小升初奥数第9节：倍数与因数

1 倍数与约数 教学目的 1 让孩子了解语言的精密与数学的联系 2 掌握做题方法 教学内容教学内容 知识点 一 最大公约数与最小公倍数的常用性质一 最大公约数与最小公倍数的常用性质 1 两个自然数分别除以它们的最大公约数 所得的商互质 即若 11 aaa b bba b 则 11 1a b 2 两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积 即 a ba ba b 注 表示两个数的最大公约数 表示两个数的最小公倍数 a b a b 3 对于任意 3 个连续的自然数 如果三个连续数的奇偶性为 a 奇偶奇 那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数 例如 210 就是 567 的最小公倍数5 6 7210 b 偶奇偶 那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的 2 倍 例如 而 6 7 8 的最小公倍数为6 7 8336 3362168 二 约数个数与所有约数的和二 约数个数与所有约数的和 1 1 求任一合数约数的个数 求任一合数约数的个数 一个合数的约数的个数是在对其严格分解质因数后 将每个质因数的指数 次数 加 1 后所得的乘积 如 1400 严格分解质因数之后为 所以它的约数有 32 257 3 1 2 1 1 1 4 3 224 个 包括 1 和 1400 本身 2 2 求任一合数的所有约数的和 求任一合数的所有约数的和 一个合数的所有约数的和是在对其严格分解质因数后 将它的每个质因数依次从 1 加至这个质因数的最高 次幂求和 然后再将这些得到的和相乘 乘积便是这个合数的所有约数的和 如 所以 21000 所有约数的和为 33 2100023 57 2323 1222 1 3 1 555 1 7 74880 三 求几个分数的最小公倍数和最大公约数三 求几个分数的最小公倍数和最大公约数 1 求几个分数的最小公倍数 求一组分数的最小公倍数 先将这些分数化为最简分数 将分子的最小公倍数作为新分数的分子 将分母的 2 最大公约数作为新分数的分母 这样得到的新分数即为所求的最小公倍数 例如 求的最小公倍数 12 16 24 20 24 30 首先将 3 个分数化为最简分数 123 162 244 205 243 305 由 所以 即它们的最小公倍数是 12 3 2 4 12 5 3 5 1 12 16 2412 12 20 24 301 2 求几个分数的最大公约数 求一组分数的最大公约数 先将这些分数化为最简分数 将分子的最大公约数作为新分数的分子 将分母的 最小公倍数作为新分数的分母 这样得到的新分数即为所求的最大公约数 例如 求的最大公约数 12 16 24 20 24 30 首先将 3 个分数化为最简分数 123 162 244 205 243 305 由 所以 即它们的最大公约数是 3 2 4 1 5 3 5 15 12 16 241 20 24 3015 1 15 例题与巩固 题型一 约数的个数题型一 约数的个数 例 1 数 360 的约数有多少个 这些约数的和是多少 练习 数 28 的约数有多少个 这些约数的和是多少 例 2 A B 两数都仅含有质因数 3 和 5 它们的最大公约数是 75 已知数 A 有 12 个约数 数 B 有 10 个约数 那 么 A B 两数的和等于多少 3 练习 设 A 共有 9 个不同的约数 B 共有 6 个不同的约数 C 共有 8 个不同的约数 这三个数中的任何两个都 不整除 则这三个数之积的最小值是多少 题型二 约数的和题型二 约数的和 例 1 有 4 个不同的自然数 它们的和是 1111 它们的最大公约数最大能是多少 练习 10 个非零不同自然数的和是 1001 则它们的最大公约数的最大值是多少 例 2 两个自然数的和是 50 它们的最大公约数是 5 则这两个数的差等于多少 练习 有两个自然数 它们的和等于 297 它们的最大公约数与最小公倍数之和等于 693 这两个自然数的差等于 多少 4 题型三 最小公倍数和最大公约数题型三 最小公倍数和最大公约数 例 1 甲乙两数最小公倍数是 60 最大公约数是 6 已知甲数是 12 求乙数 练习 甲数和乙数的最大公约数是 6 最小公倍数是 90 如果甲数是 18 那么乙数是多少 例 2 已知甲数的 12 倍与乙数的 15 倍的最大公约数是 1440 那么甲数和乙数的最大公约数最小可以是多少 练习 已知自然数 A B 满足以下 2 个性质 1 A B 不互质 2 A B 的最大公约数与最小公倍数之和为 35 那么 A B 的最小值是多少 课堂练习 5 一 基础过关 一 基础过关 一个偶数 它的约数里最大的两个之和是 120 求该数是多少 二 综合提升 二 综合提升 已知 A 数有 7 个约数 B 数有 12 个约数 且 A B 的最小公倍数为 1728 求 B 的值 三 探究培优 三 探究培优 有甲乙两个数 它们的最小公倍数是甲数的 27 倍 已知甲数分别能被 2 4 6 8 10 12 14 16 整除 但不是 18 的倍数 而乙数是两位数 则乙数是多少 课后作业 一 一 综合达标训练 综合达标训练 3 个连续的自然数的最小公倍数是 9828 那么这 3 个自然数的和等于多少 6 二 二 综合提升训练 综合提升训练 a b c 是 3 个整数 a b c 的最大公约数是 15 a b 的最大公约数是 75 a b 的最小公倍数是 450 b