常微分方程的发展史

常微分方程的发展史 摘要 20 世纪以来 随着大量的边缘科学诸如电磁流体力学 化学 流体力学 动力气象学 海洋动力学 地下水动力学等等的产生和 发展 也出现不少新型的微分方程 特别是方程组 70 年代随着数 学向化学和生物学的渗透 出现了大量的反应扩散方程 从 求通解 到 求解定解问题 数学家们首先发现微分方程有无穷个解 常微 分方程的解会含有一个或多个任意常数 其个数就是方程的阶数 偏 微分方程的解会含有一个或多个任意函数 其个数随方程的阶数而定 命 方程的解含有的任意元素 即任意常数或任意函数 作尽可能的变 化 人们就可能得到方程所有的解 于是数学家就把这种含有任意元 素的解称为 通解 在很长一段时间里 人们致力于 求通解 关键词 常微分方程 发展 起源 正 常微分方程是由用微积分处理新问题而产生的 它主要经历了 创立及解析理论阶段 定性理论阶段和深入发展阶段 17 世纪 牛 顿 I Newton 英国 1642 1727 和莱布尼兹 G W Leibniz 德国 1646 1716 发明了微积分 同时也开创了微分方程的研究最初 牛 顿在他的著作 自然哲学的数学原理机 1687 年 中 主要研究了微 分方程在天文学中的应用 随后微积分在解决物理问题上逐步显示 出了巨大的威力 但是 随着物理学提出日益复杂的问题 就需要 更专门的技术 需要建立物理问题的数学模型 即建立反映该问题 的微分方程 1690 年 雅可比 伯努利 Jakob Bernouli 瑞士 1654 1705 提出了等时间题和悬链线问题 这是探求微分方程解的 早期工作 雅可比 伯努利自己解决了前者 翌年 约翰伯努利 Johann Bernouli 瑞士 1667 1748 莱布尼兹和惠更斯 C Huygens 荷兰 1629 1695 独立地解决了后者 有了微分方程 紧接着就是解微分方程 并对所得的结果进 行物理解释 从而预测物理过程的特定性质 所以求解就成为微分 方程的核心 但求解的困难很大 一个看似很简单的微分方程也没 有普遍适用的方法能使我们在所有的情况下得出它的解 因此 最 初人们的注意力放在某些类型的微分方程的一般解法上 1691 年 莱布尼兹给出了变量分离法 他还把一阶齐次方程 使其变量分离 1694 年 他使用了常数变易法把一阶常微分方程化 成积分 1695 年 雅可比 伯努利给出著名的伯努利方程 莱布尼兹 用变换 将其化为线性方程 约翰和雅可比给出了各自的解法 其 本质上都是变量分离法 1734 年 欧拉 L Euler 瑞士 1707 1783 给出了恰当方程 的定义 他与克莱罗 A C Clairaut 法国 1713 1765 各自找到 了方程是恰当方程的条件 并发现 若方程是恰当的 则它是可积 的 那么对非恰当方程如何求解呢 1739 年克莱罗提出了积分因子 的概念 欧拉确定了可采用积分因子的方程类属 这样 到 18 世 纪 40 年代 一阶常微分方程的初等方法都已清楚了 与此相联系 通解与特解的问题也弄清楚了 1734 年 克莱罗在他的著作中处理了现在以他的名字命名的 方程 他给出了一个新的解 从而提出了奇解的问题 奇解是不能 通过给积分常数以一个确定的值由通解来求得 欧拉 拉普拉斯 P S Laplace 法国 1749 1827 达朗贝尔 J Alembert 法国 1717 1783 都涉及奇解这个问题 然而只有拉格朗日 J Lagrange 意大利 1736 1813 对奇解与通解的联系作了系统的 研究 他给出了从通解消去常数项从而得到奇解的一般方法 但在 奇解理论中 有些特殊的困难他并没有认识到 奇解的完整理论是 19 世纪发展起来的 其中黎曼 G Riemann 德国 1826 1866 作 出了突出的贡献 1728 年 欧拉由于力学问题的推动 把一类二阶微分方程用 变量替换成一阶微分方程组 这标志着二阶方程的系统研究的开始 此后 欧拉完整地解决了常系数线性齐次方程的求解问题和非齐次 的 n 阶线性常微分方程的求解问题 拉格朗日在 1762 年至 1765 年 间又对变系数齐次线性微分方程进行了研究 在 18 世纪前半叶 常微分方程的研究重点是对初等函数施 行有限次代数运算 变量代换和不定积分把解表示出来 至 18 世 纪下半叶 数学家们又讨论了求线性常微分方程解的常数变易法和 无穷级数解法等方法 至 18 世纪末 常微分方程己发展成一个独 立的数学分支 19 世纪 柯西 A L Cauchy 法国 1789 185 刘维尔 J Liouville 法国 1809 1882 维尔斯特拉斯 K Weierstrass 德国 1815 1879 和皮卡 E Picard 法国 1865 1941 对初值问题的存在唯一性理论作了一系列研究 建立了 解的存在性的优势函数 逐次逼近等证明方法 这些方法又可应用 于高阶常微分方程和复数域中的微分方程组法国数学家庞加莱 H Poincare 1854 1912 和俄国的李雅普诺夫 Liapunov 1857 1918 共同奠定了稳定性的理论基础 自群论引入常微分方程后 使 常微分方程的研究重点转向解析理论和定性理论 19 世纪末 法国 数学家庞加莱连续发表了 4 篇文章 依赖几何拓扑直观对定性理论 进行了研究 李雅普诺夫应用十分严密的分析法又进行了研究 从 而奠定了微分方程定性理论的基础 由于行星或卫星轨道的稳定性 问题 周期解的重要性提到日程上来 西格尔 L Siegel 德国 1896 1981 创立了周期系统的线性齐次微分方程的数学理论 在 1877 年的论文中 他求出了对月球运动的诸微分方程确定一个近似 于实际观察到的运动的周期解 并证明了二阶微分 方程有周期解 20 世纪 微分方程进入了广泛深入发展阶段 随着大量的边 缘学科的产生和发展 出现了不少新型的微分方程 组 微分方程 在无线电 飞机飞行 导弹飞行 化学反应等方面得到了广泛的应 用 从而进一步促进了这一学科的发展 使之不断完善 对它的研 究也从定性上升到定量阶段 像动力系统 泛函微分方程 奇异