余 所以 直线 SD 与平面 SBC 所成的角为 20 14 分 2007 全国卷 设函数 f x ex e x 证明 f x 的导数 f x 2 若对所有 x 0 都有 f x ax 求 a 的取值范围 分析 先求出 f x 的导函数 利用 a b 2当且仅当 a b 时取等 号 得到 f x 2 把不等式变形令 g x f x ax 并求出导函数令其 0 得到驻点 在 第 17 页 共 21 页 x 0 上求出 a 的取值范围即可 解答 解 f x 的导数 f x ex e x 由于 故 f x 2 当且仅当 x 0 时 等号成立 令 g x f x ax 则 g x f x a ex e x a 若 a 2 当 x 0 时 g x ex e x a 2 a 0 故 g x 在 0 上为增函数 所以 x 0 时 g x g 0 即 f x ax 若 a 2 方程 g x 0 的正根为 此时 若 x 0 x1 则 g x 0 故 g x 在该区间为减函数 所以 x 0 x1 时 g x g 0 0 即 f x ax 与题设 f x ax 相矛盾 综上 满足条件的 a 的取值范围是 2 21 14 分 2007 全国卷 已知椭圆的左右焦点分别为 F1 F2 过 F1的直线交椭圆于 B D 两点 过 F2的直线交椭圆于 A C 两点 且 AC BD 垂足为 P 设 P 点的坐标为 x0 y0 证明 求四边形 ABCD 的面积的最小值 第 18 页 共 21 页 分析 椭圆的半焦距 由 AC BD 知点 P 在以线段 F1F2为直 径的圆上 故 x02 y02 1 由此可以证出 设 BD 的方程为 y k x 1 代入椭