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第十章期权 2 主要内容 期权的定义和特点影响期权价格的因素期权与风险管理期权的定价 3 期权合约的历史 期权有着很长的历史 但是它的历史并非全部都是光辉灿烂的 它曾经在17世纪和18世纪早期得到广泛的运用 17世纪 荷兰阿姆斯特丹股票交易所就有期权形式的合约交易18世纪早期的南海公司泡沫事件美国19世纪70年代的报纸刊载着交易所提供的期权报价 1934年通过的证券法授权证券管理委员会对股票期权进行规制 直到1973年 期权都是场外交易 也极少有第二次交易 1973年 芝加哥期货交易所 CBOE 看涨期权交易 1977年 交易看跌期权交易 4 期权合约的历史 1973年 Black Scholes期权定价公式 1997年 Scholes和Merton获得诺贝尔经济学奖 20世纪70年代 工业化国家的市场经济由固定汇率转换为浮动利率体制 汇率波动导致货币期权合同出现 70年代另一重要事件是利率波动性的上升 这导致对利率套期保值工具的需求 债券期权出现 从20世纪80年代开始 期权市场的创新有两个方向 引进基于新标的的期权 以期货 股指 电力等为标的物 奇异期权 5 期权合约的应用 金融市场的应用投资风险控制 套期保值一些证券具有期权的特征 可回购债 可转债公司财务投 融资决策兼并 重组方案设计 6 期权合约的应用 其它人力资源 激励方式自然资源的开采 核废料的处理等决策等等 7 学术领域内的巨大进步带来了实际领域的飞速发展 期权定价的技巧对产生全球化的金融产品和金融市场起着最基本的作用 近年来 从事金融产品的创造及定价的行业蓬勃发展 从而使得期权定价理论得到不断的改进和拓展 期权定价方法的应用 1 一些基本定义 9 看涨期权 CallOption 例子 例子 投资者B和W计划签定一份合同 现在B支付给W5美元 交换条件是在接下来的六个月的任何时间 允许B自愿从W那里以110美元 股的价格购买100股IBM公司股票 IBM公司股票现在的价格为105美元 股 问题 B和W为什么都愿意签定这个合同 如果需要B支付500美元 B是否愿意 B如果不支付5美元 W是否原因签定合同 10 看跌期权 PutOption 例子 例子 投资者B和W计划签定一份合同 现在B支付给W4美元 交换条件是在接下来的六个月的任何时间 允许B可自愿以100美元 股的价格卖给W100股IBM公司股票 IBM公司股票现在的价格为105美元 股 问题 B和W为什么都愿意签定这个合同 B如果不支付给W4美元 W是否原因签合同 如果需要B支付500美元 B是否愿意 11 期权具有四个特征 标的物 underlyingasset 期权能够买 对于看涨期权而言 或者卖 对于看跌期权而言 的对象 或者说 合约是关于哪种资产的合约 以股票为标的物的期权 每份期权通常包括100份特定的股票 例如 持有一份以IBM公司股票为标的物的看涨期权 是一份可以买100份IBM公司股票的权利 几乎所有对象都可以作为标的物 证券 指数 天气 原材料等等 12 期权具有四个特征 所有股票期权合约在标的股票发生拆股或者分红股的情况时 执行价格和合约中规定的股数都要作相应的调整 但现金红利不影响合约条款 例子 假如在购买上述期权的当天 IBM公司股票的价格为105元 第二天 1股拆成6股 股价变为105 6元 13 期权具有四个特征 执行价格 exerciseprice 或者strikeprice 这个价格是执行期权合约时 可以以此价格购买标的物的价格 对于以IBM公司股票为标的物的看涨期权 如果执行价格为110美元时 则在执行这种期权时 按每份股票110美元购买 期权有效的时间区间由到期日 expirationdate 来确定 这段时间区间可以是一天 一个星期 或者一年 以IBM公司股票为标的物的看涨期权 如果到期日为六个月 则在这六个月里 这份权利都是有效的 14 期权具有四个特征 期权应该包括是否可以在到期日之前执行这种权利 如果在到期日之前的任何时间以及到期日都能执行 我们称这种期权为美式期权 如果只能在到期日执行 称为欧式期权 美式和欧式这两个名词曾代表了以股票为标的物的期权在美洲和欧洲的结构形式 但是现在 它们已成为反映两种不同结构的期权的标准名词 而不管期权是在哪儿发行的 15 期权的这四个特征 标的物 是看涨还是看跌 执行价格 到期日 包括是美式还是欧式 说明了一种期权的各个细节 期权是两人之间的一种合约 其中的一人给予另外一人在规定的一段时间内 可以以规定的价格买或者卖某种规定的资产的权利 16 获得权利的一方需要做出是否接受该权利的决定 我们称这一方为期权的买者 optionbuyer 因为他需要付钱来获得这种权利 提供权利的一方称为期权的写者 optionwriter 何时买看涨期权 何时买看跌期权 17 既然期权的持有者获得的是权利而不需要承担什么义务 他就必须花钱购买这个权利 那么 公平的价格应该是多少 这是证券投资学研究的重要内容 18 实值期权 inthemoneyoption 两平期权 atthemoneyoption 虚值期权 outofthemoneyoption 其它定义 19 例子 执行价格为100元 到期日为6个月 0 6个月 100元 20 股票期权StockOptions指标期权IndexOptions现金结算期货期权FuturesOptions外汇期权ForeignCurrencyOptions利率期权InterestRateOptions 期权的种类 21 类似期权的证券OptionlikeSecurities CallableBondsConvertibleSecuritiesWarrantsCollateralizedLoansLeveredequityandriskydebt 22 权证案例 15万的权证几分钟变成废纸 2006年12月15日 星期五 下午开市后不久 陈先生以0 50元左右的价格买入部分机场JTP1 580998 权证 但是其后该权证一路走跌 在距离收盘前15分钟时 已经跌至0 30元左右 陈先生就采取了低位补仓策略 准备在下周一 12月18日 再抢反弹 前后共投入资金15万元 可是 12月18日开市后 当陈先生再次来到证券营业部开始交易时 才发现自己买入的机场JTP1权证已经停牌了 机场JTP1 580998 为美式权证 行权价为6 90元 行权比例为1 1 行权期为2006年3月23日至2006年12月22日 白云机场股票从2006年12月18日至12月22日价格一直高于行权价 不宜行权 所以陈先生投入的15万变成了一张废纸 23 机场JTP1权证基本资料 权证简称机场JTP1上市地点上海权证代码580998行权方式美式标的证券简称白云机场行权价格 元 7标的证券代码600004行权比例1 1权证类型认沽权证行权起始日期2006 03 23按发行人划分的权证类型备兑权证行权截止日期2006 12 22存续期限1年行权简称AS061222存续起始日期2005 12 23行权代码582998存续截止日期2006 12 22结算方式证券给付 24 行权价格变动情况 权证代码权证简称公告日期变动原因变动后行权价格变动后行权比例生效日期执行日期580998机场JTP120051214首发71 12005122320060323580998机场JTP120060717利润分配6 91 12006072120060721 25 奇异期权 Exoticoption 亚式期权Asianoption障碍期权Barrieroption回顾期权Lookbackoption外汇转换期权Currency translatedoption双边期权Binaryoption 2 影响欧式期权价格的因素 27 如果无特殊说明 标的物在到期日以前不支付红利 28 假设一种欧式看涨期权 它以某种股票为标的物 该股票在时间t的价格以表示 期权的执行价格为 到期日为 期权在时间t的价格为 29 股票价格对欧式期权价格的影响 在到期日在到期日前 30 期权在到期日的价值 例子 投资者B和W计划签定一份合同 现在B支付给W5美元 交换条件是在接下来的六个月的任何时间 允许B自愿从W那里以110美元 股的价格购买100股IBM公司股票 IBM公司股票现在的价格为105美元 股 在6个月时如果股价为120美元如果股价为108美元如果股价为100美元 31 在到期日T 期权的价值为多少 1 2 把期权在T时的价格显示地表示成股票价格的函数 这个函数如下图所示 该图说明当 期权的价值为零 当时 期权的价值随着股票价格的增加而线性增加 期权不可能有负的价值 责任有限金融工具 期权在到期日的价值 32 图1看涨期权在到期日的收益 33 对于看跌期权而言 上述结果正好反过来 假设一种看跌期权 它以某种股票为标的物 该股票在时间t的价格以表示 期权的执行价格为 到期日为T 期权在时间t的价格为 期权在到期日的价值 34 期权在到期日的价值 例子 投资者B和W计划签定一份合同 现在B支付给W4美元 交换条件是在接下来的六个月的任何时间 允许B可自愿以100美元 股的价格卖给W100股IBM公司股票 IBM公司股票现在的价格为105美元 股 在6个月时如果股价为120美元如果股价为108美元如果股价为95美元 35 在到期日T 期权的价值 1 2 把期权在T时的价格显示地表示成股票价格的函数 这个函数如下图所示 该图说明当 期权的价值为零 当时 期权的价值随着股票价格的增加而线性减少 期权在到期日的价值 36 图2看跌期权在到期日的收益 期权在到期日的价值 37 注意 看跌期权在时的价值是有界的 而看涨期权在时的价格是无界的 相反 当写一份看涨期权时 可能的损失是无界的 期权在到期日的价值 38 期权的写者的收益看涨期权的写者在到期日的收益 期权在到期日的价值 39 看跌期权的写者在到期日的收益 期权在到期日的价值 40 期权在到期日前的价值 例子 投资者B和W计划签定一份合同 现在B支付给W5美元 交换条件是在接下来的六个月的任何时间 允许B自愿从W那里以110美元 股的价格购买100股IBM公司股票 IBM公司股票现在的价格为105美元 股 无风险利率为3 在第二个月末 IBM公司股票价格为115美元100美元 41 期权在到期日前的价值 内在价值 intrinsicvalue 时间价值 timevalue 42 期权的内在价值 权利的体现 43 期权的时间价值 即使在到期日以前的任何时间 期权均有价值 因为它提供了将来执行权利的可能性 44 Itisthepartoftheoption svaluethatmaybeattributedtothefactthatitstillhaspositivetimetoexpiration Mostofanoption stimevaluetypicallyisatypeof volatilityvalue Isdifferentfromthetimeofmoney 45 在到期日以前的任何时间t 这里 作为股票价格的函数 欧式看涨期权的价格是t时股票价格的光滑函数 其图形如图3所示 46 时间价值 47 当股票的价格远远大于执行价格时 持有期权并不比持有股票占多大的优势 当股票的价格远远小于执行价格时 股票价格上涨超过的可能性很小 从而期权的价格为零 48 还有哪些因素影响期权的价格 执行价格标的股票价格的方差无风险利率 49 1 执行价格 一种看涨期权 其执行价格越小 股票价格超过的可能性就越大 这种看涨期权也就越有价值 对于看跌期权 结果正好相反 50 2 标的股票价格的方差 在投资的过程中 投资者偏好以方差较大的股票为标的物的期权 方差越大 股票价格超过执行价格的概率越大 这种期权对投资者也就越有价值 51 假设有两种期权 具有相同的执行价格 但标的股票价格的分布不同 如图4 这两个分布的期望值相同 方差不同 我们偏好于哪一种期权 图4股票价格的分布 52 标的股票价格的方差 因为只有当股票的价格大于执行价格时 我们才能从期权合约中获得收益 股票价格分布的方差越大 股票价格超过执行价格的概率也就越大 我们获得收益的概率也就越大 所以 我们偏好以方差较大的股票为标的物的期权 期权的价值与标的资产的价值之间的重大差别 如果持有标的资产 我们获得收益的可能性由标的资产价格的整个概率分布决定 作为风险厌恶者 我们不喜欢高风险 如果我们持有期权 我们获得收益的可能性由标的资产价格的尾部概率分布决定 期权的这种性质使得大的方差更具有吸引力 53 例子 假设某家公司得到一笔长期贷款 每年应支付的利息为8000元 该公司可以把这笔贷款用于下面两个项目中的一个 这两个项目具有相同的5000元的期望现金流 项目1项目2概率现金流概率现金流0 24 0000 400 65 0000 25 0000 26 0000 410 000 标的股票价格的方差 54 如果投资到第一个项目 该公司将破产 因为所有可能的现金流都比偿还利息所需的8000元少 由于第二个项目的方差较大 所以有40 的机会 除能够偿还利息外 还有2000元的剩余 显然 该公司将选择第二个项目 尽管它的风险更大 但是存在40 的机会给公司带来正的利润 标的股票价格的方差 55 这个例子形象地说明了期权的持有者为什么更偏好大的方差 同时 这个例子也引入了一种重要的观点 一个公司的股东实际上是一种期权的持有者 这种期权以公司的市场值为标的物 当公司的市场值比它所需偿还的债务低时 公司破产 这时 股东允许期权到期而不执行 股东所持有的股票的价值为零 股东把公司移交给债权人 债权人获得公司作为补偿 当公司的市场值比它所需偿还的债务高时 股东执行期权 偿还债权人的债务后 股东获得剩余的利润 56 3 无风险利率 在所有的因素里 这个因素是最不直观的 一般说来 无风险利率越大 执行价格的现值也就越小 这样的期权也就越有价值 但是 无风险利率越大 股票的回报率也应该越高 从而 在到期日 股票的价格也应该越低 这时 期权的价格应该越低 但是 第一种作用是主要的 57 影响看涨期权的价格的因素 在确定看涨期权的价格时 有五种因素是重要的 标的资产的价格 期权的执行价格 标的资产价格的方差 到期日 实际应该是剩下的到期时间 以及无风险利率 把欧式看涨期权的价格写成如下的函数形式 4欧式期权组合策略 图形表示 59 假设 欧式看涨期权和欧式看跌期权具有相同的到期日和相同的标的股票 并且假设执行价格等于标的股票期初的价格 60 例子 Interestrate 3 yearCallOptionT 6monthK 110Initialstockprice 100Initialoptionprice 5PutOptionT 6monthK 110Initialstockprice 100Initialoptionprice 4 61 在T 6month 当在T 6month 当 62 组合策略恒等式 63 买一份股票并买一份以此股票为标的物的看跌期权所获得的收益 和持有一份债券并买一份以同样股票为标的物的看涨期权所获得的收益是一样的 Theputagainstdownsidelosses 64 欧式看涨期权与看跌期权价格之间的平价关系 put callparity 假设欧式看涨 看跌期权具有相同的标的物 相同的到期日 相同的执行价格简单一期模型连续复利 65 有红利时欧式期权的平价关系美式期权不存在平价关系 5 期权定价理论 二项式方法 67 Black Scholes模型等价鞅测度模型二项分布方法在应用这种方法时 最重要的是套期保值的概念 套期保值最形象 最简单的例子是有关保险中的定价问题 可用于对美式期权的定价可用于对标的物有红利的期权定价 68 假设1 标的股票不支付红利假设2 证券市场是无摩擦的和完全竞争的 且不存在套利机会 69 A 以股票为标的物的看涨期权的简单二项模型标的股票的价格服从二项分布产生的过程 图一期二项式生成过程 70 这里 股票现在的价格 股票价格上涨的概率 一期的无风险利率 股票价格上涨的幅度 股票价格下跌的幅度 71 例子 72 注 对的假设 在这个假设之下 不管经过多少期 股票的价格永远不会跌到零以下 但是 对股票价格上涨的界没有限制 73 每期的无风险利率为 对的限制为 这是无套利条件 直观地可以看出 无论是 这时 无风险利率总比股票的风险回报率高 还是 这时 无风险利率总比股票的风险回报率低 都存在套利机会 不失一般性 假设 74 以股票为标的物的欧式看涨期权 执行价格为 到期日为一期 它的现价以表示 该期权在到期日的支付如下图图欧式看涨期权的支付 75 构造无风险套期保值证券组合 以价格买一份股票 写份以股票为标的物的看涨期权 称为套期保值比率 下图说明了这个套期保值证券组合的到期支付 如果这个套期保值证券组合在每种状态下的到期支付都相等 则这个证券组合是无风险的 图11套期保值证券组合的到期支付 76 让支付相等 得到 从上式中解出看涨期权的份数 把例子里的数字代入 得到 3 53因此 无风险套期保值证券组合包括买一份股票 写3 53份看涨期权 在两个状态下的支付相等 如下表 不确定状态证券组合支付好状态1 2 20元 3 53 3元 13 40元坏状态0 67 20元 3 53 0元 13 40元 77 因为套期保值证券组合是无风险的 它的终端支付应该等于它的现价乘以 即 从这个式子得出期权的价格 设则 78 79 这里定义的总是大于0而小于1 具有概率的性质 我们称之为套期保值概率 从的定义可以看出 无套利条件成立当且仅当大于0而小于1 即 保证是概率 80 是当市场达到均衡时 风险中性者所认为的值 即 股票价格上涨的概率 作为风险中性者 投资者仅仅需要投资在风险股票上的回报率为无风险利率 从中解出值 得到 所以 对一个风险中性者来说 而 24 式中看涨期权的价格可以解释为 在一个风险中性环境中 期权的期望终端支付的折现值 81 在求得看涨期权价格的过程中 有两点是至关重要的 市场完备性套期保值证券组合的存在性 无套利无风险的套期保值证券组合的的回报率为无风险利率 82 看涨期权的定价公式具有以下三个有趣的特征 1 该公式不依赖于股票价格上涨的概率 这使得 即使投资者的预期不一致 只要他们对别的参数的估计一致 包括 他们就会有一样的定价公式 2 该公式的获得不依赖个体对风险的偏好 所需的假设仅仅只是无套利 3 该公式依赖的唯一随机变量是标的股票 例如 与市场证券组合无关 83 B 两期模型图12股票价格 84 图13欧式看涨期权的支付 85 假设两期的无风险利率为 利用一期期权的定价公式 24 得到期权在一期末的价值和 86 把和当作一期模型的终端支付 再一次利用一期期权的定价公式 24 得到期权的现在价格 87 把 25 和 26 式代入得到 88 可以把 27 式中的分子部分看成是一期模型的定价公