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案例1辗转相除法与更相减损术 长郡中学高一数学备课组 1 回顾算法的三种表述 复习回顾 2 思考 小学学过的求两个数最大公约数的方法 先用两个公有的质因数连续去除 一直除到所得的商是互为质数为止 然后把所有的除数连乘起来 所以 75和105的最大公约数为15 2 除了用这种方法外还有没有其它方法 如求8251和6105的最大公约数 1 求两个正整数的最大公约数 求25和35的最大公约数 8251 6105 1 2146 6105 2146 2 1813 2146 1813 1 333 1813 333 5 148 333 148 2 37 148 37 4 所以37是8251和6105的最大公约数 例1 求8251和6105的最大公约数 案例1 辗转相除法 欧几里得算法 练习 用辗转相除法求153和119的最大公约数 153 119 1 34 119 34 3 17 34 17 2 所以17是153和1119的最大公约数 思考 从上面的两个例子可以看出计算的规律是什么 S1 用大数除以小数 S2 除数变成被除数 余数变成除数 S3 重复S1 直到余数为0 辗转相除法是一个反复执行直到余数等于0停止的步骤 这实际上是一个循环结构 m n q r 思考 辗转相除法中的关键步骤是哪种逻辑结构 程序框图 程序 程序框图 程序 2 更相减损术 第一步 任意给定两个正整数 判断他们是否都是偶数 若是 则用2约简 若不是则执行第二步 第二步 以较大的数减较小的数 接着把所得的差与较小的数比较 并以大数减小数 继续这个操作 直到所得的减数和差相等为止 则这个等数就是所求的最大公约数 例3用更相减损术求98与63的最大公约数 解 由于63不是偶数 把98和63以大数减小数 并辗转相减 98 63 3563 35 2835 28 728 7 2121 7 2114 7 7 所以 98和63的最大公约数等于7 98 63 1 3563 35 1 2835 28 1 7 辗转相除法与更相减损术的区别 1 都是求最大公约数的方法 计算上辗转相除法以除法为主 更相减损术以减法为主 计算次数上辗转相除法计算次数相对较少 特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显 2 从结果体现形式来看 辗转相除法体现结果是以相除余数为0而得到 而更相减损术则以减数与
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