《复变函数与积分变换》习题册

1 第一章 复数与复变函数 本章知识点和基本要求 掌握复数的概念和它的各种表示方法及运算 熟悉复平面 模与辐角的概念 熟练掌握乘积与商的模 隶莫弗公式 方根运算公式 了解区域的概念 理解复变函数的概念 理解复变函数的极限和连续的概念 一 填空题 1 若等式成立 则 75 iyixii x y 2 设 则 12 35 1 3i xi yi x y 3 若 则 123 1 i z ii z 4 若 则 3 25 2 ii z i Rez 5 若 则 4 2 1 i zi i z 6 设 则 2 2 zii arg z 7 复数的三角表示式为 指数表示式为 1zi 8 复数的三角表示式为 指数表示式为iz212 9 设 则 iz2 1 iz 1 2 21z zArg 10 设 则 Rez 4 i e2z Im z z 11 方程的根为 027 3 z 12 一曲线的复数方程是 则此曲线的直角坐标方程为 2zi 13 方程表示的曲线是 3 Im zi 14 复变函数 的实部 虚部 1 2 z z w yxu yxv 2 15 不等式所表示的区域是曲线 的内部 114zz 16 3 1 二 判断题 正确打 错误打 1 复数 761 3ii 2 若为纯虚数 则 zzz 3 若 为实常数 则 aaa 4 复数 0 的辐角为 0 5 在点连续的充分必要条件是在 f zuiv 000 iyxz u x y v x y 点连续 00 xy 6 设为复数 则 21 z z 2121 zzzz 7 1212 zzzz 8 参数方程 为实参数 所表示的曲线是抛物线 2 ztti t 2 yx 三 单项选择题 1 下列等式中 对任意复数 z 都成立的等式是 A z Re z B z Im z zzzz C z arg z D z z zzz 2 方程8 的复根的个数为 3 z A 3 个 B 1 个 C 2 个 D 0 个 3 当时 的值等于 1 1 i z i 1007550 zzz A B C D ii 11 4 方程所代表的曲线是 232zi A 中心为 半径为的圆周23i 2 B 中心为 半径为的圆周23i 2 3 C 中心为 半径为的圆周23i 2 D 中心为 半径为的圆周23i 2 四 计算题 1 求出复数 的模和辐角 4 31 iz 2 设 满足求与的关系式iyxz 4 3Re 2 zxy 3 将复数化为三角表示式和指数表示式 126zi 4 求复数的三角表示式 指数表示式及幅角主值 1cossin 0 ijjjp 4 5 将直线方程化为复数形式 132 yx 6 求以下根式的值 1 2 3 22i 3 i 4 1 5 第二章 解析函数 本章知识点和基本要求 理解复变函数的导数及复变函数解析的概念 掌握复变函数解析的 C R 条件 并能利用 C R 条件判断复变函数的可导性 和解析性 掌握解析函数的基本性质 了解指数函数 三角函数及对数函数的定义及它们的主要性质 一 填空题 1 的主值为 1 Lni 2 主值为 Lni 3 设 则 ie z 43 Re iz 4 i 3 5 i i 1 6 1 i i 7 指数函数的周期是 z e 8 设 则 1 z f zz e fz 9 设 则 3322 f zxyix y 1 fi 10 已知函数解析 则 21 f zxyv x y i fi 11 函数在点连续是在该点解析的 条件 f zuiv 000 zxiy f z 二 判断题 正确打 错误打 1 若在区域 D 内处处为零 则在 D 内必恒为常数 z f zf 2 若在点不解析 则在点必不可导 f z 0 z f z 0 z 6 3 函数在点可微等价于在点 f zu x yiv x y 000 zxiy u x yv x y和 可微 00 xy 4 sin1z 5 函数是周期函数 z e 6 设函数在点处可导 则在点处解析 f z 0 z f z 0 z 7 对于任意的复数 等式恒成立 12 z z 1212 Ln z zLnzLnz 8 不等式 表示的是有界闭区域 Re 2z 9 对于任意的复数 整数 等式恒成立 zn n LnznLnz 三 单项选择题 1 下列点集是单连域的是 A B Re 2z 13z C D 1z 2arg2Zp 2 下列所示区域中是多连域的为 A B C D Im0z Re0z 01z arg 43 z 3 函数在点可导是在点解析的 f zz f zz A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分又不必要条件 4 下列说法正确的是 A 在可导的充要条件是 在处解析 f z 0 z f z 0 z B 在可导的充要条件是 在处偏导数连续且满足条件 f z 0 z u v 0 zCR C 在可导的充要条件是在处连续 f z 0 z f z 0 z D 在可导的充要条件是在处可微且满足条件 f z 0 z u v 0 zCR 5 在复平面上 下列关于正弦函数 sinz 的命题中 错误的是 A sinz 是周期函数B sinz 是解析函数 C sinz D 1 sin coszz 6 以下说法中 错误的是 7 A 复指数函数具有周期 B 幂函数 a 为非零的复常数 是多值函数 z e a z C 对数函数为多值函数 D 在复数域内和都是有界函数Lnzsin zcosz 7 设 则下列命题中错误的是 sinf zz A 在复平面内处处解析 B 以为周期 f z f z2 C D 是无界的 2 iziz ee f z f z 四 计算题 判断下列函数在何处可导 在何处解析 1 33 23f zxy i 2 2 2 f zxyxy i 3 22 f zxyix y 8 第三章 复变函数的积分 本章知识点和基本要求 了解复变函数积分的定义及性质 会求复变函数的积分 理解柯西积分定理 掌握柯西积分公式 0 掌握解析函数的高阶导数公式 了解解析函数无限次可导的性质 会综合利用各定理计算闭路积分 一 填空题 1 设曲线是正向圆周 则 C2z 1 1 C dz z A2 1 1 C dz z A 2 1 z C e dz z A 2 设 C 为从点到点的直线段 则 1 zi 2 0z C zdz 3 若 C 为正向圆周 则 2z 1 C dz z A 4 若 则 2 2 21 z zz fdz z A 2 35 fi 1 f 1 f 5 的值是 4 3 z c e dz cz z A 二 单项选择题 1 若 f z 在 D 内解析 为 f z 的一个原函数 则 z A B fzz fzz C D zf z zf z 9 2 下列积分中 积分值不为 0 的是 A B 3 2 C zz dz A 12z z c e dz A 2z C D sin c zdz z A 1z cos 1 c z dz z A 2z 三 计算题 1 沿下列路径计算积分 C zdz 1 从原点到的直线段3i 2 从原点沿实轴到 3 再从 3 垂直向上到 3i 2 沿下列路径计算积分 2 C z dz 1 从原点到的直线段1 i 2 从原点沿实轴到 1 再从 1 垂直向上到 1 i 3 计算 4 计算积分 0 cos i zdz 3 0 23 i zdz 5 其中是从点到的直线段 2 C xyixdz C 01 i 10 6 设 C 为从 2 到 2 的上半圆周 计算积分的值 23 C z dz z 7 为正向圆周 2 1 1 C dz z A C2z 8 计算积分 其中为圆周 且取正向 4 C dz zi z A C3Z 9 计算 其中 C 为正向圆周 212 1 2 C zi dz zzi A 3z 11 10 求下列积分之值 积分沿闭曲线的正向 1 2 1 2 c z dz z z A 3z 2 2 c dz i zz A 1z 3 4 3 cos c z dz z A 1z 3 iz c e dz zi A 1zi 12 第七章 傅里叶变换 本章知识点和基本要求 掌握傅氏积分定理 理解傅氏积分公式 理解傅立叶变换及傅立叶逆变换的概念 了解 函数的概念 性质及其傅氏变换 了解傅氏变换的物理意义 掌握傅氏变换的性质 熟悉常用傅氏变换对 一 填空题 1 设 则 5 0 0 0 t t f t et F f t 2 设 则 0 0 t0 t t f t e F f t 3 1 F 4 设 则 1 F f t i f t 5 设 则 2 sinf tt F f t 6 设 则 F f tFw 5 F tf t 7 设 为实常数 则 F f tF 0 t 0 F f tt 8 0 Ftt 9 设 则的傅氏变换 F f tFw 1 ft 1 F ft 10 则 F f tF t Ffd 11 已知 且 则 f tt 2 2 F f t 1 2 2 2 F 二 单项选择题 1 下列变换中 正确的是 A B 1Ft 1 F 13 C D 1 1F 1 1 Fu t 2 设 则为 F f tF 1 F tf t A B iFF iFF C D iFF iFF 3 的傅里叶变换为 0 tt 0 Ftt A 1 B 0 t C D 0 i t e 0 i t e 4 设 则 F f tF 23 Ftf t A B 2 3 iFF 2 3 iFF C D 2 3 iFF 2 3 iFF 5 设 则 F f tF 2 F tf t A B 2 FF 2 FF C D 2 iFF 2 iFF 6 设 则 0 cosf tt F f t A B 00 00 C D 00 i 00 i 7 设 则 0 2 it f tte F f t A B 2 0 2 i e 2 0 2 i e C D 2 0 2 i e 2 0 2 i e 8 设 则其傅氏变换 0 sinf tt F f t A B 00 00 i C D 00 00 i 14 三 计算题 1 已知函数 求它的傅里叶变换 0 1 2 10 1 02 0 2 t t f t t t 2 求函数的傅里叶变换 2 10 2 01 0 t f tt 他他 3 求函数 其中 的傅氏变换及其积分表达式 0 0 0 t t f t et 0 4 求函数 的傅氏变换 sin 0 t t f t t 并证明 2 0 sin sinsin 2 1 0 t t t d t 15 5 利用定义或查表求下列函数的傅里叶逆变换 1 00 555 i F pww wdwdw 2 00 555 F pww wdwdw 6 用傅里叶变换求解下面的微分方程 x tx ttt 7 设 列表给出下列函数的付里叶变换 F f tF 2 00 ftft tf t t f tf ttf tt t fdf at 00 1 ttttt 0 0 0 t t f t et 并证明付里叶变换的微分性质和位移性质 16 第八章 拉普拉斯变换 本章知识点和基本要求 理解拉普拉斯变换及拉普拉斯逆变换的概念 了解拉普拉斯变换存在定理 掌握拉普拉斯变换的性质 掌握用留数求拉氏逆变换的方法 了解拉氏变换卷积概念及卷积定理 应用拉氏变换求解常微分方程及常微分方程组 一 填空题 1 设 则 2 1 F S S S L eF S 1 2 sin3 Lt 3 sin t L et 4 设 35 f tut 3 t L ef t 5 cos t L et 6 设 则 2 2 4 L f t s 3 t L ef t 7 设 2 1 t f tte L f t 8 设 则 22 1 1 F s s 1 LF s 9 设 则 11 L f tF S 22 F f tF S 12 L f tf t 10 设 则 2 2 16 s F s s 1 LF s 二 单项选择题 1 下列变换中 不正确的是 A B 1Ft 1Lt C D 1 Lt 1 2 F 17 2 设 其中正确的是 L f tF s A B L f tsF s at L e f tF sa C D 1 L f atF s a at L e f tF sa 3 的拉氏变换为 0 at f ttea A B C D 1 Sa 1 sa 2 1 sa 2 1 sa 4 若 则 2 1 1 S F Se S 1 LF S A B sin 1 t 1 sinu tt C D sin 1 u tt 1 sin 1 u tt 5 设 则 2 cos3 t f tet L f t A B 2 3 2 9S 2 2 2 9 S S C D 2 3 2 9 S S 2 3 2 2 9 S S 6 函数 的拉氏逆变换为 2 2 1 s F s s A B C D costt costt 1 sin tt sintt 7 设 则 2 S e F s S S 1 LF S A B 2 1 1 t eu t 2 1 1 1 t u teu t C D 2 1 1 1 1 2 t eu t 2 1 1 1 2 t u teu t 三 计算题 1 利用定义或查表求下列函数的拉普拉斯变换 1 2 2 sin at f tet 2 cos 5 t f t 18 3 4 2sinsinf tattat 25 3 tt f tee 5 6 2 5 t f tet 2 tt f tete 7 8 sin at f tet 2 sin 2f tt 9 10 cosf ttat 2 2 t f tte 11 12 sin 2 f tt u t sin 2 f tt 19 13 14 sin2 t f ttet sin 2 2 f ttu t 2 已知 求与的卷积 1 0 0 sin 0 t f t tt 2 0 0 cos 0 t f t tt 1 f t 2 f t 12 f tf t 3 用定义或查表求下列函数的拉普拉斯逆变换 1 2 1 1 F S S S 5 2 1 S e F S S 3 4 b F S Sa Sb 1 1 F S S S 20 5 6 3 2 3 S F S SS 2 2 1 S F S S 7 8 2 23 9 s F s s 4 4 2 F s ss 9 2 2 21 1 ss F s s s 4 用拉普拉斯变换求解下列微分方程 1 326 0 0 0 0 t yyyeyy 2 2 1 t yye 0 0y 21 3 0 0 t yyey 4 满足初始条件 的特解 2 22cos t yty tyet 0 0 0 0yy 5 满足初始条件 的特解 3 22 t yty tye 2 0 1y oy 5 用拉普拉斯变换求解微分方程组 1 0 0 1 4211 t t xxye xy yxye 22 2 21 0 0 0 0 0 0 0 xyx xxy xy 3 0 0 1 322 t t xxye xy yxye 4 2 2 4 1 2 2 1 3 t t xyye xye 0 0 0 0 xy 23 参考答案 第一章 复数与复变函数 一 填空题 1 2 3 4 1 6xy 45 1111 xy 17 22 i 13 2 5 6 7 8 1 22 i 2 cossin 44 i 4 2 i e 55 4 cossin 66 i 5 6 4 i e 9 10 11 12 2 4 kkZ 1 1 1 i 33 333 3 3 2222 i 22 1 4xy 13 14 15 2y 22 2222 22 1 1 xyxy xyxy 22 1 43 xy 16 1313 1 2222 ii 二 判断题 正确打 错误打 1 2 3 4 5 6 7 8 三 单项选择题 1 A 2 A 3 B 4 C 四 计算题 2 3 2 16 2 3 zArgzkkZ 22 1xy 3 4 3 cossin 4 3 33 i ie 4 2 2sincossin 2sin 2222 i ie arg 2 z 24 5 6 略 1 32 3 z ttt i 第二章 解析函数 一 填空题 1 2 3 ln2 4 i 1 2 22 kii 34Argi 4 5 6 7 8 ln3 2ik e ln22 4 ik e 21 2 ki e 2 i 2 z ez 9 10 11 必要条件32i 2i 二 判断题 正确打 错误打 1 2 3 4 5 6 7 8 9 三 单项选择题 A C B D C D C 四 计算题 1 仅在直线上可导 函数在复平面上处处不解析 6 3 yx 2 仅在直线上的点处可导 函数在复平面上处处不解析 1yx 对于直线上任意点1yx z 3 仅在点处可导 函数在复平面上处处不解析 0 0 第三章 复变函数的积分 一 填空题 1 2 3 4 5 2 i 0 2 ei 1 2 00 8 i 10 i 3 2 e i 二 单项选择题 1 C 2 D 三 计算题 1 2 3 2 1 3 2 i 43i 3 1 1 3 i 22 33 i sini 25 4 5 6 7 1 3i 1 3 i 38i 0 8 9 10 2 4 i i 4 i 2 i 416 17 i i i e 第七章 傅里叶变换 一 填空题 1 2 3 4 1 5i 1 i 2 2 0 0 0 t t f t et 5 6 1 22 2 5iFF 7 8 9 10 11 0 i t eF 0 i t e i eF 1 F i 2it et 二 单项选择题 A B C