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第四节 一元复合函数 求导法则 本节内容 一 多元复合函数求导的链式法则 二 多元复合函数的全微分 微分法则 机动目录上页下页返回结束 多元复合函数的求导法则 第九章 1 一 多元复合函数求导的链式法则 定理 若函数 处偏导连续 在点t可导 则复合函数 证 设t取增量 t 则相应中间变量 且有链式法则 机动目录上页下页返回结束 有增量 u v 2 全导数公式 t 0时 根式前加 号 机动目录上页下页返回结束 3 若定理中 说明 例如 易知 但复合函数 偏导数连续减弱为 偏导数存在 机动目录上页下页返回结束 则定理结论不一定成立 4 推广 1 中间变量多于两个的情形 例如 2 中间变量是多元函数的情形 例如 机动目录上页下页返回结束 5 又如 注意 这里 表示固定y对x求导 表示固定v对x求导 口诀 分段用乘 分叉用加 单路全导 叉路偏导 与 不同 机动目录上页下页返回结束 6 例1 设 解 机动目录上页下页返回结束 7 例2 解 机动目录上页下页返回结束 8 例3 设 求全导数 解 注意 多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与 机动目录上页下页返回结束 验证解的问题中经常遇到 下列两个例题有助于掌握 这方面问题的求导技巧与常用导数符号 9 为简便起见 引入记号 例4 设 f具有二阶连续偏导数 求 解 令 则 机动目录上页下页返回结束 10 例5 设 二阶偏导数连续 求下列表达式在 解 已知 极坐标系下的形式 1 则 机动目录上页下页返回结束 11 题目目录上页下页返回结束 12 已知 注意利用已有公式 机动目录上页下页返回结束 13 同理可得 题目目录上页下页返回结束 14 二 多元复合函数的全微分 设函数 的全微分为 可见无论u v是自变量还是中间变量 则复合函数 都可微 其全微分表达 形式都一样 这性质叫做全微分形式不变性 机动目录上页下页返回结束 15 例1 例6 利用全微分形式不变性再解例1 解 所以 机动目录上页下页返回结束 16 内容小结 1 复合函数求导的链式法则 分段用乘 分叉用加 单路全导 叉路偏导 例如 2 全微分形式不变性 不论u v是自变量还是因变量 机动目录上页下页返回结束 17 备用题 1 已知 求 解 由 两边对x求导 得 机动目录上页下页返回结束 18 2 求 解 由题设 2001
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