高考数学理科一轮复习简单的三角恒等变换学案（附答案）

1 / 17高考数学理科一轮复习简单的三角恒等变换学案（附答案）本资料为 WoRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址 学案 22简单的三角恒等变换导学目标：1.能推出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并熟练应用.2.能运用两角和与差的三角公式进行简单的恒等变换自主梳理1二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2_；(2)cos2_11_；(3)tan2_(k24且 k2)2公式的逆向变换及有关变形(1)sincos_cossin22sin；(2)降幂公式：sin2_，cos2_2 / 17；升幂公式：1cos_，1cos_；变形：1sin2sin2cos22sincos_.自我检测1(XX陕西)函数 f(x)2sinxcosx 是()A最小正周期为 2 的奇函数B最小正周期为 2 的偶函数c最小正周期为 的奇函数D最小正周期为 的偶函数2函数 f(x)cos2x2sinx 的最小值和最大值分别为()A3,1B2,2c3，32D2，323函数 f(x)sinxcosx 的最小值是()A1B14(XX清远月考)已知 A、B 为直角三角形的两个锐角，则 sinAsinB()A有最大值 12，最小值 0B有最小值 12，无最大值3 / 17c既无最大值也无最小值D有最大值 12，无最小值探究点一三角函数式的化简例 1求函数 y74sinxcosx4cos2x4cos4x 的最大值和最小值变式迁移 1(XX泰安模拟)已知函数 f(x)4cos4x2cos2x1sin4xsin4x.(1)求 f1112 的值；(2)当 x0，4 时，求 g(x)12f(x)sin2x 的最大值和最小值探究点二三角函数式的求值例 2已知 sin(42)sin(42)14，(4，2)，求 2sin2tan1tan1的值变式迁移 2(1)已知 是第一象限角，且4 / 17cos513，求sin24的值(2)已知 cos(4)35，232，求cos(24)的值探究点三三角恒等式的证明例 3(XX苏北四市模拟)已知 sin(2)3sin，设 tanx，tany，记 yf(x)(1)求证：tan()2tan；(2)求 f(x)的解析表达式；(3)若角 是一个三角形的最小内角，试求函数 f(x)的值域变式迁移 3求证：sin2xsinxcosx11cosxsinx.5 / 17转化与化归思想的应用例(12 分)(XX江西)已知函数 f(x)11tanxsin2xmsinx4sinx4.(1)当 m0 时，求 f(x)在区间 8，34 上的取值范围；(2)当 tan2 时，f()35，求 m 的值【答题模板】解(1)当 m0 时，f(x)1cosxsinxsin2xsin2xsinxcosx1cos2xsin2x2122sin2x41，3 分由已知 x8，34，得 2x40，54，4 分所以 sin2x422，1，5 分从而得 f(x)的值域为 0，122.6 分(2)f(x)sin2xsinxcosxm2cos2x1cos2x212sin2xm2cos2x12sin2x(1m)cos2x12，8 分由 tan2，得sin22sincossin2cos22tan1tan245，cos2cos2sin2cos2sin21tan21t6 / 17an235.10 分所以 3512453512，11 分解得 m2.12 分【突破思维障碍】三角函数式的化简是指利用诱导公式、同角基本关系式、和与差的三角函数公式、二倍角公式等，将较复杂的三角函数式化得更简洁、更清楚地显示出式子的结果化简三角函数式的基本要求是：(1)能求出数值的要求出数值；(2)使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数的种类最少；(3)分式中的分母尽量不含根式等1求值中主要有三类求值问题：(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角” ，使其角相同或具有某种关系(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值” ，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角7 / 172三角恒等变换的常用方法、技巧和原则：(1)在化简求值和证明时常用如下方法：切割化弦法，升幂降幂法，和积互化法，辅助元素法， “1”的代换法等(2)常用的拆角、拼角技巧如：2()()，()，()，222，2 是 4 的二倍角等(3)化繁为简：变复角为单角，变不同角为同角，化非同名函数为同名函数，化高次为低次，化多项式为单项式，化无理式为有理式消除差异：消除已知与未知、条件与结论、左端与右端以及各项的次数、角、函数名称、结构等方面的差异(满分：75 分)一、选择题(每小题 5 分，共 25 分)1(XX平顶山月考)已知0，3sin2sin，则 cos()等于()162已知 tan()25，tan414，那么tan4 等于()3(XX石家庄模拟)已知 cos212(其中8 / 174，0)，则 sin 的值为()324若 f(x)2tanx2sin2x21sinx2cosx2，则 f12的值为()A433B8c43D435(XX福建厦门外国语学校高三第二次月考)在ABc 中，若 cos2B3cos(Ac)20，则 sinB 的值是()1题号 12345答案二、填空题(每小题 4 分，共 12 分)6(XX全国)已知 为第二象限的角，且sin35，则 tan2_.7函数 y2cos2xsin2x 的最小值是_8若 cos2sin422，则 cossin 的值为_三、解答题(共 38 分)9(12 分)化简：(1)cos20cos40cos60cos80；(2)34cos2cos434cos2cos4.9 / 1710(12 分)(XX南京模拟)设函数 f(x)3sinxcosxcosxsin2x12.(1)求 f(x)的最小正周期；(2)当0，2 时，求函数 f(x)的最大值和最小值11(14 分)(XX北京)已知函数 f(x)2cos2xsin2x4cosx.(1)求 f(3)的值；(2)求 f(x)的最大值和最小值答案自主梳理1(1)2sincos(2)cos2sin22cos22sin2(3)2tan1tan22.(1)12sin2(2)1cos221cos222cos222sin22(sincos)2自我检测1c课堂活动区例 1解题导引化简的原则是形式简单，三角函数名称尽量少，次数尽量低，最好不含分母，能求值的尽量求10 / 17值本题要充分利用倍角公式进行降幂，利用配方变为复合函数，重视复合函数中间变量的范围是关键解y74sinxcosx4cos2x4cos4x72sin2x4cos2x(1cos2x)72sin2x4cos2xsin2x72sin2xsin22x(1sin2x)26，由于函数 z(u1)26 在1,1中的最大值为zmax(11)2610，最小值为 zmin(11)266，故当 sin2x1 时，y 取得最大值 10，当 sin2x1 时，y 取得最小值 6.变式迁移 1解(1)f(x)22cos2x1sin4xsin4xcos22xsin4xcos4x2cos22xsin22x2cos22xcos2x2cos2x，f11122cos1162cos63.(2)g(x)cos2xsin2x2sin2x4.x0，4，2x44，34，当 x8 时，g(x)max2，11 / 17当 x0 时，g(x)min1.例 2解题导引(1)这类问题一般是先化简再求值；化简后目标更明确；(2)如果能从已知条件中求出特殊值，应转化为特殊角，可简化运算，对切函数通常化为弦函数解由 sin(42)sin(42)sin(42)cos(42)12sin(24)12cos414，cos412，又 (4，2)，故 512，2sin2tan1tan1cos2sin2cos2sincoscos22cos2sin2cos562cos56sin56532.变式迁移 2解(1) 是第一象限角，cos513，sin1213.sin2422cos222cos2sin222cossin22513121313214.(2)cos(24)cos2cos4sin2sin422(cos2sin2)，12 / 17232，34474.又 cos(4)350，故可知 3274，sin(4)45，从而 cos2sin(22)2sin(4)cos(4)2(45)352425.sin2cos(22)12cos2(4)12(35)2725.cos(24)22(cos2sin2)22(2425725)31250.例 3解题导引本题的关键是第(1)小题的恒等式证明，对于三角恒等式的证明，我们要注意观察、分析条件恒等式与目标恒等式的异同，特别是分析已知和要求的角之间的关系，再分析函数名之间的关系，则容易找到思路证明三角恒等式的实质就是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简，左右归一或变更论证对于第(2)小题同样要从角的关系入手，利用两角和的正切公式可得关系第(3)小题则利用基本不等式求解即可13 / 17(1)证明由 sin(2)3sin，得 sin()3sin()，即 sin()coscos()sin3sin()cos3cos()sin，sin()cos2cos()sin，tan()2tan.(2)解由(1)得 tantan1tantan2tan，即 xy1xy2x，yx12x2，即 f(x)x12x2.(3)解角 是一个三角形的最小内角，0x3，设 g(x)2x1x，则 g(x)2x1x22(当且仅当 x22时取“”)故函数 f(x)的值域为(0，24变式迁移 3证明因为左边2sinxcosxsinxsinx2sinxcosxsin2x22sinxcosxsin2xcos2x2cosx12sinxcosx2cos2x2cosxsinx1cosx14 / 17sinx1cosxsinxsin2x1cosxsinx右边所以原等式成立课后练习区1D0，3sin2sin，6sincossin，又sin0，cos16，cos()cos()cos16.2c因为 44，所以 4()4.所以tan4tan4tantan41tantan4322.3B12cos212sin2，sin214.又4，0，sin12.4Bf(x)2tanx12sin2x212sinx2tanx2cosxsinx2sinxcosx4sin2x15 / 17f124sin68.5c由 cos2B3cos(Ac)20 化简变形，得2cos2B3cosB10，cosB12 或 cosB1(舍)sinB32.6247解析因为 为第二象限的角，又 sin35，所以 cos45，tansincos34，所以 tan22tan1tan2247.712解析y2cos2xsin2xsin2x1cos2xsin2xcos2x12sin2x41，当 sin(2x4)1 时，函数取得最小值 12.解析cos2sin4cos2sin222sincos2(sincos)22，cossin12.9解(1)sin22sincos，cossin22sin，16 / 17(2 分)原式sin402sin20sin802sin40sin1602sin80sin16sin20116.(6 分)(2)原式34cos22cos22134cos22cos221(9 分)1cos222tan4.(12 分)10解f(x)3sinxcosxcosxsin2x1232sin2x12cos2x1sin2x61.(4 分)(1)T22，故 f(x)的最小正周期为.(6