第4章最优资产组合选择ppt课件.ppt

第4章最优资产组合选择 从某种意义上说 选择最优资产组合的过程就是风险规避的投资者将财富分配到市场中国各个金融资产上 从而使自身效用达到最大化过程 在选择最优资产的过程中 投资者需要做的工作有两个 一是认识市场 就是通过市场的观察 并结合自身的投资经验对市场上各种金融资产未来收益的特征形成一定的信念 二是投资者根据这些信念以及自身的风险态度 选择投资到不同资产上的财富数量 从而实现效用最大化 最优资产组合理论最早是由马科维茨在1952年提出的 随后托宾等人对这一理论进行拓展和推广 从而使这一理论成为现代金融理论的基石之一 该理论假定投资者在决策过程中只关心资产收益率的期望值和方差 收益率的其他统计特征不在投资者的考虑范围之内 因此 人们有时也将该理论成为均值 方差模型 特别说明 因为在最初的最优资产组合选择模型中 投资者是不能对风险资产进行卖空操作 本讲延续这一假设 最优资产组合理论 一 一个无风险资产与一个风险资产组合 假设投资者投资到某一风险资产的比例为w 期望收益为 标准差为 为无风险资产收益 投资到无风险资产的财富比例为1 w 有风险资产和无风险资产构成的组合记为P 则投资组合的期望收益和标准差可以写成如下格式 第一节资产组合的有效边界 进而容易得到投资组合期望收益与标准差之间的关系 上式就是当市场中只有一个风险资产和一个风险资产的时候 资产组合所有可能的风险 收益集合 又称为投资组合可行集 在 期望收益 标准差 平面中对应着一条直线 穿过无风险资产rf和风险资产r 我们称这条直线为资本配置线 CapitalAllocationLine 资本配置线的斜率等于资产组合每增加以单位标准差所增加的期望收益 也即每单位额外风险的额外收益 因此 我们有时候也将这一斜率称为报酬与波动性比率 即Sharpe比率 一般来讲 存款利率要低于贷款利率 如果把存款利率视为无风险收益率 那么投资者的贷款利率就要高于无风险利率 此时 资本配置线就变成一条折线 二 两个风险资产的组合假设市场中的资产是两个风险资产 例如一个股票和一个公司债券 且投资到股票上的财富比例为w 则投资组合的期望收益和标准差为 根据期望收益表达式 投资权重w为 同样 容易得到 两个风险资产构成的资产组合的期望和标准差之间的额关系式 其中 情形一 此时 两个资产的收益率是完全正相关的 我们容易得到 情形二 此时 两个资产的收益率是完全负相关的 类似可以得到 情形三 此时 在期望 标准差平面中对应着两条双曲线 考虑到经济含义 我们只需考虑坐标轴第一象限内的部分 在情形二和情形三中 我们可以根据最小方差点将可行集分为两个部分 位于最小方差点上方的部分 SE1和SE2 和位于最小方差点下方的部分 E1B和E2B 对于风险规避的投资者而言 只会选择最小方差点上方的资产组合 我们称这部分资产组合为全部资产组合的效率边界 EfficientFrontier 三 一个无风险资产与两个风险资产的组合 假设两个资产的投资权重分为w1和w2 无风险资产的投资权重为1 w1 w2 两个风险资产构成一个风险资产组合 三个资产构成的投资组合可行集等价于一个风险资产组合与一个无风险资产构成的可行集 随着w1和w2的变化 风险资产的期望收益和方差并不是确定的值 而是不断变化的 给定w1和w2的某一比例k 在期望收益 方差平面中就对应着一个风险资产组合 该组合与无风险资产的连线形成了一条资本配置线 这条资产配置线就是市场中存在三个资产时的投资组合可行集合 我们容易发现 在所有资本配置线中 斜率最高的资本配置线在相同标准水平下拥有最大的期望收益率 也即与风险资产组合效率边界相切的一条线 我们称之为最优资本配置线 相应的切点组合P0被称为最优风险资产组合 三 一个无风险资产与两个风险资产的组合 资本市场线 CML P为M与的线性组合 资本市场线 第二节最优资产组合选择 上一节中我们确定了市场的投资可行集 投资者接下来就是确定在可行集中进行资产组合的选择 对投资者的个人特征和行为准则做几个假定 一是投资者都是风险规避的 即在收益相同的条件下 投资者会选择风险最低的投资组合 二是投资者在最有资产组合的选择中只关心资产的均值 方差以及协方差 三是最优资产组合就是使投资者效用达到最大的资产组合 换句话说 投资者在资产组合的选择过程中遵循效用最大化原则 一 不同市场环境下最优资产组合的选择定义效用为收益率的均值和标准差的函数 即给定效用水平 在期望值 标准差平面中就是投资者的无差异曲线 对于风险规避的投资者而言 期望收益的增加会提高投资者效用水平 标准差或者风险水平的增大则会降低效用水平 因此有 在期望值 标准差平面中 无差异曲线就是一条向右上倾斜的曲线 并且左上方的无差异曲线代表的效用高水平要高于右下方无差异曲线的效用水平 给定投资者的效用函数 当风险和期望的边际替代率是递减的时候 无差异曲线就是凸向原点的 此时 投资组合可行集就是通过无风险资产和风险资产的资本配置线 给定投资者的效用函数 我们可以通过描述不同效用水平下的无差异曲线 得到投资者的最优投资组合 不同的投资者风险规避程度是不同的 因而在风险和收益之间的权衡也存在差异 对于风险规避程度较高的投资者而言 会将财富更多地投入到无风险资产中 从而获得较低风险水平的资产组合 一个无风险资产和一个风险资产 当市场中存在两个风险资产时 供投资者选择的有效资产组合就是上图中的双曲线上半部分的效率边界 随着无差异曲线向左上方移动 两者相切的切点即为最优资产组合 不同投资者无差异曲线的形状不同 与效率边界的切点位置也不同 对于风险规避程度较高的投资者而言 他们会选择效率边界左侧 风险较低的资产组合 两个风险资产 当市场存在一个无风险和两个风险资产时 投资者会在两个风险资产构成的风险资产组合和无风险资产之间进行财富分配 在所有通过无风险资产的资本配置线中 与效率边界相切的资本配置线在相同风险水平下拥有最大的期望收益 因此对于所有的投资者来说 他们都会在这条资本配置线上进行最优资产组合的选择 最优资产组合就是无差异曲线与资本配置线相切的点 一个无风险资产和两个风险资产 二 分离定理分离定理 SeparationTheorem 它最早由美国芝加哥大学教授詹姆士 托宾 JamesTobin 于1958年提出来的 是指当市场中存在无风险资产和多个风险资产的时候 只要投资者是风险规避者 不管他具体的效用函数如何 他们选择的风险资产组合都是一样的 也就是无风险资产与效率边界相切的P点 投资者的效用函数或者说风险规避程度只决定了他持有的无风险资产和风险资产组合P的比例 根据这一定理 投资组合的选择过程可以分为两个阶段 首先 投资者要根据各风险资产的期望收益 方差以及协方差确定最优风险资产组合 之后 投资者在确定了最优风险资产组合的基础上 根据自身的风险规避程度确定投资在最有风险资产组合和无风险资产上的比例 从而得到最终的最优资产组合 分离定理的具体表述为 我们不需要知道投资者对风险和收益率的偏好 就能够确定风险资产的最优组合 由于无风险借贷属于融资决策 financedecision 的内容 投资于切点证券组合属于投资决策 investmentdecision 的内容 因此 分离定理 实质上论述的是投资者的投资决策与融资决策的分离 无论投资者最终选择了什么样的投资组合 都是由无风险资产和切点投资组合M的一定比例构成 其风险证券组合都是M 所不同的只是无风险资产的投资比重不同 最优风险证券组合的确定与投资者的风险偏好 效用函数或无差异曲线没有关系 左图中 射线rFAMB是存在无风险借贷机会时投资的有效边界 它上面的任何一点都是由无风险资产和切点投资组合M的一定比例构成 若投资者比较保守 其无差异曲线较陡 此时无差异曲线与有效边界rFAMB切于A 形成的最优投资组合为A 若投资者比较激进 其无差异曲线较为平缓 此时无差异曲线与有效边界rFAMB切于B 形成的最优投资组合为B 下面我们用一个例子来说明分离定理的含义 例2现有三种风险证券A B和C 张三经过分析估计三种证券的期望收益率分别为8 20 和30 收益率标准差分别为5 15 和40 证券A和B A和C以及B和C的相关系数分别为0 6 0 4和0 2 并且已知无风险利率为4 张三的自有投资资金有20000元 求最优风险证券组合 解 设由A B和C构成的任一风险组合R中 A B和C的投资比重分别为x1 x2 1 x1 x2 则 使得s达到最大时的x1 x2 1 x1 x2 就是最优风险证券组合 为此 s分别对x1 x2求偏导数 并令其为零 可得 即最优风险证券组合M为 0 137 0 735 0 128 若张三比较保守 他将一半资金即10000元投资于无风险资产上 将另一半资金即10000元投资于最优风险证券组合M上 则张三对证券A B和C所投资的资金为 若张三比较激进 卖空无风险资产 得资金10000元 并将其与自有资金20000元共30000元投资于最优风险证券组合M上 则张三对证券A B和C所投资的资金为 但无论张三是保守的还是激进的 他投资于证券A B C的相对比例相同 都是0 137 0 735 0 128 一 实际中的最优资产组合 分离原则暗示 一个资产组合经理会对所有顾客提供同样的风险资产组合 实际上 不同的经理会关注整个金融资产的不同子集 获得不同的有效边界 并对他们的客户提供不同最优资产组合 为什么呢 一 实际中的最优资产组合 资产组合选择原理建立在很多简化的假设上 没有市场摩擦 税收 交易成本 金融资产的有限可分 市场分割 投资者没有差别 例如 贫富 有消息来源与没有的 年轻的与年长的 静态预期收益与方差 对收益和波动没有预测 例如 金融分析 会计信息 宏观经济变量在制定投资决策时不发挥任何作用 一些需要思考的重要问题 证券分析能提高资产组合的业绩么 分析师的观点怎么介入证券选择 二 风险厌恶与资产配置 二 风险厌恶与资产配置 贷款人比借款人有更高的A 贷款人 借款人 P E r 第三节马科维茨资产组合选择模型 问题的提出 当面临多个不同风险 收益关系的资产组合时 投资者应该如何进行分析与选择 构建最优资产组合的基本方法 马科维茨的均值 方差理论 一 马科维茨资产组合选择模型Markowitz 1952 的资产选择模型考察的是存在多个风险资产时 投资者最优资产组合的选择 定义4 1边界资产组合 FrontierPortfolio 如果一个资产组合在其期望收益相同的资产组合中拥有最小的方差 我们就称其为边界资产组合 所有边界资产组合构成的资产组合集构成一个投资组合边界 PortfolioFrontier 假设1 市场中存在N 2个风险资产 每个资产的方差是有限的 每个资产的期望收益率都是不相等的 任一资产资产的收益率都无法用其他资产收益率的线性组合来表示 这一条件保证了资产收益率是线性独立 且所有资产收益率的方差 协方差矩阵是非奇异的 Markowitz资产组合模型的假设 假设2 投资者是风险规避的 在收益相等情况下 投资者会选择风险最低的投资组合 Markowitz资产组合模型的假设 最小方差集 Markowitz资产组合模型的假设 假设3针对一个时期 所有投资者的预期都是一致的 这个假设是说 所有投资者在一个共同的时期内计划他们的投资 他们对证券收益率的概率分布的考虑是一致的 这样 他们将有着一致的证券预期收益率 证券预期收益率方差和证券间的协方差 同时 在证券组合中 选择了同样的证券和同样的证券数目 这个假设与下面的关于信息在整个资本市场中畅行无阻的假设是一致的 返回 Markowitz资产组合模型的假设 假设4资本市场上没有摩擦 摩擦是对资本流动和信息传播的障碍 因此这个假设是说 不存在证券交易成本没有加在红利和利息收入或者在资本收益上的税收 信息可以畅行无阻地传播到资本市场中的每个投资者 Markowitz资产组合模型的假设 假设5投资者能在预期收益率和标准差或方差的基础上选择证券组合 这个假设是说 如果必须在两种证券组合之间选择其中之一进行投资的话 你就必须知道证券组合的预期收益率和标准差或方差 通常 只要下述两个条件中的一个得到满足 投资者就能根据预期收益率和标准差或方差做出选择 图5 1二次效用函数 条件一 对投资者效用函数的形式进行限制 如果我们对投资者效用函数在期望收益处进行泰勒展开就可以得到 Markowitz资产组合模型的假设 这样 与第 种证券组合的价值有关的效用满足关系因为投资者选择证券组合的标准是使其预期效用最大化 即 若用表示效用状态出现的概率 则 Markowitz资产组合模型的假设 Markowitz资产组合模型的假设 条件二 证券组合收益率的概率分布是正态分布 如图5 2所示 由于正态分布完全由其均值和方差所决定 所以对投资者而言 给定两种具有同样方差的证券组合 他将选择具有较高预期收益率的证券组合 而给定两种具有同样预期收益率的证券组合 他将选择具有较低方差的证券组合 图5 2证券组合收益率为正态分布情形 这个条件的合理性在于当观察一个较长的时间内 如年或月 收益率的时间序列时 单个证券的收益率分布可能有向左或向右的倾斜 如图5 3和图5 4所示 但是条件是指证券组合 而不是单个证券 当我们把这些证券组合成足够多样化的证券组合时 由概率论的中心极限定理 证券组合收益率本身的分布将是渐近正态 图5 3证券组合收益率为左偏分布情形 图5 4证券组合收益率为右偏分布情形 Markowitz资产组合模型的假设 在以上假设下 最优资产组合的选择问题就可以写成如下优化问题 其中 w是风险资产组合中各资产的权重构成的向量 V为风险资产收益率的方差协方差矩阵 e为风险资产组合中各资产期望收益率构成的向量 1为单位向量 为了解这个最优化问题 构造Lagrange函数如下 该最优化问题的一阶条件为 求得其中 将上述答案带回原式 得到最优资产组合的权重 其中 g和h为两个一维向量 其表达式分别为从上式可以看出 如果一个边界组合的期望收益率等于0 那么这一资产组合中各资产的权重就是g 如果一个边界组合的期望收益率等于1 组合中各项资产的权重就是g h 因此 g和g h就对应着投资组合边界上两个边界组合 事实上 投资组合边界中任意资产组合都可以由任意两个期望收益率不相等的边界组合按照一定权重构建出来 二 存在无风险资产时的最优资产组合选择Tobin 1958a 1958b 对Markowitz的模型进行了改进 Tobin假定市场中除了N个风险资产外 还存在一个无风险资产 投资者可以按照无风险资产收益率rf借入或者借出资金 此时 最优化问题就变成如下形式 其中 w是风险资产的投资权重 1 w 1则是无风险资产的投资权重 二 存在无风险资产时的最优资产组合选择 通过构造Lagrange函数 最优化问题转化为 该优化问题的一阶条件为 结合约束条件 容易得到最优资产组合的权重 其中 进而将权重表达式带入目标函数中 我们得到最优资产组合的方差上述两个式子各自对应着期望收益 标准差平面上一条从 0 rf 发出的射线 48 当rf的取值不同时 这两条射线与风险资产可行集的相对位置也会发生变化 第四节资产组合风险分散化 一 资产收益率的相关性与资产组合的风险分散当存在两个风险资产的时候 资产组合的期望收益等于组合中每个资产期望收益的加权平均值 即 但是资产组合的方差并不是两个资产各自方差的加权平均值 而是 可以看出 给定两项资产的期望收益率 如果这两项资产收益率的协方差是负的 那么资产组合的方差就比较小 只要两项资产的相关系数不等于1 也即只要两项资产不是完全正相关 资产组合的标准差就低于每个证券标准差的加权平均值 由它们组成的资产组合的风险 收益机会总是优于资产组合中各资产单独的风险 收益机会 例题 假设一名风险厌恶型的投资者 拥有M公司的股票 他决定在其资产组合中加入Mac公司或是G公司的股票 这三种股票的期望收益率和总体风险水平相当 M公司股票与Mac公司股票的协方差为 0 5 M公司股票与G公司股票的协方差为 0 5 则资产组合 a 买入Mac公司股票 风险会降低更多 b 买入G公司股票 风险会降低更多 c 买入G公司股票或Mac公司股票 都会导致风险增加 d 由其他因素决定风险的增加或降低 资产组合包含N个风险资产的情况该资产组合的方差为可以看出 资产组合的风险可以分为两个部分 每个资产的方差和不同资产之间的协方差 前者反映了每个资产的风险状况对资产组合的贡献 后者则是不同资产相互作用对组合风险的影响 上述矩阵形式中 对角线上是每个资产收益率的方差 矩阵其他位置上的元素则是不同资产收益率的协方差 当资产组合有N个风险资产时 方差部分共N项 而协方差部分则有N2 N项 当N较大时 协方差项目将远远超过方差项目 此时 资产组合的风险主要取决于资产收益率的协方差的大小 假设N项资产以相同比例构成资产组合 即每项资产的权重均为1 N 而且每项资产的方差都等于 2 不同资产之间的相关系数等于 则资产组合的方差即为 当N趋于无穷大的时候 方差部分趋于零 协方差部分趋于一个常数 由此可见 当资产组合资产数目较大时 资产间的相互影响是资产组合的主要风险来源 相关性和无相关性的证券等权重构造组合的风险减少 相关系数为正时 组合风险随着证券数量的上升而下降的速度相对慢很多 因为证券间的相关性限制了分散化的空间 二 系统性风险与非系统性风险随着资产组合中资产数量的增加 资产自身的风险对组合风险水平的影响越来越小 而不同资产之间的相互作用并不能随资产数量的增加而消失 根据资产的这两种特性 风险可以划分为 非系统性风险 个别风险 反映资产本身特性 可以通过增加资产组合数目而最终消除系统性风险 市场风险 反映了各资产共同运动 无法通过资产组合中资产数目的增加而消除的风险 组合投资与风险分散 下面对资产组合分散化的说法哪些是正确的 a 适当的分散化可以减少或消除系统风险 b 分散化减少资产组合的期望收益