(2014韶关一模)广东省韶关市2014届高三调研试题(一)数学理

1 20142014 届高三年级调研测试届高三年级调研测试 数数 学 理学 理 科 科 本试卷共 4 页 共 21 小题 满分 150 分 考试用时 120 分钟 注意事项 注意事项 1 答卷前 考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上 用 2B 铅笔将答题卡试卷类型 A 填涂在答题卡上 在答题卡右上角的 试室号 和 座位号 栏填 写试室号 座位号 将相应的试室号 座位号信息点涂黑 2 选择题每小题选出答案后 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用 橡皮擦干净后 再选涂其他答案 不能答在试卷上 3 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答 答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应 位置上 如需改动 先划掉原来的答案 然后再写上新的答案 不准使用铅笔和涂改液 不按以上 要求作答的答案无效 4 考试结束后 将试卷和答题卡一并交回 参考公式 棱锥的体积公式 参考公式 棱锥的体积公式 是棱锥底面积 是棱锥底面积 是棱锥的高是棱锥的高 1 3 Vsh sh 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 8 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 40 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是 符合题目要求的 符合题目要求的 1 设集合 则 2 0 2 4A 2 230Bx xx AB 0 A 2 B 2 0 C 4 2 0 D 2 已知是实数 是纯虚数 则等于 a i 1 i a a A B C D 11 22 3 若 则有 0 5 2 2 2 log 3 log 2 abc A B C D abc bac cab bca 4 已知椭圆与双曲线的焦点相同 且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为 那么 22 1 412 xy 10 椭圆的离心率等于 A B C D 3 5 4 5 5 4 3 4 5 函数是 4 3 sin21 2 xy A 最小正周期为的奇函数 B 最小正周期为的偶函数 2 O E D C B A C 最小正周期为的奇函数 D 最小正周期 2 为的偶函数 2 6 已知某几何体的三视图如图所示 则该几何体的体积为 A B C D 1 2 1 3 2 3 7 已知向量与的夹角为 且 若ABAC 0 1203 2 ACAB 且 则实数的值为 ACABAP BCAP A B C D 7 3 136 7 12 8 设实数x y满足 则的取值范围是 26 26 0 0 xy xy xy max 231 22zxyxy A B C D 2 5 2 9 5 9 1 9 二 填空题二 填空题 本大题共本大题共 7 小题 考生作答小题 考生作答 6 小题 每小题小题 每小题 5 分 满分分 满分 30 分分 一 必做题 一 必做题 9 13 题 题 9 等差数列的前项和为 若 则 n an n S 23 1 2aa 4 S 10 已知函数 则曲线在点处的切线方程为 4lnf xxx yf x 1 1 f 11 已知实数 执行如图所示的程序框图 则输出的不小于 47 的概 0 10 x x 率为 12 不等式解集是 121xx 13 已知函数 且关于x的方程有且只有一个实根 则实 2 log 0 3 0 x x x f x x 0f xxa 数a 的取值范围是 二 选做题 二 选做题 14 15 题 考生只能从中选做一题 题 考生只能从中选做一题 14 几何证明选讲选做题 几何证明选讲选做题 如图 是圆的直径 点在圆上 延长到ABOCOBC 使 过作圆的切线交于 若 则DCDBC COADE8 AB4 DC DE 21 1 33 正视图侧视图 俯视图 21 3 D C B A 15 15 坐标系与参数方程选做题 坐标系与参数方程选做题 在极坐标系中 圆的圆心到直线 的距离 sin4 3 R 是 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 小题 共小题 共 80 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 16 本小题满分 本小题满分 12 分 分 如图 在中 点是的中点 求 ABC 45B 10AC 2 5 cos 5 C DAB 1 边的长 AB 2 的值和中线的长 cos ACD 17 本小题满分 本小题满分 12 分 分 某学校随机抽取部分新生调查其上学路上所需时间 单位 分钟 并将所得数据绘制成频率 分布直方图 如图 其中 上学路上所需时间的范围是 样本数据分组为 0 100 0 20 20 40 40 60 60 80 80 100 1 求直方图中的值 x 2 如果上学路上所需时间不少于 60 分钟的学生可申请在学 校住宿 请估计学校 1000 名新生中有多少名学生可以申请住宿 3 现有 名上学路上时间小于分钟的新生 其中 人上40 学路上时间小于分钟 从这 人中任选 人 设这 人中上学20 路上时间小于分钟人数为 求的分布列和数学期望 20XX 18 本小题满分 本小题满分 14 分 分 如图所示的多面体中 是菱形 是矩形 平面 ABCDBDEFED ABCD 3 BAD 2AD 1 求证 平面平面 FCB AED 2 若二面角为直二面角 求直线与平面所成的角的正弦值 CEFA BCAEF 时 时 时 时 时 时 时 x 0 0125 0 0065 0 003 102030405060708090 100 110 O 4 19 本小题满分 本小题满分 14 分 分 已知函数 f x 32 33 0 axxx a 1 当时 求的单调区间 1a f x 2 若在的最大值为 求的值 f x 1 3 8a 20 本小题满分 本小题满分 14 分 分 已知为公差不为零的等差数列 首项 的部分项 恰为等比 n a 1 aa n a 1 k a 2 k a n k a 数列 且 1 1 k5 2 k17 3 k 1 求数列 n a的通项公式 用表示 n aa 2 设数列的前项和为 求证 是正整数 n kn n S 12 1113 2 n SSS n 21 本小题满分 本小题满分 14 分 分 设抛物线的焦点为F 点 线段的中点在抛物线上 设动直线 2 2 0 ypx p 0 2 AFA 与抛物线相切于点 且与抛物线的准线相交于点 以为直径的圆记为圆 l ykxm PQPQC 1 求的值 p 2 试判断圆与轴的位置关系 Cx 3 在坐标平面上是否存在定点 使得圆恒过点 若存在 求出的坐标 若不存在 MCMM 说明理由 5 20142014 届高三年级第一次模拟测试届高三年级第一次模拟测试 理科理科 参考答案和评分标准参考答案和评分标准 说明 1 参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力 并给出了一种或几种解法 供参考 如果考生的解法与参考答案不同 可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以 相应的分数 2 对解答题中的计算题 当考生的解答在某一步出现错误时 如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度 可视影响的程度决定后继部分的得分 但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数 的一半 如果后继部分的解答有较严重的错误 就不再给分 3 解答右端所注分数 表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4 只给整数分数 选择题和填空题不给中间分 一 选择题 本大题主要考查基本知识和基本运算 共一 选择题 本大题主要考查基本知识和基本运算 共 8 小题 每小题小题 每小题 5 分 满分分 满分 40 分 分 CAABA CDB 题目解析题目解析 1 解析 所以 选 C 13Bxx AB 2 0 C 2 解析 是纯虚数 则 选 A 2 1 1 2 1 1 iaaiia i ia 01 a1 a 3 解析 选 A 0 50 221a log 30 1b 22 2 loglog 10 2 c abc 4 解析 选 B5a 4 124c 4 5 e 5 解析 所以是最小正周期为的奇函 2 33 1 2sin cos2 sin2 44 yxxx f x 数 选 A 6 解析 由三视图易知 该几何体是底面积为 高为 3 的三棱锥 由锥体的体积公式得 3 2 选 C 133 3 322 V 7 解析 得0 ABACACABBCAP 选 D 7 12 039430 22 ABACACABACAB 8 解析 作出可行域如图 当平行直线系在直231xyz 3 A y xO c B 6 3 6 O E D C B A d o x 线BC与点A间运动时 此时23122xyxy 平行直线线在点 2315 9zxy 22xyZ O与BC之间运动时 此时 选 B23122xyxy 222 8zxy 2 9z 二 二 填空题 本大题主要考查基本知识和基本运算 本大题共填空题 本大题主要考查基本知识和基本运算 本大题共 7 小题 考生作答小题 考生作答 6 小题 每小题小题 每小题 5 分 满分分 满分 30 分 其中分 其中 14 4 1515 题是选做题 考生只能选做一题 题是选做题 考生只能选做一题 9 10 11 12 13 6340 xy 1 2 1 1 14 15 21 题目解析题目解析 9 解析 可已知可得 144 3 6aaS 10 解析 由几何概型得到输出的 x 不小于 47 的概率为 P 11 解析 切线方程 即 4 1fx x 1 3f 1 1f 13 1 yx 340 xy 12 解析 设 则 由 解得 12f xxx 3 1 1221 12 3 2 x f xxxxx x 21 1x 所以解集为1x 1 13 解析 如图 在同一坐标系中分别作出与的图象 yf x yxa 其中a表示直线在y轴上截距 由图可知 当时 直线1a yxa 与只有一个交点 2 logyx 14 解析 利用已知条件可得 CDEABC 84 2 4 ABBC DE DCDEDE 15 解析 如下图 设圆心到直线距离为 因为圆的半径为 d22 sin301d 三 三 解答题 本大题共解答题 本大题共6 6小题 满分小题 满分8080分分 解答须写出文字说明 证明过程和演算步骤解答须写出文字说明 证明过程和演算步骤 x y yxa 1yx O1 1 7 16 本题满分本题满分 1212 分分 解 解 由可知 是锐角 2 5 cos0 5 C C 所以 2 分 22 2 55 sin1 cos1 55 CC 由正弦定理由正弦定理 sinsin ACAB BC 5 10 5 sin2 sin2 2 AC ABC B 5 分 2 cos cos 18045 cos 135 ACC 8 分 210 cossin 210 CC 由余弦定理由余弦定理 22 10 2cos1 102 110 13 10 CDADACAD ACA 12 分 17 本题满分本题满分 1212 分分 1 由直方图可得 200 0125 200 0065 200 003 2 201x 学所以 2 分0 025x 2 新生上学所需时间不少于 60 分钟的频率为 4 分0 003 2 200 12 因为1000 0 12 120 所以名新生中有名学生可以申请住宿 1000120 6 分 3 的可能取值为 0 1 2 7 分X 所以的可能取值为 分X0 1 2 02 24 2 6 2 0 5 CC P X C 11 24 2 6 8 1 15 CC P X C 20 24 2 6 1 2 15 CC P X C 时 时 时 时 时 时 时 x 0 0125 0 0065 0 003 102030405060708090 100 110 O 8 N M F E G D C B A 所以的分布列为 X X012 P 2 5 8 15 1 15 11 分 12 分 2812 012 515153 EX 18 本小题满分 本小题满分 14 分 分 1 矩形中 1 分BDEF FBED 平面 平面 平面 2 分 FBAED EDAED FBAED 同理平面 3 分 BCAED 又 u u u 平面 平面 4 分BBCFB FBC EDA 2 取的中点 EFM 由于面 ED ABCDEDFB EDAD EDDC FBBC FBAB 又是菱形 是矩形 所以 是全等三角形 ABCDBDEF ADEEDCABFBCF CFCEAFAE 所以 就是二面角的平面角 8 分EFCMEFAM AMC CEFA AMMC 解法 1 几何方法 几何方法 延长延长到到 使 使 由已知可得 由已知可得 是平行四边形 是平行四边形 又CBGBCBG ADBGBDEF 矩形 所以是平行四边形 是平行四边形 共面 由上证可知 AEFG A E F G 相交于 平面 AMMC CMEF EFAMMCM AEFG 为所求 CGM 由 得2AD 60DAB 2 3AC 等腰直角三角形中 可得AMC2 3AC 6MC 直角三角形中 GMC 6 sin 4 CM CGM CG 解法 2 几何方法 由几何方法 由 得平面 欲AMMC AMEF MCEFM CMAEF 求直线与平面所成的角 先求与所成的角 12 分BCAEFBCMC 9 z y x N M F E D C B A 连结 设则在中 用余弦定BM 2 BCMBC 6322 MNCM2 MB 理知 14 分 4 6 2 cos 222 BCMC MBBCMC MCB 4 6 sin 解法 3 向量方法 向量方法 以为原点 为轴 为轴DDCyDEz 建立如图的直角坐标系 由则 2 AD 3 2 1 2 3 M 平面的法向量 12 分 0 2 0 CAEF 3 2 3 2 3 MCn 14 分 0 1 3 DACB 4 6 cos CBn CBn CBn 4 6 sin 19 本小题满分 本小题满分 14 分 分 解 1 1 分 2 363fxaxx 其判别式 1 363636aa 因为 所以 对任意实数 恒成立 1a 0 0fx 所以 在上是增函数 4 分 f x 2 当时 由 1 可知 在上是增函数 所以在的最大值为1a f x f x 1 3 由 解得 不符合 舍去 6 分 3 f 3 8f 26 27 a 当时 方程的两根为01a 0 1 363636 aa 2 3630axx 8 分 1 11 a x a 2 11 a x a 图象的对称轴 2 363fxaxx 1 x a 因为 1 1x 111 11 10 aaa aa 10 或 所以 1 11 a x a 1 1 11 a 12 1 01xx a 由 解得 2 3x 5 9 a 当 因为 所以 时 在 5 0 9 a 2 3x 1 3 1 0fa 1 3 x 0fx f x 是减函数 在的最大值 由 解得 不符合 舍 1 3 f x 1 3 max 1 yf 1 8f 8a 去 12 分 当 在是减函数 当时 5 1 9 a 2 3x 2 1 xx 0fx f x 2 1 x 2 3 xx 在是增函数 所以在的最大值或 由 0fx f x 2 3 x f x 1 3 1 f 3 f 1 f8 解得 不符合 舍去 14 分 3 f8 8a 26 27 a 综上所述 26 27 a 20 本小题满分 本小题满分 14 分 分 解 1 设数列的公差为 n a 0 d d 由已知得 成等比数列 1 aa 5 4aad 17 16aad 且 2 分 2 4 ad 16 a ad 0a 得或 0d 2 a d 已知 n a为公差不为零 3 分 2 a d 4 分 1 1 n aand 1 1 22 an ana 2 由 1 知 1 2 n n aa 1 2 n n k k aa 5 分 而等比数列的公比 n k a 51 11 4 3 aad q aa 6 分 11 1 33 n nn k aaa 11 因此 1 2 n n k k aa 1 3na 0a 7 分 1 2 31 n n k 011 2 32 32 3 n n Sn 2 1 3 1 3 n n 31 n n 9 分 当时 1n 012211 3 12 2222 nnnnnn nnnnn CCCCC 01 22 nn nnn CCC 22121 nn nn 或用数学归纳法证明此不等式 312 nn n 11 分 111 312 nn n Sn 2 n 当时 不等式成立 1n 1 13 1 2S 当时 2n 12 111 n SSS 234 1111 1 2222n 1 11 1 313 42 1 1 222 1 2 n n 综上得不等式成立 12 111 n SSS 3 2 14 分 法二 当时 3n 012211 3 12 2222 nnnnnn nnnnn CCCCC 0122 22 nnn CCC 22 2121nnn 或用数学归纳法证明此不等式 31 1 n nn n 11 分 11111 31 1 1 n n Snn nnn 3 n 12 当时 不等式成立 1n 1 13 1 2S 当时 不等式成立 2n 2 12 11173 1 32 162SS 当时 3n 12 111 n SSS 12 111111 31 132 1341nn 11313 1 63212n 综上得不等式成立 12 111 n SSS 3 2 14 分 法三 利用二项式定理或数学归纳法可得 1 31 2 n nn 所以 时 2n 11 3 1 332 3 nnnn n 12 111 n SSS 211 1 1115153 1 2 33344 342 nn 时 综上得不等式成立 1n 1 1 1 S 12 111 n SSS 3 2 20 本小题满分 本小题满分 14 分 分 解 1 利用抛物线的定义得 故线段的中点的坐标为 代入方程得 0 2 p FFA 2 42 p 解得 2 分 1 2 42 p p 1p 2 由 1 得抛物线的方程为 从而抛物线的准线方程为 2 2yx 1 2 x 3 分 由得方程 2 2yx ykxm 2 0 2 k yym 由直线与抛物线相切 得 4 分 0 0 k 0 1 2 k m k 且 从而 即 5 分 1 y k 2 1 2 x k 2 11 2 P kk 13 由 解得 6 分 1 2 1 2 ykx k x 2 1 1 22 k Q k 的中点的坐标为 PQC 22 2 13 44