广东省深圳市2014届高三2月第一次调研数学理试题

广东省深圳市广东省深圳市 2014 届高三届高三 2 月第一次调研月第一次调研 数学理试题数学理试题 2014 2 本试卷共 6 页 21 小题 满分 150 分 考试用时 120 分钟 注意事项 1 答卷前 考生首先检查答题卡是否整洁无缺损 监考教师分发的考生信息条形码是否正确 之后务必用 0 5 毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校 姓名和考生号 同时 将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区 请保持条形码整洁 不污损 2 选择题每小题选出答案后 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用 橡皮擦干净后 再选涂其它答案 答案不能答在试卷上 不按要求填涂的 答案无效 3 非选择题必须用 0 5 毫米黑色字迹的签字笔作答 答案必须写在答题卡各题目指定区域内 相应位置上 请注意每题答题空间 预先合理安排 如需改动 先划掉原的答案 然后再 写上新的答案 不准使用铅笔和涂改液 不按以上要求作答的答案无效 4 作答选做题时 请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点 再做答 漏涂 错涂 多 涂的答案无效 5 考生必须保持答题卡的整洁 考试结束后 将答题卡交回 参考公式 如果事件互斥 那么 AB P ABP AP B 如果事件相互独立 那么 AB P ABP A P B 若锥体的底面积为 高为 则锥体的体积为 Sh 1 3 VSh 一 选择题 本大题共 8 个小题 每小题 5 分 共 40 分 在每小题给出的四个选项中 有且只有 一项是符合题目要求的 1 已知集合 集合 集合 则集合可表示为 2 0 1 4 A 04 R BxxxCAB C A B C D 2 0 1 4 1 2 3 4 1 2 4 04 R xxx 2 复数满足 其中 为虚数单位 则 z 1 i 1z iz A B C D 11 i 22 11 i 22 11 i 22 11 i 22 3 下列函数中 为奇函数的是 A B C D 1 2 2 x x y 0 1yx x sinyxx 1 0 0 0 1 0 x yx x 4 是 函数在区间上单调递减 的1 cosf xx 0 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 输出 开始 是 否 21ai 1 1 a a a 1ii a 结束 2014i 图 1 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 5 执行如图 1 所示的程序框图 则输出的的值为a 注 即为 或为 2a 2a 2a A 2 B 1 3 C 1 2 D 3 6 的展开式中常数项为 4 1 2 x x A B 1 2 1 2 C D 3 2 3 2 7 如图 2 在矩形内 记抛物线与直线OABC 2 1yx 1yx 围成的区域为 图中阴影部分 随机往矩形内投一MOABC 点 则点落在区域内的概率是PPM A B 1 18 1 12 C D 1 6 1 3 8 在平面直角坐标系中 定义两点与之间的 直角距离 为 11 P x y 22 Q xy 给出下列命题 1212 d P Qxxyy 1 若 则的最大值为 1 2 P sin 2cos QR d P Q35 2 若是圆上的任意两点 则的最大值为 P Q 22 1xy d P Q2 2 3 若 点为直线上的动点 则的最小值为 1 3 PQ2yx d P Q 1 2 其中为真命题的是 A 1 2 3 B 1 2 C 1 3 D 2 3 二 填空题 本大题共 7 小题 考生作答 6 小题 每小题 5 分 满分 30 分 本大题分为必做题和 选做题两部分 一 必做题 第 9 10 11 12 13 题为必做题 每道试题考生都必须作答 9 函数的定义域为 24 x f x 10 某几何体的三视图如图 3 所示 其正视图是边长为 2 的正方形 侧视图 和俯视图都是等腰直角三角形 则此几何体的体积是 图 3 正视图侧视图 俯视图 图 2 y C 2 1yx 1yx B O A x 1 2 1 x T A B O C 图 4 11 已知双曲线与椭圆有相同的焦点 22 22 1 xy C ab 22 1 94 xy 且双曲线的渐近线方程为 则双曲线的方程为 C2yx C 12 设实数满足 向量 若 则实数的最大值 x y 102 1 xy yx x 2 xy m a1 1 b abm 为 13 在数列中 已知 且数列是等比数列 则 n a 2 4a 3 15a n an n a 二 选做题 第 14 15 题为选做题 考生只能选做一题 两题全答的 只计算前一题的得分 14 坐标系与参数方程选做题 坐标系与参数方程选做题 在直角坐标系中 以原点为极点 轴的正半轴为极轴建xOyOx 立极坐标系 若曲线的参数方程为 为参数 曲线的极坐标方程为 1 C 2 1 xt yt t 2 C 则曲线与曲线的交点个数为 个 sincos1 1 C 2 C 15 几何证明选讲选做题 几何证明选讲选做题 如图 4 已知是 的直径 ABO是TA 的切线 过作弦 若 OA AC BT4AC 2 3AT 则 AB 三 解答题 本大题共 6 小题 满分 80 分 解答须写出文字说明 证明过程和演算步骤 16 本小题满分 12 分 已知函数的图像经过点 sin 2 0 f xx 1 12 1 求的值 2 在中 所对的边分别为 若 且ABC A B C abc 222 abcab 求 2 2122 A f sin B 17 本小题满分 12 分 某网络营销部门为了统计某市网友 2013 年 11 月 11 日在某淘宝店的网购情况 随机抽查了该 市当天60名网友的网购金额情况 得到如下数据统计表 如图 5 1 若网购金额超过千元的顾客定义为 网购达人 网购金额不超过千元的顾客定22 义为 非网购达人 已知 非网购达人 与 网购达人 人数比恰好为 3 2 1 试确定 的值 并补全频率分布直方图 如图 5 2 xypq 2 该营销部门为了进一步了解这名网友的购物体验 从 非网购达人 网购60 达人 中用分层抽样的方法确定人 若需从这人中随机选取 人进行问卷调查 设为选取10103 的 人中 网购达人 的人数 求的分布列和数学期望 3 18 本小题满分 14 分 如图 6 所示 平面平面 且四边形为矩形 四边形为直角梯形 ABCD BCEFABCDBCEF BFCEBCCE 4DCCE 2BCBF 1 求证 平面 AFCDE 2 求平面与平面所成锐二面角的余弦值 ADEBCEF 3 求直线与平面所成角的余弦值 EFADE 19 本小题满分 14 分 已知数列 n a的前n项和为 n S 且满足 2 4 1 1 2 N nn nSna n 图 5 网购金额 单位 千元 频数频率 0 0 5 30 05 0 5 1 xp 1 1 5 90 15 1 5 2 150 25 2 2 5 180 30 2 5 3 yq 合计601 00 1 2 金额 千元 频率 组距 0 7 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 00 511 522 53 A D B C F E 图 6 1 求 1 a 2 a的值 2 求 n a 3 设 1 n n n b a 数列 n b的前n项和为 n T 求证 3 4 n T 20 本小题满分 14 分 如图 7 直线 0 l yxb b 抛物线 2 2 0 C ypx p 已知点 2 2 P在抛 物线C上 且抛物线C上的点到直线l的距离的最小值为 3 2 4 1 求直线l及抛物线C的方程 2 过点 2 1 Q的任一直线 不经过点P 与抛物线C交于A B两点 直线AB与直线 l相交于点M 记直线PA PB PM的斜率分别为 1 k 2 k 3 k 问 是否存在实数 使得 123 kkk 若存在 试求出 的值 若不存在 请说明理由 21 本小题满分 14 分 图 7 y M P B Q x A O l 已知函数 2 9 0 1 x f xa ax 1 求在上的最大值 f x 1 2 2 2 若直线为曲线的切线 求实数的值 2yxa yf x a 3 当时 设 且 若不等式2a 1214 1 2 2 xxx 1214 14xxx 恒成立 求实数的最小值 1214 f xf x f x 2014 年深圳市高三年年深圳市高三年级级第一次第一次调调研考研考试试 数学数学 理科理科 答案及答案及评评分分标标准准 说明 说明 一 本解答给出了一种或几种解法供参考 如果考生的解法与本解答不同 可根据试题的主要考查一 本解答给出了一种或几种解法供参考 如果考生的解法与本解答不同 可根据试题的主要考查 内容比照评分标准制订相应的评分细则 内容比照评分标准制订相应的评分细则 二 对计算题当考生的解答在某一步出现错误时 如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度 二 对计算题当考生的解答在某一步出现错误时 如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度 可视影响的程度决定给分 但不得超过该部分正确解答应得分数的一半 如果后续部分的解答有较可视影响的程度决定给分 但不得超过该部分正确解答应得分数的一半 如果后续部分的解答有较 严重的错误 就不再给分 严重的错误 就不再给分 三 解答右端所注分数 表示考生正确做到这一步应得的累加分数 三 解答右端所注分数 表示考生正确做到这一步应得的累加分数 四 只给整数分数 选择题和填空题不给中间分数 四 只给整数分数 选择题和填空题不给中间分数 一 选择题 本大题每小题一 选择题 本大题每小题 5 5 分 满分分 满分 4040 分 分 12345678 C BDADCB A 二 填空题 本大题每小题二 填空题 本大题每小题 5 5 分 满分分 满分 3030 分 分 9 10 11 12 2 x x 8 3 2 2 1 4 y x 6 13 14 15 1 2 3nn 12 6 三 解答题三 解答题 16 本小题满分 12 分 已知函数的图像经过点 sin 2 0 f xx 1 12 1 求的值 2 在中 所对的边分别为 若 且ABC A B C abc 222 abcab 求 2 2122 A f sin B 解 1 由题意可得 即 2 分 1 12 f sin 1 6 0 7 666 62 5 分 3 2 222 abcab 7 分 222 1 cos 22 abc C ab 8 分 2 3 sin1 cos 2 CC 由 1 知 sin 2 3 f xx 2 sin cos 21222 A fAA 10 分 0 A 2 2 sin1 cos 2 AA 又 sinsin sin BACAC 212326 sinsincoscossin 22224 BACAC 12 分 说明 本小题主要考查了三角函数的图象与性质 三角恒等变换 以 sin xAxf 及余弦定理等基础知识 考查了简单的数学运算能力 17 本小题满分 12 分 某网络营销部门为了统计某市网友 2013 年 11 月 11 日在某淘宝店的网购情况 随机抽查了该 市当天60名网友的网购金额情况 得到如下数据统计表 如图 5 1 图 5 网购金额 单位 千元 频数频率 0 0 5 30 05 0 5 1 xp 1 1 5 90 15 1 5 2 150 25 2 2 5 180 30 2 5 3 yq 合计601 00 1 2 金额 千元 频率 组距 0 7 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 00 511 522 53 若网购金额超过千元的顾客定义为 网购达人 网购金额不超过千元的顾客定22 义为 非网购达人 已知 非网购达人 与 网购达人 人数比恰好为 3 2 1 试确定 的值 并补全频率分布直方图 如图 5 2 xypq 2 该营销部门为了进一步了解这名网友的购物体验 从 非网购达人 网购60 达人 中用分层抽样的方法确定人 若需从这人中随机选取 人进行问卷调查 设为选取10103 的 人中 网购达人 的人数 求的分布列和数学期望 3 解 1 根据题意 有 39 15 1860 182 39 153 xy y x 解得 2 分 9 6 x y 0 15p 0 10q 补全频率分布直方图如图所示 4 分 2 用分层抽样的方法 从中选取人 则10 其中 网购达人 有人 非网购达人 有人 6 分 2 10 4 5 3 10 6 5 故的可能取值为 0 1 2 3 03 46 3 10 1 0 6 C C P C 12 46 3 10 1 1 2 C C P C 10 分 21 46 3 10 3 2 10 C C P C 30 46 3 10 1 3 30 C C P C 所以的分布列为 0 123 p 1 6 1 2 3 10 1 30 12 分 11316 0123 6210305 E 金额 千元 频率 组距 0 7 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 00 511 522 53 说明 本题主要考察读图表 分层抽样 概率 随机变量分布列以及数学期望等基础知识 考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力 数据处理能力 18 本小题满分 14 分 如图 6 所示 平面平面 且四边形为矩形 四边形为直角梯形 ABCD BCEFABCDBCEF BFCEBCCE 4DCCE 2BCBF 1 求证 平面 AFCDE 2 求平面与平面所成锐二面角的余弦值 ADEBCEF 3 求直线与平面所成角的余弦值 EFADE 解 法一 1 取中点为 连接 CEGDGFG 且 BF CGBFCG 则 且 2 分 四边形BFGC为平行四边形 BC FGBCFG 四边形为矩形 且 ABCD BC AD BCAD 且 FG AD FGAD 则 四边形AFGD为平行四边形 AF DG 平面 平面 DG CDEAF CDE 平面 4 分 AF CDE 2 过点作的平行线交的延长线ECBBF 于 连接 PFPEPAP EPBCAD 四点共面 APED 四边形BCEF为直角梯形 四边形为矩形 ABCD EPCE 又 EPCD CDCEC EP 平面CDE EPDE 又 平面ADE 平面BCEFEP DEC 为平面ADE与平面BCEF所成锐二面角的平面角 7 分 4DCCE 2 cos 2 CE DEC DE 即平面ADE与平面BCEF所成锐二面角的余弦值为 2 2 9 分 A D B C F E 图 6 G A D B C F E P A D B C F E P H 3 过点作于 连接 FFHAP HEH 根据 2 知A P E D四点共面 EPBCAD BCBF BCAB 又 平面 ABBFB BC ABP 则 BCFH FHEP 又 平面 FHAP FH ADE 直线与平面所成角为 11 分 EFADEHEF 4DCCE 2BCBF 0 sin452FHFP 22 2 2EFFPEP 6HE 63 cos 22 2 HE HEF EF 即直线与平面所成角的余弦值为 14 分EFADE 3 2 法二 1 四边形BCEF为直角梯形 四边形为矩形 ABCD BCCE BCCD 又平面平面 且 ABCD BCEF 平面平面 ABCD BCEFBC 平面 DC BCEF 以为原点 所在直线为轴 所在直线为轴 CCBxCEy 所在直线为轴建立如图所示空间直角坐标系 CDz 根据题意我们可得以下点的坐标 则 2 0 4 A 2 0 0 B 0 0 0 C 0 0 4 D 0 4 0 E 2 2 0 F 2 分 0 2 4 AF 2 0 0 CB 为平面的一个法向量 BCCD BCCE CB CDE 又 0 22 0 4 00AF CB 平面 4 分 AF CDE A D B C F E z y x o 2 设平面的一个法向量为 则ADE 1111 nx y z 1 1 0 0 AD n DE n 2 0 0 AD 0 4 4 DE 取 得 6 分 1 11 20 440 x yz 1 1z 1 0 1 1 n 平面 DC BCEF 平面一个法向量为 BCEF 0 0 4 CD 设平面与平面所成锐二面角的大小为 ADEBCEF 则 1 1 42 cos 242 CD n CDn 因此 平面与平面所成锐二面角的余弦值为 9 分ADEBCEF 2 2 3 根据 2 知平面一个法向量为 ADE 1 0 1 1 n 12 分 2 2 0 EF 1 1 1 21 cos 22 22 EF n EF n EFn 设直线与平面所成角为 则 EFADE 1 3 cossin 2 EF n 因此 直线与平面所成角的余弦值为 14 分EFADE 3 2 说明 本题主要考察空间点 线 面位置关系 二面角及三角函数及空间坐标系等基础知识 考查空间想象能力 运算能力和推理论证能力 考查用向量方法解决数学问题的能力 19 本小题满分 14 分 已知数列 n a的前n项和为 n S 且满足 2 4 1 1 2 N nn nSna n 1 求 1 a 2 a的值 2 求 n a 3 设 1 n n n b a 数列 n b的前n项和为 n T 求证 3 4 n T 解 1 当 1n时 有 解得 1 8 a 2 11 4 1 1 1 1 2aa 当 2n时 有 2 122 4 2 1 1 22 aaa 解得 2 27 a 2 分 2 法一 当2n 时 有 2 2 4 1 1 n n na S n 2 1 1 1 4 1 n n na S n 得 22 1 2 1 4 1 nn n nana a nn 即 3 3 1 1 n n an an 5 分 122 3333 1 1 1 3 nnn aaaa nnn 3 1 n an 8 分 2 n 另解 333 33 12 1 333 121 1 4 2 1 1 3 nn n nn aaann aan aaann 又 当 1n时 有 1 8 a 3 1 n an 8 分 法二 根据 猜想 3 分 1 8 a 2 27 a 3 1 n an 用数学归纳法证明如下 当时 有 猜想成立 1n 3 1 8 1 1 a 假设当时 猜想也成立 即 nk 3 1 k ak 那么当时 有 1nk 2 11 4 1 1 1 12 kk kSka 即 2 1 1 12 4 1 1 1 k k ka S k 又 2 2 4 1 1 k k ka S k 得 22223 11 1 3 2 3 2 1 4 2121 kkk k kakakakk a kkkk 解 得 33 1 2 1 1 k akk 当时 猜想也成立 1nk 因此 由数学归纳法证得成立 8 分 3 1 n an 3 2 11111 1 11 n n n b ann nnn 10 分 1231 nnn Tbbbbb 22222 11111 234 1 nn 2 11111 22 32 3 1 1 nnn n 111111111 4233411nnnn 1113 4214n 14 分 说明 考查了递推数列的通项公式 数列裂项求和公式 放缩法证明不等式等知识 考查了 学生的运算能力 以及化归与转化的思想 20 本小题满分 14 分 如图 7 直线 0 l yxb b 抛物线 2 2 0 C ypx p 已知点 2 2 P在抛 物线C上 且抛物线C上的点到直线l的距离的最小值为 3 2 4 1 求直线l及抛物线C的方程 2 过点 2 1 Q的任一直线 不经过点P 与抛物线C交于A B两点 直线AB与直线 l相交于点M 记直线PA PB PM的斜率分别为 1 k 2 k 3 k 问 是否存在实数 使得 123 kkk 若存在 试求出 的值 若不存在 请说明理由 解 1 法一 点 2 2 P在抛物线C上 1p 2 分 设与直线l平行且与抛物线C相切的直线 l 方程为yxm 由 2 2 yxm yx 得 22 22 0 xmxm 22 22 448mmm 由0 得 1 2 m 则直线 l 方程为 1 2 yx 两直线l l 间的距离即为抛物线C上的点到直线l的最短距离 图 7 y M P B Q x A O l 有 1 3 22 42 b 解得2b 或1b 舍去 直线l的方程为2yx 抛物线C的方程为 2 2yx 6 分 法二 点 2 2 P在抛物线C上 1p 抛物线C的方程为 2 2yx 2 分 设 2 2 t MttR 为抛物线C上的任意一点 点M到直线l的距离为 2 2 2 t tb d 根据 图象 有 2 0 2 t tb 2 1 1 21 2 2 dtb tR d 的最小值为 21 2 2 b 由 213 2 42 2 b 解得2b 因此 直线l的方程为2yx 抛物线C的方程为 2 2yx 6 分 2 直线AB的斜率存在 设直线AB的方程为1 2 yk x 即21ykxk 由 2 21 2 ykxk yx 得 2 2420kyyk 设点A B的坐标分别为 11 A x y 22 B xy 则 12 2 yy k 12 24k y y k 11 12 111 222 22 2 2 yy k yxy 2 2 2 2 k y 9 分 10 分 12 12 121212 2 2 8 2 82242 242 222 43 24 yyk k kk k yyy yyy kk 由 21 2 ykxk yx 得 21 1 M k x k 41 1 M k y k 3 41 2 21 1 21 3 2 1 k k k k k k 13 分 123 2kkk 因此 存在实数 使得 123 kkk 成立 且2 14 分 说明 本题主要考查抛物线的方程与性质 直线方程 直线与抛物线的位置关系 切 线方程 点到直线距离 最值问题等基础知识 考查学生运算能力 推理论证以及分析问题 解决 问题的能力 考查数形结合 化归与转化思想 21 本小题满分 14 分 已知函数 2 9 0 1 x f xa ax 1 求