条件概率教学设计

8 2 28 2 2 条件概率条件概率 一 教学目标一 教学目标 一 知识目标 在具体情境中 了解条件概率的概念 掌握条件概率的计算公式 并能运用条件概率 公式解决有关的简单概率问题 二 情感目标 创设教学情境 培养学生学习数学的良好思维习惯和兴趣 加深学生对从特殊到一般 的思想认知规律的认识 树立学生善于创新的思维品质 三 能力目标 在知识的教学过程中 培养学生从特殊到一般的探索归纳能力及运算能力和应用新知 的能力 渗透归纳 转化的数学思想方法 二 教学重点二 教学重点 条件概率的概念 条件概率公式的简单应用 三 教学难点三 教学难点 正确理解条件概率公式 并能灵活运用条件概率公式解决简单实际问题 四 教学过程四 教学过程 一 引入课题 一 引入课题 教师教师 配合多媒体演示 问题 1 掷一个骰子 求掷出的点数为 3 的概率 学生学生 回答 6 1 教师教师 引导学生一起分析 本次试验的全集 1 2 3 4 5 6 设 B 掷出点数 为 3 则 B 的基本事件数为 1 6 1 中的元素数 中的元素数 B BP 教师教师 配合多媒体演示 问题 2 掷一个骰子 已知掷出了奇数 求这个奇数是 3 的概率 学生学生 回答 3 1 教师教师 引导学生一起分析 已知掷出了奇数后 试验的可能结果只有 3 个 它们是 1 3 5 本次试验的全集改变为 A 1 3 5 这时相对于问题 1 试验的条件已经改变 设 B 掷出的点数为 3 则 B 3 这时全集 A 所含基本事件数为 3 B 所含基本事 件数为 1 则 P 已知掷出奇数的条件下 掷出 3 3 1 A 中的元素数 中的元素数B 教师教师 针对问题 2 再次设问 问题 2 与问题 1 都是求掷出奇数 3 的概率 为什么结 果不一样 学生学生 这两个问题的提法是不一样的 问题 1 是在原有条件 即掷出点数 1 2 3 4 5 6 的一切可能情形 下求得的 而问题 2 是一种新的提法 即在原有条件下还另外增加了一 个附加条件 已知掷出点数为奇数 下求得的 显然这种带附加条件的概率不同于 P A 也 不同 P A B 教师教师 归纳小结 引出条件概率的概念 问题 2 虽然也是讨论事件 B 掷出点数 3 的概率 但是却以已知事件 A 掷出奇数为前提的 这样的概率称为 A 发生条件下的 事件 B 发生的条件概率 板书课题 条件概率 二 传授新知 二 传授新知 1 形成概念 教师教师 在引入课题的基础上引出下列概念 多媒体演示 设 A B 是事件 用 P B A 表示已知 A 发生的条件下 B 发生的条件概 率 简称为条件概率 2 归纳公式 归纳公式 引例 1 多媒体演示 某校高中三个年段各派一名男生和一名女生参加市里的中学 生运动会 每人参加一个不同的项目 已知一名女生获得冠军 求高一的女生获得冠军的 概率 学生学生 口答 设 A 只有一名女生获得冠军 B 高一女生获得冠军 依题意知 已知 A 发生的条件下 A 成为试验的全集 B 是 A 的子集 A 所含元素数 为 3 B 所含元素数为 1 则 3 1 A 中元素数 中元素数B ABP 教师教师 问 P A 为多少 P A B 为多少 P A P A B P B A 之间有何关系 学生学生 口答 6 1 2 1 6 3 BAPAP AP BAP ABP 教师教师 这个式子的含义是明确的 由此 便将 P B A 表示成 P A B 与 P A 之比 这 为我们在原样本空间下完成条件概率 P B A 的计算提供了方便 那么是否其它情况下条那么是否其它情况下条 件概率仍有上述的计算公式呢 件概率仍有上述的计算公式呢 我们再看一个例子 多媒体演示 引例 2 在一副扑克的 52 张 去掉两张王牌后 中任取 1 张 已知抽 到草花的条件下 求抽到的是草花 5 的概率 学生学生 口答 设 A 抽到草花 B 抽到草花 5 依题意知 已知 A 发生的 条件下 A 成为试验的全集 A 中的元素发生的可能性相同 B 是 A 的子集 一副扑克中草花有 13 张 A 所含元素数为 13 B 所含元素数为 1 则 13 1 A 中元素数 中元素数B ABP 教师教师 本例中 P A 为多少 P A B 为多少 P B A 与 P A P A B 是否仍有上例 的关系 学生学生 由于 所以也有 52 13 AP 52 1 BAP AP BAP ABP 教师教师 综合引例综合引例 1 与引例与引例 2 我们可由特殊到一般地归纳出下列的条件概率的计算公式 我们可由特殊到一般地归纳出下列的条件概率的计算公式 多媒体演示 条件概率公式 若 多媒体演示 条件概率公式 若 P A 0 则则 AP BAP ABP 注 1 其中 P A 0 是在概率的非负性的基础上 要求 P A 0 以保证 有意义 AP BAP 2 类似地 若 P B 0 则 AP BAP ABP 3 公式的变形可得 概率的乘法公式 若 P A 0 则 P A B P A P B A 三 讲解例题 三 讲解例题 1 条件概率计算公式的应用 例 1 由人口统计资料发现 某城市居民从出生算起活到 70 岁以上的概率为 0 7 活 到 80 岁以上的概率是 0 4 若已知某人现在 70 岁 试问他能活到 80 岁的概率是多少 解析 设 A 活到 70 岁以上 B 活到 80 岁以上 则 P A 0 7 P B 0 4 又 BA P A B P B 0 4 AP BAP ABP 57 0 7 0 4 0 教师教师 在求条件概率时 要求知道两事件之积 A B 的概率 这概率或者题设已经给 出 或者隐含在其他条件中 需要对所给条件进行分析才能得到 2 上述例题是通过条件概率公式来计算条件概率 但有时候根据问题的特点可以直接 得到结果 如下面的例 2 就是这样一个典型例子 例 2 课本 P54 例 3 把一副扑克的 52 张随机均分给赵 钱 孙 李四家 A 赵 家分得的 13 张牌中有 6 张草花 B 孙家分得的 13 张牌中有 3 张草花 计算 P B A 计算 P A B 解析 四家各有 13 张牌 已知 A 发生后 A 的 13 张牌已固定 余下的 39 张牌中恰 有 7 张草花 在另三家中的分派是等可能的 问题已经转变成 39 张牌中有 7 张草花 将这 39 张牌随机分给钱 孙 李三家 求 孙家得到 3 张草花的概率 于是 278 0 13 39 10 739 3 7 CCCABP 在 52 张牌中任选 13 张牌有种不同的等可能的结果 于是中元素数 A 13 52 C 13 52 C 中元素数 利用条件概率公式得到 P A B P A P B A 7 39 6 13C C278 0 13 52 7 39 6 13 C CC 0 012 教师教师 综上各例所述我们看到 条件概率公式提供了 P A B P A P B A 三者之间的关系 三者中知二求 三 关键在于分析实际问题中已知什么 要求什么 我们也可以把条件概率问题转化为古典概型的概率问题 从而将条件概率的计 算转化为古典概型的概率的计算 如例 2 中 中元素数 中元素数 13 39 10 739 3 7 C CC B ABP 四 技能训练 四 技能训练 课本第 54 页练习 1 2 3 学生学生 设题中试验的全集 i j i j 1 2 3 4 5 6 1 A 投掷一枚骰子是偶数点 i j i 2 4 6 j 1 2 3 4 5 6 B 投掷另一枚骰子也是偶数点 i j i 1 2 6 j 2 4 6 A B i j i 2 4 6 j 2 4 6 投掷两枚骰子都是奇数点 i j i 1 3 5 j 1 3 5 A 4 3 4 1 11 1 1 6 1 6 1 3 1 3 CC CC APAP 4 1 1 6 1 6 1 3 1 3 CC CC BAP 3 1 4 3 4 1 AP BAP ABP 因此已知一枚是偶数点 另一枚也是偶数点的概率为 3 1 2 A 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 B 3 3 则 A B 3 3 P A 6 1 36 6 36 1 BAP 6 1 6 1 36 1 ABP 因此已知两枚点数相同条件下 点数都是 3 的概率为 6 1 3 A 3 3 1 5 5 1 2 4 4 2 B 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 则 A B 3 3 36 1 BAP 36 5 AP 5 1 36 5 36 1 ABP 因此已知点数和中 6 条件下两枚骰子点数相同的概率为 5 1 教师教师 引导学生得到 2 3 题的另一种解法 我们也可以用另一种观点来求 P B A 即通过转化样本空间 将 A 看着试验的全集 样本空间 在 A 中考虑满足 B 的 元素数 则有解法 2 2 3 6 1 A 中元素数 中元素数B ABP 5 1 A 中元素数 中元素数B ABP 五 课堂小结 五 课堂小结 1 条件概率是指在已知事件 A 发生的条件下 事件 B 发生的概率 2 求条件概率的方法有两种 一是利用条件概率公式即先分别求 P A 和 P A B 再用公式 来计算 AP BAP ABP 二是转化为概率 即 1 把 A 看着试验的全集 样本空间 从而把 P B A 转化为新 样本空间 A 下的概率 再用公式直接得到结果 如练习 2 中元素数 中元素数 A B ABP 3 的解法 3 把条件概率问题直接转化为古典概型的问题求解 如例 2 课本 P54 例 3 的第 题 六 思维与拓展 六 思维与拓展 1 两台车床加工同一种零件共 100 个 结果如下表 正品数次品数总计 第一台车床加工数35540 第二台车床加工数501060 总 计8515100 设 A 从 100 个零件中任取一个是正品 B 从 100 个零件中任取一个是第一台 车床加工的 求 P A B 和 ABP 解析 100 85 AP 100 40 BP 100 35 BAP 100 15 AP 100 5 BAP 875 0 40 35 BP BAP BAP 333 0 15 5 AP BAP ABP 2 P A P A B 对吗 解析 一般说来 P A 与 P A B 之间并没有什么必然的关系 事实上 事件 B 已经发 生 这一条件可能使 P A B 比 P A 大 也可能使 P A B 比 P A 小 还可能 P A B P A 但是如果 A B 之间存在一些特