高三数学导数的综合应用教案18

1 / 14高三数学导数的综合应用教案 18本资料为 WoRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址莲山课件 k115 导数的综合应用一、明确复习目标了解可导函数的单调性与其导数的关系，会用导数分析函数的单调性，进而求解函数不等式的问题；二建构知识网络1函数的单调性与导数的关系，求单调区间的方法（见上一节） ；2利用导数解不等式问题：（高考中的一类新题型）（1）利用导数确定函数的单调性，（2）利用单调性研究不等式。三、双基题目练练手1已知 a0，函数 f（x）=x3ax 在1，+）上是单调增函数，则 a 的最大值是A0B1c2D32函数 f（x）=sin（3x）在点（,）处的切线方程是（）A3x+2y+=0,B3x2y+=0c3x2y=0,D3x+2y=02 / 143(XX 湖北)若的大小关系（）ABcD与 x 的取值有关4 （XX 江西）对于上可导的任意函数 f(x),若满足(x1)f(x)0,则必有（）Af(0)+f(2)2f(1)Bf(0)+f(2)2f(1)cf(0)+f(2)2f(1)Df(0)+f(2)2f(1)5若函数 y=x3+bx 有三个单调区间，则 b 的取值范围是_6方程 x33x+c=0 在0，1上至多有_个实数根简答:14DBDc；5y=4x2+b，若 y值有正、有负，则 b0答案：b06设 f（x）=x33x+c，则（x）=3x23=3（x21） 当 x（0，1）时， （x）0 恒成立f（x）在（0，1）上单调递减f（x）的图象与 x 轴最多有一个交点因此方程 x33x+c=0 在0，1）上至多有一实根四、经典例题做一做【例 1】证明：当 x0 时，有证明：设 f(x)=x-sinx,于是 f(0)=0f/(x)=1-cosx(仅在 x=2k(kZ)处 f/(x)=03 / 14当 xf(0)即 x-sinx0)为证不等式，设g(x)=sinx-x+,则 g(0)=0,于是 g/(x)0 时递增，从而有 g(x)g(0)=0即故当 x0 时有提炼方法：证不等式的依据 I：（1）若函数 f(x)在 xa 可导，且递增，则 f(x)（2）若函数 f(x)在 xa 可导，且递减，则 f(x)f(a);关键在于构造恰当的函数，一般是左-右，右-左，左右等。【例 2】已知求证：函数 f(x)图像上的点不可能在函数 g(x)图像的上方。证明：设 F(x)=(2-x)ex-1,(x2)4 / 14F/(x)=(1-x)ex-1,当 x2 时，F/(x)0x=1 时，F(x)有极大值，也就是最大值。F(x)F(1)=1,又 x2,函数 f(x)图像上的点不可能在函数 g(x)图像的上方。提炼方法：证不等式的依据 II：(1)若函数 f(x)在某一范围内有最小值 m,则 f(x)m(2)若函数 f(x)在某一范围内有最大值 m，则 f(x)m【例 3】(XX 全国）已知函数（）设 a0，讨论 y=f(x)的单调性；（）若对任意 x(0,1)恒有 f(x)1，求 a 的取值范围解()f(x)的定义域为(,1)(1,+)。对 f(x)求导数得 f(x)=ax2+2a(1x)2eax()当 a=2 时,f(x)=2x2(1x)2e2x,f(x)在(,0),(0,1)和(1,+)均大于 0,所以 f(x)在(,1),(1,+)为增函数；()当 00,f(x)在(,1),(1,+)为增函数；()当 a1,令 f(x)=0,解得5 / 14x1=,x2=当 x 变化时,f(x)和 f(x)的变化情况如下表：x(-,-)(-,)(,1)(1,+)f(x)f(x)f(x)在(,),(,1),(1,+)为增函数,f(x)在(,)为减函数。()()当 0a2 时,由()知:对任意 x(0,1)恒有 f(x)f(0)=1()当 a2 时,取 x0=12(0,1),则由()知 f(x0)f(0)=1()当 a0 时,对任意 x(0,1),恒有 1+x1x1 且eax1,得f(x)=1+x1xeax1+x1x1 综上当且仅当a(,2时,对任意 x(0,1)恒有 f(x)1。特别提示：对于求单调区间、极值、最值问题，根据导数的零点把定义区间分开，列出表格，再分析各区间导数的符号，进而确定单调区间、极值最值，清楚直观不易出错。6 / 14【例 4】(XX 全国)在平面直角坐标系中，有一个以和为焦点、离心率为的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线 c，动点 P 在 c 上，c 在点 P 处的切线与轴的交点分别为A、B，且向量求：（）点 m 的轨迹方程；（）的最小值。解:椭圆方程可写为:y2a2+x2b2=1 式中 a0,且a2b2=33a=32 得 a2=4,b2=1,所以曲线 c 的方程为:x2+y24=1(x1)y=2x1x2设 P(x0,y0),因 P 在 c 上,有01,y0=21x02,y|x=x0=4x0y0,得切线 AB 的方程为:y=4x0y0(xx0)+y0 设 A(x,0)和 B(0,y),由切线方程得x=1x0,y=4y0由 om=oA+oB得 m 的坐标为(x,y),由 x0,y0 满足 c的方程,得点 m 的轨迹方程为:1x2+4y2=1(x2)()|om|2=x2+y2,y2=411x2=4+4x21,|om|2=x21+4x21+54+5=9 且当 x21=4x21,即 x=31 时,上式取等号故|om|的最小值为 37 / 14【研讨欣赏】(XX 湖北)设 x=3 是函数 f(x)=(x2+ax+b)e3-x(xR)的一个极值点（1）求 a 与 b 的关系式（用 a 表示 b） ，并求 f(x)的单调区间；（2）设1 成立，求的取值范围解：（1）由 f(3)=0 得所以令 f(x)=0 得由于 x=3 是 f(x)的极值点，故 x1x2，即 a-4当时， ，故 f(x)在上为减函数，在上为减函数，在上为增函数当 ax2，故 f(x)在(,a1上为减函数，在a1,3上为增函数，在3,+)上为减函数（2）当 a0，故 f(x)在0,3上为增函数，在3,4上为减函数，在3,+)上为减函数因此 f(x)在0,4上的值域为而在0,4上为增函数，所以值域为注意到，8 / 14故由假设知解得故的取值范围是考查知识：函数、不等式和导数的应用知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力五提炼总结以为师1利用导数求解不等式问题的核心是利用导数判定函数的单调性，这就转化为一般的函数问题；2利用导数证明不等式有两种方法：3导数是研究函数问题的工具，注意它在其它数学问题中的综合与应用。同步练习 115 导数的综合应用【选择题】1 某物体作 s=2（1t）2 的直线运动，则 t=08s 时的瞬时速度为()A4B4c48D082已知函数 f（x）=x44x3+10x2，则方程 f（x）=0 在区间1，2上的根有A3 个 B2 个 c1 个 D0 个3若 f(x)是在（L，L）内的可导的偶函数，且不恒为0，则（）（A）必定是（L，L）内的偶函数（B）必定是（L，L）内的奇函数9 / 14（c）必定是（L，L）内的非奇非偶函数（D）可能是（L，L）内的奇函数，可能是偶函4已知的值是（）AB0c8D不存在【填空题】5曲线 y=上的点到直线 2xy+3=0 的最短距离为6 设底为等边三角形的直棱柱的体积为 V，那么其表面积最小时，底面边长为_简答提示：14DDBc;2 （x）=4x（x23x+5）在1，2上， （x）0，f（x）在1，2上单调递增f（x）f（1）=7f（x）=0 在1，2上无根答案：D3由 f(x)=f(x)，求导得4 ，5;6设底面边长为 x，则高为 h=，S 表=3x+2x2=+x2S=+x 令 S=0，得 x=答案：【解答题】7已知 xR,求证：exx+1证明:设 f（x）=exx1,则 f（x）=ex110 / 14当 x=0 时，f（x）=0,f（x）=0当 x0 时，f（x）0,f（x）在（0,+）上是增函数f（x）f（0）=0当 x0 时，f（x）0,f（x）在（,0）上是减函数，f（x）f（0）=0对 xR 都有 f（x）0exx+18 （XX 江西）已知函数在与时都取得极值（1）求、的值及函数 f(x)的单调区间;（2）若对 x-1,2,不等式 f(x)c2 恒成立,求 c 的取值范围解:f/(x)=3x2x2=(3x2)(x-1),函数 f(x)的单调区间如下表：f/(x)f(x)极大值极小值11 / 14所以函数 f(x)的递增区间为与;递减区间为9 （XX 重庆）已知函数 f(x)=(x2+bx+c)ex，其中 b,cR为常数。（）若 b24(c-1)，讨论函数 f(x)的单调性；（）若，且，试证：。解（I）求导得 f/(x)=x2+(b+2)x+b+eexb24(c-1)故方程 f/(x)=0 即 x2+(b+2)x+b+e=0 有两个实根令 f/(x)x2又令 f/(x)x2故当 x(,x1)时，f(x)是增函数，x(x2,+)时，f(x)也是函数，当 x(x1,x2)时，f(x)是减函数。（II）易知由已知条件得解得10(XX 浙江)已知函数 f(x)=x+x，数列x(x0)的第一项 x1，以后各项按如下方式取定：曲线 x=f(x)在处的切线与经过（0，0）和（x,f(x)）两点的直线平行（如12 / 14图） 求证：当 n 时，()x（）证明：（I）因为所以曲线在处的切线斜率因为过和两点