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第二讲数学 mathmatics 一 数学的研究对象和分类 1对象 数量关系和空间形式2分类 几何数理方程 1 纯粹数学代数应用数学运筹学分析概率统计计算学 2 经典数学随机数学模糊数学 数学模型 是利用数学语言 符号 式子与图象 模拟现实的模型 数学建模 把现实世界中的实际问题加以提炼 抽象为数学模型 求出模型的解 验证模型的合理性 并用该数学模型所提供的解答来解释现实问题 数学知识的这一应用过程称为数学建模 3 数学模型与建模 模型准备 了解问题的实际背景 明确其实际意义 掌握对象的各种信息 用数学语言来描述问题 模型假设 根据实际对象的特征和建模的目的 对问题进行必要的简化 并用精确的语言提出一些恰当的假设 模型建立 在假设的基础上 利用适当的数学工具来刻划各变量之间的数学关系 建立相应的数学结构 尽量用简单的数学工具 模型求解 利用获取的数据资料 对模型的所有参数做出计算 估计 模型分析 对所得的结果进行数学上的分析 模型检验 将模型分析结果与实际情形进行比较 以此来验证模型的准确性 合理性和适用性 如果模型与实际较吻合 则要对计算结果给出其实际含义 并进行解释 如果模型与实际吻合较差 则应该修改假设 在次重复建模过程 模型应用 应用方式因问题的性质和建模的目的而异 数学建模过程和步骤 微积分的发展 微积分的创立 刘徽 割之弥细 所失弥少 割之又割 以至于不可割 则与圆合体而无所失矣 牛顿 正流数术 微分法 反流数术 积分法 流数简论 自然科学的数学原理 莱布尼兹 新方法 dx dy 深奥的几何与不可分量及无限的分析 无穷小概念的随意和混乱 分析学的发展 柯西 极限理论 无限接近 想要多小就多小 魏尔斯特拉斯 分析算术化 语言 勒贝格积分 黎曼积分 欧氏几何与非欧几何欧几里得 原本 对第五公设的质疑非欧几何诞生非欧几何发展和认可非欧几何的启示 二 数学的发展 1初等数学时期的发现数学上的第一次危机2变量数学时期 无穷小悖论 数学上的第二次危机3现代数学时期 罗素悖论 数学上的第三次危机 三 趣谈拓扑学 1哥尼斯堡的7座桥2地图着色问题3莫比乌斯带克莱因瓶4扭结理论5嵌入问题 数学与美 数学美的基本特征简洁性统一性对称性整齐性奇异性思辨性 斐波纳契数 数学与物理 1相对论与数学2量子力学与数学3研究对称性的工具4建模 数学与生物学 1数学与生物学的相互作用 1 数学在生物学中的直接应用 2 数学在生物学中的间接应用 3 生物学对数学的影响2CT与数学g可以测量 拉东变换和拉东逆变换 3生物群体的数量规律 1 人口问题解微分方程 线性模型非线性模型生命系数环境容纳量 2 生存竞争 渔民入伍打鱼少小鱼繁殖大鱼有食而生长大鱼比例上升吃更多的小鱼小鱼比例下降大鱼就缺少食物大鱼减少小鱼繁殖小鱼又增加数学模型环境影响 3 让DNA做计算 可行性计算机 有存储方法 如0和1存储 能进行操作DNA 以A T C G的排列存储大量信息 酶可以对这些信息进行操作 证明DNA的计算能力可以解决数学问题 哈密尔顿路径问题