高等数学ppt课件.ppt

书名 高等数学 上 ISBN 978 7 111 30309 1作者 陶金瑞出版社 机械工业出版社本书配有电子课件 高等数学 上 高职高专ppt课件 1 第二章导数与微分 学习目标 1 理解导数与微分概念的意义 2 能熟练计算初等函数的导数与微分 高等数学 高等数学 上 高职高专ppt课件 2 导数的概念 求导法则和基本求导公式 函数的微分 隐函数和由参数方程所确定函数的导数 高阶导数 主要内容 高等数学 上 高职高专ppt课件 3 一 两个实例 1 变速直线运动的瞬时速度 自由落体运动 第一节导数的概念 第二步 求 第三步 求 第一步 求 高等数学 上 高职高专ppt课件 4 在曲线上任取不同于M0点的一点M 作割线M0M 当点M沿着曲线移动并趋于M0点时 割线就以点M0为轴转动 割线M0M的极限位置M0T就叫做曲线在点M0处的切线 点M0叫做切点 曲线切线的定义 高等数学 上 高职高专ppt课件 5 第一步 求 第二步 求 第三步 求 切线斜率的求法 高等数学 上 高职高专ppt课件 6 二 导数的定义 设函数 在点 及其近旁有定义 当自变量 有增量 时 函数有相应的增量 当 时 若 的极限存在 则极限值就称为函数 在点 的导数 并称函数 在点 导数 记为 即 也可记为 或 可导 或有 或 高等数学 上 高职高专ppt课件 7 解 1 求函数改变量 2 求 3 当 时 求 的极限 所以 0 例1 高等数学 上 高职高专ppt课件 8 注意 是函数 1 在区间 或 上的平均变化率 而 则是函数 在点 的变化率 它反映了函数随自变量变化的快慢程度 2 如果极限 不存在 则称 在点 不可导 如果不可导的原因是当 时 所引起的 则称函数 在点 的导数为无穷大 高等数学 上 高职高专ppt课件 9 三 函数的可导性与连续性的关系 注意 一个函数在某点连续 但在该点函数不一定可导 如果函数在点处可导 则它一定在点处连续 高等数学 上 高职高专ppt课件 10 四 函数在区间内可导的概念 如果函数 在区间 内的每一点都可导 则称函数 在区间 内可导 这时 对于区间 内的每一个确定的 值 都有唯一的导数值 与之对应 即 所以 也是 的函数 称作 在 导函数 记作 或 内的 说明 在点的导数值就是导函数在点的函数值 即 11 例2 解 所以 导函数也简称导数 求一个函数的导数运算称为微分法 说明 12 五 求导数举例 例3求常值函数 的导数 解 所以 也就是说 常数的导数等于零 即 13 例4求幂函数 的导数 过程略 幂函数求导举例 14 例5求正弦函数 的导数 解 1 计算函数增量 2 算比值 3 取极限 由此可得 同理 15 例6求对数函数 的导数 解 由此得到 特别地 16 例7求指数函数 的导数 解 利用极限 得 由此得到 17 六 左导数和右导数 左导数 右导数 结论 18 解 例 19 七 导数的物理意义与几何意义 曲线在某点处的切线斜率 变速直线运动的瞬时速度 几何意义 物理意义 曲线 在点 则曲线在点 处的切线方程为 法线方程为 的切线斜率 20 解 所以 该物体在任意时刻的速度 在 时的瞬时速度为 21 解 是曲线 上任意点 处的切线斜率 1 在点 处 因为 所以切线斜率为 根据直线方程的点斜式 得 整理得切线方程为 法线方程为 整理得 k 22 第二节求导法则和基本求导公式 设 1 2 3 一 函数四则运算的求导法则 都是的可导函数 则 推论 23 例1求下列函数的导数 1 2 3 4 1 解 24 3 4 2 25 例2设 求 解 所以 26 例3求下列函数的导数 因此 因此 解 1 27 在求导时先对函数变形再求导 有时可简化运算过程 28 例5 求曲线在点处的切线方程和法线方程 于是曲线在点的切线方程是 即 曲线在点的法线方程是 即 29 二 复合函数求导法则 引例 注意 而是的复合函数 不是基本初等函数 分析 30 复合函数求导法则 如果函数 在点 处可导 函数 点处也可导 则复合函数在点可 也可写成 或 在对应 导 且 注 复合函数求导法又称为链锁法则 它可以推广到多个函数复合的情形 31 例1利用复合函数求导法则求下列函数的导数 解 1 函数由 复合而成 2 3 注 复合函数的复合层次多于两层时 其计算方法完全一样 只需逐层求导即可 32 例2求下列函数的导数 1 函数由 与 复合而成 解 所以 2 设 则 33 例3求的导数 解 例4求下列函数的导数 1 2 3 34 解 1 有理化分母 然后求导数 得 2 先用对数性质展开 得 然后求导数 得 35 3 先化简 得 然后求导数 得 36 1 基本初等函数的导数公式 见教材 三 求导公式与求导法则汇总 2 函数四则运算的求导法则 C为常数 C为常数 1 2 3 4 5 37 3 复合函数求导法则 设 则复合函数 的导数为 或写成 或 38 例1求下列函数的导数 1 2 3 4 5 39 解 1 2 3 40 4 5 41 第三节函数的微分 一 微分的概念 图 2 4 42 若用表示薄板的面积 表示边长 则 于 是面积的改变量为 从上式可以看出 由两项构成 和 是次要部分 于是 当我们把 忽略不记时 就是 的近似值 即 分析 43 上式中的系数 就是函数在点的导数 这就是说 函数 的自变量 在点 的改变量 时 函数的改变量 约等于其在点 的导数 与 的乘积 于是上式又可表示为 有微小 分析 44 设函数 在点 处可导 即 根据函数极限与无穷小的关系 有 其中 由此得 这表明 函数的改变量 是由 和 两项所组成 45 当 时 由 知 是 的同阶无穷小 是较 高阶的无穷小 46 由此可见 当 时 在函数的改变量 中 起主要作用的是 它与 的差是一个较 高阶的无穷小 因此 是 的主要部分 又因为 是 的线性函数 所以通常称 为 的线性主要部分 简称线性主部 47 定义 设函数 在点 处可导 则称 为函数 在点 的微分 记号 或 此时称函数 在点 可微 如果函数在 区间 内每一点可微 则称函数在区间 内可微 函数在任一点 的微分 叫做函数的微分 一般 或 48 特别地 即 因此 函数 的导数等于函数的微分 与自变量的微分 的商 因 此 导数又称微商 49 解函数的微分 当 时的微分 函数的增量为 结论 50 例2求下列函数的微分 1 2 解 1 2 51 二 微分的几何意义 52 由图2 5可知 如图2 5所示 过曲线 上一点 作曲线 当自变量在 处取得改变量 时 我们得到曲线上另一点 的切线 切线的斜率 53 结论 函数 在点 的微分 等于曲线在 点 的切线 上点的纵坐标对应于 的改变量 这就是微分的几何意义 54 1 微分的基本公式 三 微分的基本公式与运算法则 55 56 微分的四则运算法则 1 2 3 4 5 57 四微分形式不变性 是自变量时 函数 如果 则 的微分为 因为 所以有 结论 不论是自变量还是中间变量 函数 的微分总保持同一形式 微分形式不变性 58 例1用两种方法求下列函数的微分 1 2 3 59 解法1根据微分的定义 1 2 3 60 解法2根据微分的基本法则和微分形式不变性 1 2 3 61 解 1 因为 所以 C为任意常数 2 同理 3 同理 62 例2在下列括号内填入适当的函数 使等式成立 1 2 3 63 解 1 因为 所以 C为任意常数 2 同理 3 同理 64 五 微分在近似计算中的应用 当 很小时 亦即 将上式移项得 此式常用来计算函数 在点 附近的函数值的近似值 2 1 65 例1半径为10的球充气后半径增加了0 02 求球的体积大约增加了多少 解设球的体积为 半径为 则 由已知 设球的体积的增加量为 因为 很小 所以可以用微分 来近似代替 而 于是 即球的体积大约增加了 66 例2计算的近似值 解由于所求的是余弦函数值 故选取函数 于是 因为 所以取 此时很小 代入上式得 即 67 在公式 2 中 当时 得 3 当 很小时 可用公式 3 求函数 在 附近函数值的近似值 68 当 很小时 可得工程上常用的近似公式 1 6 5 3 4 2 69 一隐函数及其求导法 第四节隐函数和由参数方程所确定函数的导数 形如的函数 叫做显函数 如 由方程 所确定的 与 叫做隐函数 例如圆的方程 以及 等等 因变量与自变量 的关系是由一个 的方程 所确定的 之间的函数关系 含有 70 显函数有时很容易化成隐函数 1 在给定的方程两边分别对求导数 遇到 2 从 1 所得式中解出 或 即可 隐函数求导方法 时看成的函数 的函数看成的复合函数 71 例1求由方程所确定的函数的导数 解 将方程两边对求导数 得 所以 说明 将此函数化为显函数再求导 可得同样结果 72 例2求由下列方程所确定的函数的导数 1 2 解 1 方程两边对求导数 得 解出 得 2 方程两边对求导数 得 解得 73 例3求圆在点的切线方程 解方程两边对求导数 得 解出 得 把点 的坐标代入 得切线的斜率 由直线方程的点斜式 得 整理得切线方程为 74 含多次积 商 幂的函数 对数求导法 例4求下列函数的导数 1 2 形如的函数 75 解 1 此函数是幂指函数 两边取自然对数 解出 即得所给函数的导数为 化为隐函数 得 上式两边对 求导数 得 76 2 两边取对数并根据对数的运算法则 得 上式两边对 求导数 得 解出 即得原函数的导数为 77 二 由参数方程所确定的函数的导数 一般地 参数方程 可以确定 与 函数关系 这种关系 有时可以用显函数表示出来 例如 消去参数 可得 称为普通方程 由此可求出 之间的 78 根据导数又称微商这一结论 在 中同除以 得 即 这就是参数方程所确定的 与 方法 其结果一般仍为关于参数的解析式 的分子和分母 之间的函数的求导 但对于有些参数方程 它所确定的 关于 的函数 关系 很难化为普通方程 79 例1已知参数方程 求 解根据参数方程的求导公式 因为 所以 80 解 因为 所以 所求切线的斜率为 将 代入所给参数方程中 得切点 所以 切线的方程为 整理得 81 解因为 所以 于是所求切线的斜率为 82 一 高阶导数的概念 第五节高阶导数 一般地 函数 的导数 仍然是 的函数 如果是可导函数 则可以继续求它的导数 这相当于对函数 求了两次导数 我们称 为 的二阶导数 记作 或 或 83 例1求下列函数的二阶导数 1 3 2 解 1 2 3 84 的导数 三阶导数 或 或 四阶导数 三阶导数的导数 或 或 一般地 的 阶导数的导数叫作 的 阶导数 记作 或 或 高阶导数 二阶及二阶以上的导数 85 例2求下列函数的各阶导数 解 1 依此类推 可得 1 2 2 3 86 由此可得 3 一般地 87 例3求由方程 确定的隐函数的 解将方程两边对求导 得 所以 二阶导数 88 解因为 所以 89 二 二阶导数的力学意义 设物体作变速直线运动 其运