高中数学易错题举例解析

1 / 4高中数学易错题举例解析高中数学中有许多题目，求解的思路不难，但解题时，对某些特殊情形的讨论，却很容易被忽略。也就是在转化过程中，没有注意转化的等价性，会经常出现错误。本文通过几个例子，剖析致错原因，希望能对同学们的学习有所帮助。一、忽视隐含条件，导致结果错误例 1 求函数 y=的值域错解（用判别式法）将原函数变形得：(y-1)x2+(y-4)x-3(2y+1)=0当 y=1 时，式化为3x=9,有解 x=3;当 y1 时，式中 xR=(y-1)2+43(y-1)(2y+1)0即：22-20y+40,解这个不等式得 yR综上：原函数值域为：yR分析没有注意定义域对值域的影响，扩大了 y 的取值范围。事实上，原函数要有意义，必须有：x2+x-60 即x2 且 x-3,在此前提下，原函数可化为：y=(y-1)x=2y+1y1 且 x=-3 解得 y1 且 y原函数值域为：y(-,)(,1)(1,+)2 / 4例 2 已知(x+2)2+=1,求 x2+y2 的取值范围。错解由已知得 y2=-4x2-16x-12，因此 x2+y2=-3x2-16x-12=-3(x+)2+当 x=-时，x2+y2 有最大值即 x2+y2 的取值范围是(-,分析没有注意 x 的取值范围要受已知条件的限制，丢掉了最小值。事实上，由于(x+2)2+=1 得(x+2)2=1-1，-3x-1 从而当 x=-1 时 x2+y2 有最小值1。x2+y2 的取值范围是1,二、忽视不等式中等号成立的条件，导致结果错误。例 3 已知：a0,a+b=1,求(a+)2+(b+)2 的最小值。错解(a+)2+(b+)2=a2+b2+42ab+44+4=8(a+)2+(b+)2 的最小值是 8分析上面的解答中，两次用到了基本不等式a2+b22ab，第一次等号成立的条件是 a=b=,第二次等号成立的条件是 ab=，显然，这两个条件是不能同时成立的。因此，8 不是最小值。事实上，原式=a2+b2+4=(a2+b2)+(+)+4=(a+b)2-2ab+(+)2-+43 / 4=(1-2ab)(1+)+4由 ab()2=得：1-2ab1-=,且16，1+17原式17+4=(当且仅当 a=b=时，等号成立)(a+)2+(b+)2 的最小值是。例 4 甲、乙两地相距 skm,汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过 ckm/h,已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（km/h）的平方成正比，比例系数为 b;固定部分为 a 元。（1）把全程运输成本 y（元）表示为速度v（km/h）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？错解（1）依题意，汽车从甲地匀速行驶到乙地所用的时间是，全程运输成本为 y=a+bv2=s(+bv)故所求函数即定义域为 y=s(+bv),0vc（2）由题意 s,a,b,v 均为正数，故 s(+bv)2s（当且仅当=bv 时，即 v=时，等号成立）v=时，全程运输成本最小。分析在（2）中，结论成立的条件是 v=，但速度能否达到呢？没有注意实际问题中的条件限制，使解答不够完整。应分以下两种情况讨论：若c,则当 v=时，全程运输成本最小。若c,当 0vc 时,易证 y 是 v 的增函数，4 / 4因此，当 v=c 时，全程运输成本最小。事实上，s(+bv)-s(+bc)=sa(-)+b(v-c)=(c-v)(a-bcv)c-v0 且 abc2a-bcva