导数及其应用复习

第 1 页 共 5 页 20122012 版高三数学精品复习学案 版高三数学精品复习学案 导数及其应用导数及其应用 知识回顾知识回顾 1 导数的概念 函数 如果自变量在处有增量 那么函数相应地有增量 yf x x 0 xx yy 00 f xxf x A 比值叫做函数在到之间的平均变化率 即 如果当 x y yf x 0 x 0 xx A x y x xfxxf 00 时 有极限 我们就说函数在点处可导 把这个极限叫做在点处的导数 记0 x x y yf x 0 x f x 0 x 作或 即 0 fx y 0 xx 0 fx 0 lim x x y 0 lim x x xfxxf 00 2 导数的几何意义 函数在点处的导数的几何意义是曲线在点处的切线的斜率 yf x 0 x yf x 00 P xf x 也就是说 曲线在点处的切线的斜率是 相应地 切线方程为 yf x 00 P xf x 0 fx 000 yyfxxx 3 几种常见函数的导数 0 C 1 nn xnx sin cosxx cos sinxx xx ee ln xx aaa 1 ln x x 1 l g ln a ox xa 4 两个函数的和 差 积的求导法则 法则法则 1 1 两个函数的和 两个函数的和 或差或差 的导数的导数 等于这两个函数的导数的和等于这两个函数的导数的和 或差或差 即 vuvu 法则法则 2 2 两个函数的积的导数 两个函数的积的导数 等于第一个函数的导数乘以第二个函数等于第一个函数的导数乘以第二个函数 加上第一个函数乘以第二个函数的导数 加上第一个函数乘以第二个函数的导数 即 即 uvvuuv 若 C 为常数 则 即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数 0 CuCuCuuCCu 法则法则 3 3 两个函数的商的导数 等于分子的导数与分母的积 减去分母的导数与分子的积 再除以分母的平方 两个函数的商的导数 等于分子的导数与分母的积 减去分母的导数与分子的积 再除以分母的平方 u v 2 v uvvu 0v 5 单调区间 一般地 设函数在某个区间可导 xfy 1 如果 则为增函数 2 如果 则为减函数 f x0 xf f0 x xf 3 如果在某区间内恒有 则为常数 f0 x xf 6 极值点与极值 曲线在极值点处切线的斜率为 0 极值点处的导数为 0 曲线在极大值点左侧切线的斜率为正 右侧为负 曲线在极小值点左侧切线的斜率为负 右侧为正 第 2 页 共 5 页 7 函数的最值 一般地 在区间上连续的函数在上必有最大值与最小值 a b xf a b 求函数在内的极值 求函数在区间端点的值 xf a b xf f a f b 将函数的各极值与 比较 其中最大的是最大值 其中最小的是最小值 xf f a f b 方法突破方法突破 1 1 导数的运算 导数的运算 例 1 1 已知函数 且 2 则的值为 2 f xaxc 1 f a 2 已知函数 则 cossin 4 f xfxx 4 f 2 2 导数的几何意义 导数的几何意义 例 2 1 曲线在点处的切线方程为 2 x y x 1 1 2 设曲线在点处的切线与直线平行 则 2 yax 1 a260 xy a 3 3 利用导数研究函数的图像利用导数研究函数的图像 例 3 若函数 yf x 的导函数在区间 a b上是增函数 则 yf x 在区间 a b上的图象可能是 A B C D 4 4 利用导数解决函数的单调性问题利用导数解决函数的单调性问题 例 4 已知函数 32 1f xxaxx a R 讨论函数的单调区间 设函数在区间内是减函数 求的取值范围 f x f x 21 33 a ababa o x o x y ba o x y o x y b y 第 3 页 共 5 页 5 5 利用导数解决函数的极值问题利用导数解决函数的极值问题 例 5 设函数 32 23 1 1 1 f xxaxa xR 求的单调区间 讨论的极值 f x f x 6 6 利用导数解决函数的最值问题利用导数解决函数的最值问题 例 6 设函数 lnln 2 0 f xxxax a 时 求的单调区间 在 0 1 上的最大值为 求的值1a f x f x 1 2 a 7 7 利用导数解决实际问题利用导数解决实际问题 例 7 用长为 18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架 要求长方体的长与宽之比为 2 1 问该长方体的长 宽 高各为多少时 其体积最大 最大体积是多少 巩固训练巩固训练 1 一个物体的运动方程为其中的单位是米 的单位是秒 那么物体在秒末的瞬时速度是 2 1tts st3 A 米 秒 B 米 秒 C 米 秒 D 米 秒7658 2 函数的递增区间是 3 yxx A B C D 0 1 1 3 函数在区间上的最小值为 34 4 xxy 2 3 A B C D 7236120 第 4 页 共 5 页 4 设为曲线 上的点 且曲线在点处切线倾斜角的取值范围为 则点横坐PC 2 23yxx CP0 4 P 标的取值范围为 A B C D 1 1 2 10 01 1 1 2 5 若 则的值等于 32 32f xaxx 1 4f a 6 函数的导数为 若 则的值为 sin x y x 3 0 3f xxfx 0 x 7 曲线在点 处的切线倾斜角为 xxy4 3 1 3 8 曲线在点处的切线的斜率是 切线的方程为 xyln 1 M e 9 已知函数在 R 上有两个极值点 则实数的取值范围是 3 f xxax a 10 08 江苏卷 直线是曲线的一条切线 则实数 b 的值为 bxy 2 1 ln 0 yx x 11 09 江苏卷 函数的单调减区间为 32 15336f xxxx 12 07 江苏卷 已知函数在区间上的最大值与最小值分别为 3 128f xxx 3 3 M m 则 Mm 13 07 江苏卷 已知二次函数的导数为 对于任意实数都有 2 f xaxbxc fx 0 0f x 则的最小值为 0f x 1 0 f f 14 2010 江苏卷 函数的图像在点处的切线与轴交点的横坐标为 为正整数 2 0 yxx 2 kk a ax 1k a k 若 则 1 16a 135 aaa 15 设曲线在点处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 令 1 n yxnN 1 1 n xlg nn ax 则 a1 a2 a99的值为 16 设曲线在处的切线与轴交点的纵坐标为 则数列的前项和是 1 n yxx nN 2x y n a 1 n a n n 17 08 江苏卷 对于总有成立 则 13 3 xaxxf 1 1 x0 xfa 18 2011 江苏卷 在直角坐标系中 已知点 P 是函数的图象上的动点 该图象在 P 处xOy 0 xexf x 的切线 交 y 轴于点 M 过点 P 作 的垂线交 y 轴于点 N 设线段 MN 的中点的纵坐标为 则 的最大值是lltt 19 函数的定义域为开区间 导函数在内的图象如图所示 xf ba x f ba 则函数在开区间内有极小值点有 个 xf ba a b x y xfy O a b x y xfy O 第 5 页 共 5 页 20 函数在区间上是减函数 在区间上是增函数 求实数的取值范 11 2 1 3 1 23 xaaxxxf 4 1 6a 围 21 求函数在区间上的最大值与最小值 543 551f xxxx 4 1 22 设函数 f x x3 3ax b a 0 1 若曲线 y f x 在点 2 f 2 处与直线 y 8 相切 求 a b 的值 2 求函数 f x 的单调区间与极值点 2