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文档简介

2无穷积分的性质及收敛判别 一 无穷积分的性质 本节讨论了无穷积分的性质 并用这些性 质得到无穷积分的收敛判别法 二 非负函数无穷积分的收敛判别法 三 一般函数无穷积分的收敛判别法 收敛的充要条件是 一 无穷积分的性质 证 极限的柯西准则 此等价于 性质1 任意常数 则 即 根据反常积分定义 容易导出以下性质1和性质2 性质2 h x 在任意 a u 上可积 且 证因为 收敛 由柯西准则的必要性 再由柯西准则的充分性 二 非负函数无穷积分的收敛判别法 上的非负函数f在任何 收敛的充要条件是 定理11 3 非负函数无穷积分的比较判别法 在上的两个非负函数f g在任何有限区 增函数的收敛判别准则 间 a u 上可积 且存在满足 设定义 证 由非负函数无穷积分的判别法 第二个结论是第一个结论的逆否命题 因此也成立 证 推论1设非负函数f和g在任何 a u 上可积 且 由于 证 即 推论2设f是定义在上的非负函数 在任何 限区间 a u 上可积 推论3设f是定义在上的非负函数 在任何有 说明 推论3是推论2的极限形式 读者应不难写 出它的证明 解 i 无穷积分 以下定理可用来判别一般函数无穷积分的收敛性 三 一般函数无穷积分的判别法 若f在任何 有限区间 a u 上可积 定理11 4 绝对收敛的无穷积分必收敛 证 因此 再由柯西准则的充分性 又对任意 一般函数的无穷积分还可试用以下的狄利克雷判 定理11 5 狄利克雷判别法 证 故 别法和阿贝尔判别法判别其收敛性 使得 因此 由柯西准则 定理11 6 阿贝尔判别法 证 证法1 由g的单调性 用积分第二中值定理 任意的 使得 由柯西准则 证法2 由狄利克雷判别法 解 对收敛 收敛 所以 由狄利克雷判别法知 另一方面 狄利克雷判 别法条件 是收敛的
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