湘教版数学七年级下册期末知识点复习+各章节培优题

七年级下册总复习七年级下册总复习 第一章第一章 二元一次方程二元一次方程 知识点归纳知识点归纳 1 含有 个未知数 并且 项的次数都是 的方程叫做二元一次方程 2 把 个含有 未知数的二元一次方程 或者一个二元一次方程 一个一元一次方程 联立起来组 成的方程组 叫做二元一次方程组 3 在一个二元一次方程组中 使每一个方程 两边的值都 的一组未知数的值 叫做这个二元一次 方程组的解 4 由二元一次方程组中的一个方程的某一个未知数用含有 的代数式表示 再代入另一方程 便得到 一个一元一次方程 这种解方程组的方法叫做 消元法 简称代入法 5 两个二元一次方程中同一未知数的系数 或 时 把这两个方程相减或相加 就能消去这个未知数 从 而得到一个一元一次方程 这种解方程组的方法叫做 消元法 简称加减法 6 列二元一次方程组解决实际问题的关键是寻找 典型例题 1 已知方程组 甲同学正确解得 而乙同学粗心 把 c 给看错了 解得 求 abc 的值 2 已知关于 x y 的方程组的解是 求关于 x y 的方程组的解 3 先阅读 然后解方程组 解方程组时 可由 得 x y 1 然后再将 代入 得 4 1 y 5 求得 y 1 从而进一步求得这种方法被称为 整体代入法 请用这样的方法解方程组 4 阅读下列解方程组的方法 然后回答问题 解方程组 解 由 得 2x 2y 2 即 x y 1 16 得 16x 16y 16 得 x 1 从而可得 y 2 方程组的解是 1 请你仿上面的解法解方程组 2 猜测关于 x y 的方程组的解是什么 并利用方程组的解加以验证 5 南山植物园以其优美独特的自然植物景观 现已成为重庆市民春游踏青 赏四季花卉 观山城夜景的重要旅游景 区 若该植物园中现有 A B 两个园区 已知 A 园区为矩形 长为 x y 米 宽为 x y 米 B 园区为正方形 边 长为 x 3y 米 1 请用代数式表示 A B 两园区的面积之和并化简 2 现根据实际需要对 A 园区进行整改 长增加 11x y 米 宽减少 CD 投入 元 平方米 1316 收益 元 平方米 1826 x 2y 米 整改后 A 区的长比宽多 350 米 且整改后两园区的周长之和为 980 米 若 A 园区全部种植 C 种花 B 园 区全部种植 D 种花 且 C D 两种花投入的费用与吸引游客的收益如下表 求整改后 A B 两园区旅游的净收益之 和 净收益 收益 投入 6 江海化工厂计划生产甲 乙两种季节性产品 在春季中 甲种产品售价 50 千元 件 乙种产品售价 30 千元 件 生 产这两种产品需要 A B 两种原料 生产甲产品需要 A 种原料 4 吨 件 B 种原料 2 吨 件 生产乙产品需要 A 种原料 3 吨 件 B 种原料 1 吨 件 每个季节该厂能获得 A 种原料 120 吨 B 种原料 50 吨 1 如何安排生产 才能恰好使两种原料全部用完 此时总产值是多少万元 2 在夏季中甲种产品售价上涨 10 而乙种产品下降 10 并且要求甲种产品比乙种产品多生产 25 件 问如何安 排甲 乙两种产品 使总产值是 1375 千元 A B 两种原料还剩下多少吨 7 小明从家到学校的路程为 3 3 千米 其中有一段上坡路 平路 和下坡路 如果保持上坡路每小时行 3 千米 平路 每小时行 4 千米 下坡路每小时行 5 千米 那么小明从家到学校用一个小时 从学校到家要 44 分钟 求小明家到学 校上坡路 平路 下坡路各是多少千米 第二章第二章 整式的乘法整式的乘法 知识点归纳知识点归纳 1 同底数幂相乘 不变 相加 an am m n 是正整数 2 幂的乘方 不变 相乘 an m m n 是正整数 3 积的乘方 等于把 再把所得的幂 ab n n 是正整数 4 单项式与单项式相乘 把它们的 分别相乘 5 单项式与多项式相乘 先用单项式 再把所得的积 a m n 6 多项式与多项式相乘 先用一个多项式的每一项分别乘 再把所得的积 a b m n 7 平方差公式 即两个数的 与这两个数的 的积等于这两个数的平方差 a b a b 8 完全平方公式 即两数和 或差 的平方 等于它们的 加 或减 它们的积的 a b 2 a b 2 9 公式的灵活变形 a b 2 a b 2 a b 2 a b 2 a2 b2 a b 2 a2 b2 a b 2 a b 2 a b 2 a b 2 a b 2 典型例题 1 已知 2a 5b 2c 5d 10 求证 a 1 d 1 b 1 c 1 2 1 已知 2x 2 a 用含 a 的代数式表示 2x 2 已知 x 3m 2 y 9m 3m 试用含 x 的代数式表示 y 3 我们知道多项式的乘法可以利用图形的面积进行解释 如 2a b a b 2a2 3ab b2就能用图 1 或图 2 等图形的 面积表示 1 请你写出图 3 所表示的一个等式 2 试画出一个图形 使它的面积能表示 a b a 3b a2 4ab 3b2 11 归纳与猜想 1 计算 x 1 x 1 x 1 x2 x 1 x 1 x3 x2 x 1 2 根据以上结果 写出下列各式的结果 x 1 x6 x5 x4 x3 x2 x 1 x 1 x9 x8 x7 x6 x5 x4 x3 x2 x 1 3 x 1 xn 1 xn 2 xn 3 x2 x 1 n 为整数 4 若 x 1 m x15 1 则 m 5 根据猜想的规律 计算 226 225 2 1 12 认真阅读材料 然后回答问题 我们初中学习了多项式的运算法则 相应的 我们可以计算出 多项式的展开式 如 a b 1 a b a b 2 a2 2ab b2 a b 3 a b 2 a b a3 3a2b 3ab2 b3 下面我们依次对 a b n展开式的各项系数进一步研究发现 n 取正整数时可以单独列成表中的形式 上面的多项式展开系数表称为 杨辉三角形 仔细观察 杨辉三角形 用你发现的规律回答下列问题 1 多项式 a b n的展开式是一个几次几项式 并预测第三项的系数 2 推断出多项式 a b n n 取正整数 的展开式的各项系数之和为 S 结果用含字母 n 的代数式表示 13 观察下列各式 x 1 x 1 1 x2 1 x 1 x 1 x3 1 x 1 x2 x 1 x4 1 x 1 x3 x2 x 1 1 根据上面各式的规律可得 xn 1 1 x 1 2 利用 1 的结论求 22015 22014 2 1 的值 3 若 1 x x2 x2015 0 求 x2016的值 第第 3 3 章章 因式分解因式分解 知识点归纳知识点归纳 1 把一个多项式表示成若干个 的形式 称为把这个多项式因式分解 因式分解三注意 1 乘积形式 2 恒 等变形 3 分解彻底 2 几个多项式的 称为它们的公因式 3 如果一个多项式的各项有公因式 可以把这个公因式提到 外面 这种把多项式因式分解的方法叫做提公 因式法 am an a 4 找公因式的方法 找公因式的系数 取各项系数绝对值的 确定公因式的字母 取各项中的相同字母 相同字母的 的 5 把乘法公式从右到左的使用 把某些形式的多项式进行因式分解的方法叫做公式法 a2 b2 a2 2ab b2 a2 2ab b2 典型例题 1 仔细阅读下面例题 解答问题 例题 已知二次三项式 x2 4x m 有一个因式是 x 3 求另一个因式以及 m 的值 解 设另一个因式为 x n 得 x2 4x m x 3 x n 则 x2 4x m x2 n 3 x 3n 解得 n 7 m 21 另一个因式为 x 7 m 的值为 21 仿照以上方法解答下面问题 已知二次三项式 2x2 3x k 有一个因式是 2x 5 求另一个因式以及 k 的值 2 阅读下列因式分解的过程 再回答所提出的问题 1 x x x 1 x x 1 2 1 x 1 x x x 1 1 x 2 1 x 1 x 3 1 上述分解因式的方法是 共应用了 次 2 若分解 1 x x x 1 x x 1 2 x x 1 2004 则需应用上述方法 次 结果是 3 分解因式 1 x x x 1 x x 1 2 x x 1 n n 为正整数 3 已知乘法公式 a5 b5 a b a4 a3b a2b2 ab3 b4 a5 b5 a b a4 a3b a2b2 ab3 b4 利用或者不利用上述公式 分解因式 x8 x6 x4 x2 1 4 先化简 再求值 其中17 332 22491233xyxyx yxyxyxy 1 2 3 xy 5 已知能被整除 其商式为 求 m n 的值 32 3121710 xxx 2 2mxmx 5xn 6 已知 a b c 分别为 ABC 的三边 你能判断的符号吗 2 22222 4abca b 第四章第四章 相交线与平行线相交线与平行线 知识点归纳知识点归纳 1 同一平面内的两条直线有 或平行 三种位置关系 2 在同一平面内 没有 的两条直线叫做平行线 记作 a b 3 过直线外一点有 直线与这条直线平行 4 平行于同一条直线的两条直线 平行线的 性 5 有共同的 其中一角的两边分别是另一角的两边的 线 这样的两个角叫做对顶角 对顶角 两条直线相交 有 2 对对顶角 n 条直线相交于一点 有 n n 1 对对顶角 6 同位角 在 三线八角 中 位置相同的角 在 同一侧的角 是同位角 7 内错角 在 三线八角 中 夹在两直线 位置 角 是内错角 8 同旁内角 在 三线八角 中 夹在两直线 在第三条直线 的角 是同旁内角 9 平移不改变图形的 和 不改变直线的 一个图形和它经过平移所得的图形中 两组对应 点的连线 或在同一直线上 10 平行线的性质 1 两直线平行 角相等 2 直线平行 相等 3 两直线平行 角互补 11 平行线的判定 1 角相等 两直线平行 2 角相等 两直线平行 3 角互补 两直线平 行 12 两条直线相交所成的四个角中 有一个角是 角时 这两条直线叫做互相垂直 它们的交点叫做 13 在同一平面内 垂直于同一直线的两条直线 14 在同一平面内 如果一条直线垂直于两条平行线中的一条 那么这条直线垂直于 15 在同一平面内 过一点 一条直线与已知直线垂直 16 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中 最短 从直线外一点到这条直线的 的长度 叫 做点到直线的距离 17 两条平行线的所有 都相等 两条平行线的公垂线段的 叫做两条平行线间的距离 典型例题 1 如图 直线 AE 与 CD 相交于点 B 射线 BF 平分 ABC 射线 BG 在 ABD 内 1 若 DBE 的补角是它的余角的 3 倍 求 DBE 的度数 2 在 1 的件下 若 DBG ABG 33 求 ABG 的度数 3 若 FBG 100 求 ABG 和 DBG 的度数的差 2 数学思考 1 如图 1 已知 AB CD 探究下面图形中 APC 和 PAB PCD 的关系 并证明你的结论 推广延伸 2 如图 2 已知 AA1 BA1 请你猜想 A1 B1 B2 A2 A3的关系 并证明你的猜想 如图 3 已知 AA1 BAn 直接写出 A1 B1 B2 A2 Bn 1 An的关系 拓展应用 3 如图 4 所示 若 AB EF 用含 的式子表示 x 应为 A 180 B 180 C D 如图 5 AB CD 且 AFE 40 FGH 90 HMN 30 CNP 50 请你根据上述结论直接写出 GHM 的度 数是 3 已知 直线 AB DC 点 P 为平面上一点 连接 AP 与 CP 1 如图 1 点 P 在直线 AB CD 之间 当 BAP 60 DCP 20 时 求 APC 2 如图 2 点 P 在直线 AB CD 之间 BAP 与 DCP 的角平分线相交于点 K 写出 AKC 与 APC 之间的数 量关系 并说明理由 3 如图 3 点 P 落在 CD 外 BAP 与 DCP 的角平分线相交于点 K AKC 与 APC 有何数量关系 说明理 由 4 已知 AM CN 点 B 为平面内一点 AB BC 于 B 1 如图 1 直接写出 A 和 C 之间的数量关系 2 如图 2 过点 B 作 BD AM 于点 D 求证 ABD C 5 已知 MON 132 射线 OC 是 MON 内一条射线 且 CON MOC 59 度 问 OM 与 OC 是否垂直 并说明理由 6 一张白纸上有三条直线 已知直线 a 平行于直线 b 直线 b 平行于直线 c 且直线 a 与直线 b 之间的距离为 3 厘米 直线 b 与直线 c 之间的距离是 5 厘米 那么直线 a 与直线 c 之间的距离是几厘米 第第 5 5 章章 轴对称图形轴对称图形 知识点归纳知识点归纳 1 轴对称图形 如果一个图形沿一条直线 直线两侧的部分能够 那么这个图形叫做轴对称图形 这条直线叫做它的 等腰三角形有 条对称轴 等边三角形有 条对称轴 长方形有 条对称轴 正方形有 条对称轴 圆有 条对称轴 2 轴对称变换不改变图形的 和 含长度 角度 面积等 3 成轴对称的两个图形中 对应点的连线被对称轴 4 一个图形和它经过旋转所得到的图形中 对应点到旋转中心的 相等 两组对应点分别与旋转中心的连线 所成的 相等 旋转不改变图形的 和 典型例题 1 如图所示 在平面直角坐标系中 一颗棋子从点 P 处开始依次关于点 A B C 作循 环对称跳动 即第一次从点 P 跳到关于点 A 的对称点 M 处 第二次从点 M 跳到关于点 B 的对称点 N 处 第三次从点 N 跳到关于点 C 的对称点处 如此下去 1 在图中标出点 M N 的位置 并分别写出点 M N 的坐标 2 依次连接 M N 和第三次跳后的点 组成一个封闭的图形 并计算这个图形的面 积 3 猜想一下 经过第 2009 次跳动之后 棋子将落到什么位置 2 将两块全等的含 30 角的直角三角板按图 1 的 方式放置 已知 BAC B1A1C 30 AB 2BC 1 固定三角板 A1B1C 然后将三角板 ABC 绕 点 C 顺时针方向旋转至图 2 的位置 AB 与 A1C A1B1分别交于点 D E AC 与 A1B1交于点 F 填空 当旋转角等于 20 时 BCB1 度 当旋转角等于多少度时 AB 与 A1B1垂直 请说明理由 2 将图 2 中的三角板 ABC 绕点 C 顺时针方向旋转至图 3 的位置 使 AB CB1 AB 与 A1C 交于点 D 试说明 A1D CD 3 世界数学家大会于 2002 年在北京举办 大会的会标如图所示 它是由四个全等的直角三角形围成的 弦图 请你 按要求拼图和设计图案 每个直角三角形的顶点均在方格纸的格点上 每个直角三角形按原来的尺寸画 且互不 重叠 五个图案互不全等 且不与图 1 全等 1 拼图游戏 应用你所学过的图形变换的知识 将四个直角三角形通过平移 旋转 翻折等方法 拼成以下方格 纸中要求的四边形 2 设计图案 用四个直角三角形在下列方格纸中按要求设计另外不同的图案 设计一个既是轴对称图形 设计一个是中心对称图形 又是中心对称图形的图案 但不是轴对称图形的图案 第六章第六章 数据的分析数据的分析 知识点归纳知识点归纳 1 加权平均数 权数之和为 2 中位数 把一组数据按 顺序排列 如果数据的个数是 数 位于 的数称为这组数据的中位数 如果数据的个数是 数 位于中间的两个数的 数称为这组数据的中位数 3 众数 一组数据中 出现 的数 4 方差 一组数据中 各数据与其 之差的平方的 值 即 S2 典型例题 1 某地区初中毕业综合成绩按社会实践 考试成绩 体育测试三项分别占 40 40 20 进行计算 毕业综合成绩 达 80 分以上 包括 80 分 为 优秀毕业生 1 下表是朝阳中学小聪 小亮两位同学的毕业综合成绩 统计表 单位 分 计算并填写表中小聪 小亮两位同学的毕业综合成绩 回答小聪和小亮谁能达到 优秀毕业生 水平 2 小亮绘制了一个不完整的该校去年 300 名学生毕业综合成绩优秀 良好 合格 不合格人数的扇形统计图 如 图 根据图中提供的信息回答 扇形统计图中 不合格率 是多少 表示 良