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第三章常见曲面 本章的讨论均在右手直角坐标系中进行 1球面和旋转面 1 1球面的普通方程 其中 3 1 球心为 半径为的球面的方程 3 2 式没有交叉项 平方项系数相同 反之 形如 3 2 的方程在时表示一个球面 时表示一个点 而时表示虚球面 1 2球面的参数方程 点的球面坐标 1 如果球心在原点 半径为 在球面上任取一点 从作面的垂线 垂足为 连 设轴到的角度为 到的角度为 3 3 3 3 称为球心在原点 半径为的球面的参数方程 有两个参数其中称为经度 称为纬度 2 除z轴外 空间中的任一点都可由有序三元组唯一确定 我们称该三元组为空间中点的球面坐标 或空间极坐标 1 3曲面和曲线的普通方程 参数方程 1 从球面的普通方程 3 2 和参数方程 3 3 可看到 一般来说 曲面的普通方程是一个三元方程 曲面的参数方程是含两个参数的方程 其中 对于的每一对值 由 3 5 确定的点在此曲面上 而此曲面上任一点的坐标都可以由的某一对值通过 3 5 表示 于是通过曲面的参数方程 3 5 曲面上的点 可能要除去个别点 便可以由数对来确定 因此称为曲面上点的曲纹坐标 2 空间中曲线的普通方程可表为两个三元方程的联立方程组 即空间中曲线可以看成是两个曲面的交线 曲线的参数方程是含有一个参数的方程 3 例球面与平面相交所得的圆的普通方程为 而这个圆的参数方程是 1 4旋转面 球面可以看成是一个半圆绕它的直径旋转一周所形成的曲面 现在来研究更一般的情形 1 定义3 1一条曲线绕一条直线旋转所得的曲面称为旋转面 称为轴 称为母线 母线上每个点绕旋转一周得到一个圆 称为纬圆 它与轴l垂直 过轴的半平面与旋转面的交线称为经线 或子午线 经线可以是母线 但母线不一定是经线 点在旋转面上的充分必要条件是在经过母线上某一点的纬圆上 如图3 2 因此有 从这个方程组中消去参数 就得到的方程 它就是所求旋转面的方程 3 现在设旋转轴为轴 母线在平面上 方程为 则点在旋转面上的充分必要条件是 消去参数 得 这个曲面称为旋转抛物面 如图3 3 这个曲面称为旋转双叶双曲面 如图3 4 绕y轴旋转所得曲面的方程为 这个曲面称为旋转单叶双曲面 如图3 5 即 这个曲面称为环面 如图3 6 7 例3 4设和是两条异面直线 它们不垂直 求绕旋转所得曲面的方程 解设和的距离为 以为z轴 以和的公垂线为x轴 并且设与轴x的交点为 建立一个右手直角坐标系 设的方向向量为 因为与x轴垂直 所以 得 因为异面 所以 于是 因此可设v的坐标为 因为与不垂直 所以 于是 因此 的参数方程为 点M x y z 在旋转面上的充要条件是 消去参数 得 即 这是一个旋转单叶双曲面 作业 1 复习第3章第1节 2 P80 2 3 4
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