12能得到直角三角形吗 (2)

2 能得到直角三角形吗能得到直角三角形吗 教学时间 第三课时 课 题 1 2 能得到直角三角形吗 教学目标 一 教学知识点 1 掌握直角三角形的判别条件 2 熟记一些勾股数 3 能对直角三角形的判别条件进行一些综合应用 二 能力训练要求 1 用三边的数量关系来判断一个三角形是否为直角三角形 培养学生数形结合的思想 2 通过对直角三角形判别条件的研究 培养学生大胆猜想 勇于探索的创新精神 三 情感与价值观要求 1 通过介绍有关历史资料 激发学生解决问题的愿望 2 通过对勾股定理逆定理的综合应用 培养学生学习数学的兴趣 克服困难的勇气 体验 勾股定理及其逆定理在生活实际中的实用性 教学重点 直角三角形的判别条件及其应用 它可用边的关系来判断一个三角形是否是直角三角形 教学难点 用直角三角形的判别条件判断一个三角形是否为直角三角形及综合应用直角三角形的知识 解题 教学方法 引导启发法 教师通过介绍古埃及人作直角的方法启发引导学生通过已知数据作出三角形 并用测量的 方法 探索 归纳用三角形三边关系判定直角三角形的条件 教具准备 一根有 13 个等距的结的绳子 投影片两张 第一张 例题 记作 1 2 A 第二张 随堂练习 记作 1 2 B 教学过程 创设问题情境 引入新课 师 下面我们来总结一下直角三角形有哪些性质 生 直角三角形有如下性质 有一个内角为直角 两个锐角互余 两条直角边的 平方和等于斜边的平方 生 在含 30 角的直角三角形中 30 的角所对的直角边是斜边的一半 师 很好 反过来 一个三角形 满足什么条件就是直角三角形呢 生 如果有一个内角是直角 它就是直角三角形 生 如果有两个角的和是 90 那么这个三角形也是直角三角形 师 我们可以注意到这些同学都是通过角的关系判定直角三角形的 前面 我们刚学习了勾股定理 知道一个直角三角形的两直角边 a b 斜边 c 具有一定 的数量关系即 a2 b2 c2 我们是否也可以不用角 而用三角形三边的关系来判定它是否为直角三 角形呢 讲述新课 1 古代埃及人作直角 师 其实 古代埃及人就曾用三角形三边的关系作出了直角 下面我们一同演示一下 我这儿有一根绳子 上面有 13 个等距的结 把这根绳子分成等长的 12 段 下面我让一个 同学同时握住绳子的第 1 个和第 13 个结 再让两个同学分别握住绳子的第 4 个结和第 8 个 结 如下图所示 拉紧绳子 大家观察可以发现什么 生 得到一个直角三角形 在第 4 个结处的角是直角 师 我们再来看在第 1 个结到第 4 个结是 3 个单位长度即 AC b 3 同理 BC a 4 AB c 5 因为 32 42 52 所以 a2 b2 c2 那么是不是三角形的三边满足 a2 b2 c2 就可 以得到一个直角三角形呢 我们不妨再找几组数试一试 2 做一做 下面四组数分别是一个三角形的三边长 a b c 5 12 13 7 24 25 8 15 17 5 6 7 1 这四组数都满足 a2 b2 c2吗 2 分别以每组数为三边长作出三角形 用量角器量一量 它们都是直角三角形吗 师生共析 1 52 122 169 132 72 242 625 252 82 152 289 172 52 62 61 72 所以这四组数 前三组满足 a2 b2 c2 而最后一组不满足 师 以 5 12 13 这一组数为例 谁能告诉我如何作出以它们为边长的三角形呢 生 作法 作线段 AB 5 个单位长度 分别以 A B 为圆心 12 个单位长度 13 个 单位长度为半径画弧 交于线段 AB 的同旁于一点 C 连结 AC BC ABC 就是以 5 12 13 为边长的三角形 师 很好 下面同学们就以小组为单位来完成第 2 小题 让学生亲自动手作三角形 并用量角器量出各个内角 然后小组内交流 从而获得一个 三角形是直角三角形三边的条件 生 我们通过作三角形 测量三角形三个内角发现 前三组数满足 a2 b2 c2 作出的三 角形都是直角三角形 而后一组数不满足 a2 b2 c2 作出的三角形不是直角三角形 师 你能告诉我在你作出的直角三角形中 哪一边是斜边吗 哪一个角是直角吗 生 前三组数中 较长的边是斜边 斜边所对的角是直角 师 从 做一做 中你能猜想到什么结论呢 生 如果三角形的三边长 a b c 满足 a2 b2 c2 那么这个三角形是直角三角形 师 刚才 我们只是从特例中猜想出来上面的结论 可能有的同学会产生疑虑 果真如 此吗 下面我用前面的知识解释一下这个结论 大家就会知道 我们的猜想是正确的 已知 在 ABC 中 AB c BC a CA b 并且 a2 b2 c2 请说明 c 90 解 作 A B C 使 C 90 B C a A C b 那么 A B 2 a2 b2 为什 么 由已知条件 a2 b2 c2 可得 A B 2 c2 即 A B c A B 0 c 0 在 ABC 和 A B C 中有 BC a B C CA b C A AB c A B 则 ABC A B C 所以 C C 90 现在大家没有疑虑了吧 同时也明白了古埃及人那样做的道理 实际上 古代中国人也曾利 用相似的方法得到直角 直至科技发达的今天 人类已跨入 21 世纪 建筑工地上的工人师傅 们仍然离不开 三四五放线法 三四五放线法 是一种古老的规范操作 所谓 归方 就是 做成直角 譬如建造房 屋 房角一般总是成 90 怎样确定房角的纵横两线呢 如下图 欲过基线 MN 上的一点 C 作它的垂线 可由三名工人操作 一人手拿布尺或测 绳的 0 和 12 尺处 固定在 C 点 另一人拿 4 尺处 把尺拉直 在 MN 上定出 A 点 再由一人 拿 9 尺处 把尺拉直 定出 B 点 于是连结 BC 就是 MN 的垂线 建筑工人用了 3 4 5 作出了一个直角 能不能用其他的整数组作出直角呢 生 可以 例如 7 24 25 8 15 17 等 师 是的 如果三角形三条边满足 a2 b2 c2的三个正整数 称为勾股数 那么满足条件的 勾股数有多少组呢 它们是如何形成的 我们的先人数学家刘徽和希腊数学家曾相继提出了表 示所有勾股整数组的方法 下面我们来了解一下这方面的情况 3 读一读 师 同学们可以打开课本 P11 阅读 读一读 勾股数组与费马大定理 读一读介绍了寻找勾股数组的一种方法以及由此引发的一个重要数学问题 费马大定 理 现在我们就来尝试验证其中提供的求勾股数组方法的合理性 即 求证 m2 n2 m2 n2 2mn m n m n 是正整数 是直角三角形的三条边长 师生共析 要证明它们是直角三角形的三边 首先应判断这三条线段是否组成三角形 然后再用勾股定理的逆定理即直角三角形的判定条件来判断它们是否是一个直角三角形的三边 长 证明 m n m n 是正整数 m2 n2 m2 n2 2m2 2mn 即 m2 n2 m2 n2 2mn 又因为 m2 n2 2mn m2 n 2m n 而 2m n m m n 0 所以 m2 n2 2mn m2 n2 由此可知 这三条线段可组成三角 形 又因为 m2 n2 2 2mn 2 m4 4m2n2 2m2n2 n4 m4 2m2n2 n4 m2 n2 2 则 m2 n2 2 2mn 2 m2 n2 2 由直角三角形的判定条件 可知 这三条线段组成的三角形是直角三 角形 师 你能用这个方法找到 5 组勾股数吗 生 可以 如下表 勾股数组 m n m n 是正整数 m2 n22mnm2 n2 m 2 n 1345 m 3 n 251213 m 4 n 372425 m 5 n 494041 m 3 n 18610 下面我们利用直角三角形判定的条件来看几个例题 4 例题讲解 出示投影片 1 2A 例 1 一个零件的形状如下图所示 按规定这个零件中 A 和 DBC 都应为直角 工人师 傅量出了这个零件各边尺寸 那么这个零件符合要求吗 分析 这是一个利用直角三角形的判定条件解决实际问题的例子 解 在 ABD 中 AB2 AD2 9 16 25 BD2 所以 ABD 是直角三角形 A 是直角 在 BCD 中 BD2 BC2 25 144 169 132 CD2 所以 BCD 是直角三角形 DBC 是直 角 因此这个零件符合要求 随堂练习 1 课本 P18 下列几组数能否作为直角三角形的三边长 说说你的理由 1 9 12 15 2 15 36 39 3 12 35 36 4 12 18 22 解 根据直角三角形的判定条件 1 92 122 152 2 152 362 392 所以 1 2 两组数可以作为直角三角形的三边 但 3 122 352 362 4 122 182 322 所以 3 4 两组数不能作为直角三角形的三边 2 补充练习 出示投影片 1 2 B 1 判断以 a 10 b 8 c 6 为边组成的三角形是不是直角三角形 解 因为 a2 b2 100 64 164 c2 即 a2 b2 c2 所以由 a b c 不能组成直角三角形 请问 上述解法对吗 为什么 2 已知 在 ABC 中 AB 13 cm BC 10 cm BC 边上的中线 AD 12 cm 求证 AB AC 1 解 上述解法是不对的 因为 a 10 b 8 c 6 b2 c2 64 36 100 102 a2 即 b2 c2 a2 所 以由 a b c 组成的三角形两边的平方和等于等三边的平方 利用勾股定理的逆定理可知 a b c 可构成直角三角形 其中 a 是斜边 b c 是两直角边 评注 在解题时 我们不能简单地看两边的平方和是否等于第三边的平方 而应先判断哪 一条边有可能作为斜边 往往只需看最大边的平方是否等于另外两边的平方和 2 证明 根据题意 画出图形 AB 13 cm BC 10 cm AD 是 BC 边上的中线 BD CD 5 cm 在 ABD 中 AD 12 cm BD 5 cm AB 13 cm AB2 169 AD2 BD2 122 52 169 所以 AB2 AD2 BD2 则 ADB 90 ADC 180 ADB 180 90 90 在 Rt ADC 中 AC2 AD2 CD2 122 52 132 所以 AC AB 13 cm 课时小结 这节课我们归纳推理出直角三角形判定条件 并用它去解决生活实际中的问题 最后我们 还介绍了求勾股数组的方法 课后作业 1 课本 P20 习题 1 4 2 熟记几组常用的勾股数 活动与探究 给出一组式子 32 42 52 82 62 102 152 82 172 242 102 262 1 你能发现上面式子的规律吗 请你用发现的规律 给出第 5 个式子 2 请你证明你所发现的规律 过程 观察式子 要注意这些式子中不变的形式 如等式两边每一项的指数为 2 等式左 边是平方和的形式 右边是一个数的平方 很显然 我们发现的规律一定是 2 2 2 的形式 然后再观察每一项与序号的关系 如 32 82 152 242与序号有何关系 可知 32 22 1 2 82 32 1 2 152 42 1 2 242 52 1 2 所以我们可推想 第一项一定是 n2 1 2 其 n 1 n 为整数 同理可得第二项一定是 2n 2 等式右边一定是 n2 1 2 其中 n 1 n 为整 数 1 解 上面的式子是有规律的 即 n2 1 2 2n 2 n2 1 2 n 为大于 1 的整数 第 5 个式子是 n 6 时 即 62 1 2 2 6 2 62 1 2化简 得 352 122 372 2 证明 左边 n2 1 2 2n 2