奥赛天天练(填三阶幻方)

奥赛天天练 第 25 讲 巧填幻方 概念 概念 如果一个 n n 矩阵 教材中表现为方格图 的每行 每列及两条对 角线的元素之和都相等 且这些元素都是从 1 到 n n 的自然数 这样的矩阵就 称为 n 阶幻方 有关幻方问题的研究在我国已流传了两千多年 这是一类形式 独特的填数字问题 本讲主要介绍比较简单的三阶幻方的填写 三阶幻方就是 n 3 时的幻方 三阶幻方的填法 三阶幻方的填法 三阶幻方传说最早出现在夏禹时代的 洛书 在北周 的甄弯注 数术记遗 一书中记有三阶幻方的填法 九宫者 二四为肩 六八九宫者 二四为肩 六八 为足 左七右三 戴九履一 五居中央 为足 左七右三 戴九履一 五居中央 三阶幻方的构造方法 三阶幻方的构造方法 我国南宋时期杰出的数学家杨辉 是最早系统研究 幻方的数学家 他曾将幻方命名为 纵横图 三阶幻方也叫络书或九宫图 并给出了三阶 四阶幻方构造方法的说明 四阶以上幻方 杨辉只画出图形而 未留下作法 但他所画的五阶 六阶乃至十阶幻方全都准确无误 杨辉在在 续古摘奇算法 中 总结出了三阶幻方构造的方法 九子斜排 上下对易 九子斜排 上下对易 左右相更 四维挺出 左右相更 四维挺出 意思是 先把 l 9 九个数依次斜排 如下图一 再 把上 l 下 9 两数对调 如下图二 左 7 右 3 两数对调 如下图三 最后把 四面的 2 4 6 8 向外面挺出 如下图四 这样就构造了一个三阶幻方 1 1 9 9 9 9 4 4 2 2 4 4 2 2 4 4 2 2 4 4 9 9 2 2 7 7 5 5 3 3 3 3 5 5 7 7 3 3 5 5 7 7 3 3 5 5 7 7 8 8 6 6 8 8 6 6 8 8 6 6 8 8 1 1 6 6 9 9 1 1 1 1 图一 图二 图三 图四 三阶幻方的填法不是唯一的 矩阵的第一行与第三行对调 或第一列与第 三列对调 可以得出 4 种填法 将其中的任意一种填法旋转 90 又可以得到 另外的 4 种填法 例如 将上面图四的第一列与第三列对调 就可以得出前面 口诀中的填法 三阶幻方的构造原理 三阶幻方的构造原理 通常我们把幻方中每行 3 个数的和称为幻方的幻和 幻方正中心的那个数叫做中心数 中心数也就是这 9 个数的中位数 从 1 到 9 这 9 个数的和为 1 2 3 8 9 45 则三阶幻方每行 3 个数字之和即幻和为 45 3 15 在 1 到 9 这 9 个数中 和为 15 的 3 个数 只能是 9 5 1 9 4 2 8 6 1 8 5 2 8 4 3 7 6 2 7 5 3 6 5 4 因此每行 每列 每条对角 线上 3 个数只能是其中某个算式中的 3 个数 仔细分析九宫格 经过中心数的有一行 一列和两条对角线 即这个数必 须在 4 个不同的算式中出现 在上面的算式中只有 5 符合要求 同理 经过九 宫格四个角上的数字都有一行 一列和一条对角线 即四个角上的数字必须同 时在 3 个不同的算式中出现 只有 2 4 6 8 符合要求 先填好中心数和四个 角上数字 再完成其它填空 就完成幻方填写了 幻方不仅是有趣的数学游戏 而且有很重要的实用价值 应用前景广泛 相关介绍请查阅 user3 4092 archives 2010 71922 shtml 在教学时 可引导孩子发现三阶幻方中数字有趣的排列顺序 如四个偶数 在四角 从某个方向看奇偶数的是按大小有序排列的等等 让孩子在了解构造 方法的基础上熟记简单三阶幻方的填法口诀 填写三阶幻方的 9 个数 不论如 何变化 只要将它们按大小的顺序排列编号 均可按口诀 对号入座 完成填 空 理解并掌握幻方中的两个公式 幻和 中心数 3 幻和 总数 3 可以在 已知幻和的情况下 先求出中心数 或在已知中心数的情况下 先求出幻和 以便继续求出其它的数 让孩子初步了解幻方的构造原理 这种推理方法在学 习其它问题时可以迁移使用 奥赛天天练奥赛天天练 第第 2525 讲 模仿训练 练习讲 模仿训练 练习 2 2 题目题目 将下面左边方格中的 9 个数填入右边幻方中 使每一行 每一列 每条对 角线中的三个数相加的和相等 解析解析 解法一 解法一 把这九个数按从小到大的顺序依次编号 1 2 3 号为 6 4 5 6 号为 8 7 8 9 号为 10 按口诀 九宫者 二四为肩 六八为 足 左七右三 戴九履一 五居中央 对号入座 如下图可以填好表格 解法二 解法二 这个三阶幻方的幻和为 10 8 6 24 中心数为 24 3 8 如上 图 首先可以填好中心数 8 因为幻和为 24 任意行列如果有 2 个 6 3 个数的 和必定小于 24 所以任意行列不可能有 2 个 6 根据这点 第二步可以确定 3 个 6 的位置 保证任意 2 个 6 不同行不同列 不在同一条对角线上 第三步根 据已填好的四个数 及幻和为 24 可以完成余下的填空 奥赛天天练奥赛天天练 第第 2525 讲 巩固训练 习题讲 巩固训练 习题 1 1 题目题目 将 9 个连续自然数填入 3 3 的方格内 使每一横行 每一竖行及两条对角 线的 3 个数之和都等于 60 解析解析 由已知条件可知 这个幻方 幻和为 60 中心数为 60 3 20 所以这 9 个连续的自然数为 16 17 18 19 20 21 22 23 24 把这九个数按从 小到大的顺序依次编号 按口诀对号入座 可完成表格 如下图 奥赛天天练奥赛天天练 第第 2525 讲 巩固训练 习题讲 巩固训练 习题 2 2 题目题目 下图中 要使每一行 每一列 两条对角线上三个数的和都是 27 A B C D E F G 应各是多少 解析解析 由题意可知 幻和为 27 中心数为 27 3 9 所以 C 等于 9 填好中心数 后 根据幻和 可以用蚕食的方法依次求出其它方格里的数 D 27 6 9 12 G 27 5 12 10 A 27 10 9 8 B 27 8 5 14 E 27 6 8 13 F 27 9 14 4 答案 图略 奥赛天天练奥赛天天练 第第 2525 讲 拓展提高 习题讲 拓展提高 习题 1 1 题目题目 在下面一个三阶幻方中已填入了一个数 请在其它 8 个空格内填上适当的 数 使得 9 个方格内是 9 个连续自然数 解析解析 由已知条件可知 这个幻方的中心数为 12 所以这 9 个连续的自然数为 8 9 10 11 12 13 14 15 16 把这九个数按从小到大的顺序依次编号 按口诀对号入座 可完成表格 如下图 奥赛天天练奥赛天天练 第第 2525 讲 拓展提高 习题讲 拓展提高 习题 2 2 题目题目 在下面两个图形中的空格内填入不大于 15 且互不相同的自然数 其中已各 填好一个数 使每一横行 每一竖行及两条对角线的 3 个数之和都等于 30 解析解析 由题意可知 幻和为 30 中心数为 30 3 10 如下图 可以分别填好两 个方格图中的一条对角线 因为中心数是 10 经过中心数每一组另外两个数必 须一个大于 10 一个小于 10 所以两个方格图中剩下 6 个数中有 3 个数大于 1 0 且不大于 15 题目左图中 大于 10 的数可能是 11 13 14 15 数字 14 如果和 8 同行 列 14 8 8 30 8 重复出现与题意不符 如果数字 14 与 12 同行列 14 12 4 30 而 4 10 16 30 必须出现 16 与题意不符 所以 左图中大于 10 的三个 数只能是 11 13 15 剩下的 3 个数是 9 7 5 通过尝试检验 或 对号 入座 可以完成表格 如上图一 同理 题目右图中大于 10 的数可能是 11 12 13